Ky Fan nerovnost - Ky Fan inequality

v matematika, existují dva různé výsledky, které sdílejí společný název souboru Nerovnost Ky Fan. Jeden je nerovnost zahrnující geometrický průměr a aritmetický průměr ze dvou sad reálná čísla z jednotkový interval. Výsledek byl zveřejněn na straně 5 knihy Nerovnosti podle Edwin F. Beckenbach a Richard E. Bellman (1961), kteří odkazují na nepublikovaný výsledek Ky Fan. Zmínili výsledek v souvislosti s nerovnost aritmetických a geometrických prostředků a Augustin Louis Cauchy důkaz této nerovnosti indukcí vpřed-vzad; metoda, kterou lze také použít k prokázání nerovnosti Ky Fan.

Tato nerovnost Ky Fan je zvláštním případem Levinsonova nerovnost a také výchozí bod pro několik zevšeobecnění a upřesnění; některé z nich jsou uvedeny v odkazech níže.

Druhá nerovnost Ky Fan se používá v herní teorie zkoumat existenci rovnováhy.

Prohlášení o klasické verzi

Li X_i s 0 ≤X_i ≤ ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$ pro i = 1, ..., n jsou tedy skutečná čísla

${ displaystyle { frac {{ bigl (} prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} { bigr)} ^ {1 / n}} {{ bigl (} prod _ { i = 1} ^ {n} (1-x_ {i}) { bigr)} ^ {1 / n}}} leq { frac {{ frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}} {{ frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} (1-x_ {i})}}}$

s rovností právě tehdy X₁ = X₂ = . . . = X_n.

Poznámka

Nechat

${ displaystyle A_ {n}: = { frac {1} {n}} součet _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}, qquad G_ {n} = { biggl (} prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} { biggr)} ^ {1 / n}}$

označit aritmetický a geometrický průměr z X₁, . . ., X_na nechte

${ displaystyle A_ {n} ': = { frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} (1-x_ {i}), qquad G_ {n}' = { biggl (} prod _ {i = 1} ^ {n} (1-x_ {i}) { biggr)} ^ {1 / n}}$

označit aritmetický a geometrický průměr 1 -X₁, . . ., 1 − X_n. Potom lze nerovnost Ky Fan napsat jako

${ displaystyle { frac {G_ {n}} {G_ {n} '}} leq { frac {A_ {n}} {A_ {n}'}},}$

což ukazuje podobnost s nerovnost aritmetických a geometrických prostředků dána G_n ≤ A_n.

Zobecnění s váhami

Li X_i ∈ [0, ½] a y_i ∈ [0,1] pro i = 1, . . ., n jsou skutečná čísla uspokojivá y₁ + . . . + y_n = 1, tedy

${ displaystyle { frac { prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ { gamma _ {i}}} { prod _ {i = 1} ^ {n} (1-x_ {i}) ^ { gamma _ {i}}}} leq { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} gamma _ {i} x_ {i}} { sum _ {i = 1} ^ {n} gamma _ {i} (1-x_ {i})}}}$

s konvencí 0⁰ : = 0. Rovnost platí tehdy a jen tehdy

• y_iX_i = 0 pro všechny i = 1, . . ., n nebo
• Všechno X_i > 0 a existuje X ∈ (0, ½] takové, že X = X_i pro všechny i = 1, . . ., n s y_i > 0.

Klasická verze odpovídá y_i = 1/n pro všechny i = 1, . . ., n.

Důkaz zevšeobecnění

Idea: Aplikovat Jensenova nerovnost na přísně konkávní funkci

${ displaystyle f (x): = ln x- ln (1-x) = ln { frac {x} {1-x}}, qquad x in (0, { tfrac {1} {2}}].}$

Podrobný důkaz: (a) Pokud alespoň jeden X_i je nula, pak je levá strana nerovnosti Ky Fan nulová a nerovnost je prokázána. Rovnost platí tehdy a jen tehdy, pokud je pravá strana také nulová, což je případ, kdy y_iX_i = 0 pro všechny i = 1, . . ., n.

(b) Předpokládejme nyní, že vše X_i > 0. Pokud existuje i s y_i = 0, pak odpovídající X_i > 0 nemá žádný vliv na obě strany nerovnosti, proto i^th termín lze vynechat. Můžeme to tedy předpokládat y_i > 0 pro všechny i v následujícím. Li X₁ = X₂ = . . . = X_n, pak platí rovnost. Zbývá prokázat přísnou nerovnost, ne-li všechny X_i jsou rovny.

Funkce F je striktně konkávní na (0, ½], protože máme pro jeho druhou derivaci

${ displaystyle f '' (x) = - { frac {1} {x ^ {2}}} + { frac {1} {(1-x) ^ {2}}} <0, qquad x in (0, { tfrac {1} {2}}).}$

Za použití funkční rovnice pro přirozený logaritmus a Jensenova nerovnost pro přísně konkávní F, získáme to

${ displaystyle { begin {aligned} ln { frac { prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ { gamma _ {i}}} { prod _ {i = 1} ^ {n} (1-x_ {i}) ^ { gamma _ {i}}}} & = ln prod _ {i = 1} ^ {n} { Bigl (} { frac {x_ { i}} {1-x_ {i}}} { Bigr)} ^ { gamma _ {i}} & = sum _ {i = 1} ^ {n} gamma _ {i} f ( x_ {i}) &$

kde jsme použili v posledním kroku, že y_i součet k jedné. Vezmeme-li exponenciál obou stran, získáme Ky Fan nerovnost.

Nerovnost Ky Fan v teorii her

Druhá nerovnost se také nazývá Ky Fan Nerovnost, kvůli článku z roku 1972 „Minimax nerovnost a její aplikace“. Tato druhá nerovnost je ekvivalentní s Brouwerova věta o pevném bodě, ale je často pohodlnější. Nechat S být kompaktní konvexní podmnožina konečně-dimenzionální vektorový prostor PROTIa nechte ${ displaystyle f (x, y)}$ být funkcí od ${ displaystyle S krát S}$ do reálná čísla to je nižší polokontinuální v X, konkávní v y a má ${ displaystyle f (z, z) leq 0}$ pro všechny z v S. Pak existuje ${ displaystyle x ^ {*} v S}$ takhle ${ displaystyle f (x ^ {*}, y) leq 0}$ pro všechny ${ displaystyle v S}$. Tato nerovnost Ky Fan se používá k nastolení rovnováhy v různých hrách studovaných v ekonomii.

Reference

• Alzer, Horst (1988). „Verschärfung einer Ungleichung von Ky Fan“. Aequationes Mathematicae. 36 (2–3): 246–250. doi:10.1007 / BF01836094. PAN  0972289.^{[trvalý mrtvý odkaz ]}

• Beckenbach, Edwin Ford; Bellman, Richard Ernest (1961). Nerovnosti. Berlín – Göttingen – Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN  978-3-7643-0972-5. PAN  0158038.

• Moslehian, M. S. (2011). "Nerovnosti Ky Fan". Lineární a multilineární algebra. objevit se. arXiv:1108.1467. Bibcode:2011arXiv1108.1467S.

• Neuman, Edward; Sándor, József (2002). „O nerovnosti Ky Fan a souvisejících nerovnostech I“ (PDF). Matematické nerovnosti a aplikace. 5 (1): 49–56. doi:10,7153 / mia-05-06. PAN  1880271.

• Neuman, Edward; Sándor, József (srpen 2005). „O nerovnosti Ky Fan a souvisejících nerovnostech II“ (PDF). Bulletin of Australian Mathematical Society. 72 (1): 87–107. doi:10.1017 / S0004972700034894. PAN  2162296.

• Sándor, József; Trif, Tiberiu (1999). „Nové zdokonalení nerovnosti Ky Fan“ (PDF). Matematické nerovnosti a aplikace. 2 (4): 529–533. doi:10,7153 / mia-02-43. PAN  1717045.

externí odkazy

• Ky Fan na Matematický genealogický projekt