Kategorie Krull – Schmidt - Krull–Schmidt category

v teorie kategorií, obor matematiky, a Kategorie Krull – Schmidt je zobecněním kategorií, ve kterých Krull – Schmidtova věta drží. Vznikají například při studiu konečných rozměrů moduly přes algebra.

Definice

Nechat C být kategorie přísad, nebo obecněji přísada R-lineární kategorie pro komutativní prsten  R. Voláme C A Kategorie Krull – Schmidt za předpokladu, že se každý objekt rozloží na konečný přímý součet objektů s místními prstenci endomorfismu. Ekvivalentně C má rozdělit idempotenty a prsten endomorfismu každého objektu je semiperfect.

Vlastnosti

Jeden má analogii věty o Krull-Schmidtovi v kategoriích Krull-Schmidt:

Objekt se nazývá nerozložitelný pokud není izomorfní s přímým součtem dvou nenulových objektů. V kategorii Krull – Schmidt to máme

• objekt je nerozložitelný právě tehdy, pokud je jeho endomorfní kruh lokální.
• každý objekt je izomorfní s konečným přímým součtem nerozložitelných objektů.
• -li ${displaystyle X_ {1} oplus X_ {2} oplus cdots oplus X_ {r} cong Y_ {1} oplus Y_ {2} oplus cdots oplus Y_ {s}}$ Kde ${displaystyle X_ {i}}$ a ${displaystyle Y_ {j}}$ jsou tedy nerozložitelné ${displaystyle r = s}$a existuje permutace ${displaystyle pi}$ takhle ${displaystyle X_ {pi (i)} cong Y_ {i}}$ pro všechny i.

Lze definovat Toulec Auslander – Reiten kategorie Krull – Schmidt.

Příklady

• An abelianská kategorie ve kterém má každý objekt konečná délka.^[1] To zahrnuje jako zvláštní případ kategorii konečných dimenzionálních modulů přes algebru.
• Kategorie konečně generovaných modulů nad a konečný^[2] R-algebra, kde R je komutativní Noetherian kompletní místní prsten.^[3]
• Kategorie koherentní snopy na úplná rozmanitost přes algebraicky uzavřené pole.^[4]

Nepříklad

Kategorie konečně vygenerovaných projektivní moduly přes celá čísla má rozdělené idempotenty a každý modul je izomorfní s konečným přímým součtem kopií běžného modulu, přičemž číslo je dáno hodnost. Kategorie tedy má jedinečný rozklad na nerozložitelné, ale není Krull-Schmidt, protože běžný modul nemá prsten místního endomorfismu.

Viz také

• Toulec
• Karoubi obálka

Poznámky

Reference

• Michael Atiyah (1956) Na Krull-Schmidtovu větu s aplikací na snopy Býk. Soc. Matematika. Francie 84, 307–317.
• Henning Krause, Kategorie Krull-Remak-Schmidt a projektivní obálky, Květen 2012.
• Irving Reiner (2003) Maximální počet objednávek. Opravený dotisk originálu z roku 1975. S předmluvou M. J. Taylora. Monografie London Mathematical Society. New Series, 28. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford. ISBN  0-19-852673-3.
• Claus Michael Ringel (1984) Zkrotit algebry a integrální kvadratické formy, Přednášky z matematiky 1099, Springer-Verlag, 1984.