Kornsova nerovnost - Korns inequality - Wikipedia

v matematická analýza, Kornova nerovnost je nerovnost týkající se spád a vektorové pole která zobecňuje následující klasickou větu: pokud je gradient vektorového pole šikmo symetrický v každém bodě musí být gradient roven konstantní symetrické matici. Kornova věta je kvantitativní verzí tohoto tvrzení, která intuitivně říká, že pokud je gradient vektorového pole v průměru nedaleko od prostoru zkosených symetrických matic, pak gradient nesmí být daleko od konkrétní šikmo symetrická matice. Výrok, který Kornova nerovnost zobecňuje, tedy vyvstává jako zvláštní případ tuhost.

In (lineární) teorie pružnosti, symetrická část přechodu je měřítkem kmen že elastické tělo zažívá, když je deformováno danou funkcí s vektorovou hodnotou. Nerovnost je proto důležitým nástrojem jako apriorní odhad v teorii lineární pružnosti.

Prohlášení o nerovnosti

Nechat $Ω$ být otevřeno, připojeno doména v $n$ -dimenzionální Euklidovský prostor $R n$ , $n \geq 2$ . Nechat $H 1 (Ω)$ být Sobolevův prostor ze všech vektorová pole $proti = (proti 1, ..., proti n)$ na $Ω$ že spolu s jejich (prvními) slabými deriváty leží v Lebesgueův prostor $L 2 (Ω)$ . Označující parciální derivace s respektem k i^th komponenta od $\partial i$ , norma v $H 1 (Ω)$ darováno

{ displaystyle | v | _ {H ^ {1} ( Omega)}: = left ( int _ { Omega} sum _ {i = 1} ^ {n} | v ^ {i} (x) | ^ {2} , mathrm {d} x + int _ { Omega} sum _ {i, j = 1} ^ {n} | částečné _ {j} v ^ {i} ( x) | ^ {2} , mathrm {d} x vpravo) ^ {1/2}.}

Pak je tu konstanta $C \geq 0$ , známý jako Kornova konstanta z $Ω$ , tak, že pro všechny $proti \in H 1 (Ω)$ ,

{ displaystyle | v | _ {H ^ {1} ( Omega)} ^ {2} leq C int _ { Omega} sum _ {i, j = 1} ^ {n} vlevo (| v ^ {i} (x) | ^ {2} + | (e_ {ij} v) (x) | ^ {2} vpravo) , mathrm {d} x}

(1)

kde $E$ označuje symetrizovaný gradient daný

{ displaystyle e_ {ij} v = { frac {1} {2}} ( částečné _ {i} v ^ {j} + částečné _ {j} v ^ {i}).}

Nerovnost (1) je známý jako Kornova nerovnost.

Viz také

Reference

Cioranescu, Doina; Oleinik, Olga Arsenievna; Tronel, Gérard (1989), „O Kornově nerovnosti pro rámové struktury a křižovatky“, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences Série I: Mathématiques, 309 (9): 591–596, PAN 1053284, Zbl 0937.35502.
Horgan, Cornelius O. (1995), „Kornovy nerovnosti a jejich aplikace v mechanice kontinua“, Recenze SIAM, 37 (4): 491–511, doi:10.1137/1037123, ISSN 0036-1445, PAN 1368384, Zbl 0840.73010.
Oleinik, Olga Arsenievna; Kondratiev, Vladimír Alexandrovič (1989), „O Kornově nerovnosti“, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences Série I: Mathématiques, 308 (16): 483–487, PAN 0995908, Zbl 0698.35067.
Oleinik, Olga A. (1992), "Korn's Type nerovnosti a aplikace na pružnost", v Amaldi, E.; Amerio, L.; Fichera, G.; Gregory, T .; Grioli, G.; Martinelli, E.; Montalenti, G .; Pignedoli, A.; Salvini, Giorgio; Scorza Dragoni, Giuseppe (eds.), Convegno internazionale in memoria di Vito Volterra (8. – 11. Října 1990), Atti dei Convegni Lincei (v italštině), 92, Romové: Accademia Nazionale dei Lincei, s. 183–209, ISSN 0391-805X, PAN 1783034, Zbl 0972.35013, archivovány z originál dne 01.01.2017, vyvoláno 2014-07-27.

externí odkazy

Voitsekhovskii, M. I. (2001) [1994], „Kornova nerovnost“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS