Knesersova věta (kombinatorika) - Knesers theorem (combinatorics) - Wikipedia

V oboru matematiky známém jako aditivní kombinatorika, Kneserova věta může odkazovat na jednu z několika souvisejících vět o velikostech určité soupravy v abelianské skupiny. Jsou pojmenovány po Martin Kneser, který je publikoval v roce 1953^[1] a 1956.^[2] Mohou být považovány za rozšíření Cauchy – Davenportova věta, který se také týká souhrnů ve skupinách, ale je omezen na skupiny, jejichž objednat je prvočíslo.^[3]

První tři příkazy pojednávají o množinách, jejichž velikost (v různých smyslech) je přísně menší než součet velikosti sčítacích příkazů. Poslední výrok se zabývá případem rovnosti pro Haarovo opatření v propojených kompaktních abelianských skupinách.

Přísná nerovnost

Li ${ displaystyle G}$ je abelianská skupina a ${ displaystyle C}$ je podmnožinou ${ displaystyle G}$, skupina ${ displaystyle H (C): = {g v G: g + C = C }}$ je stabilizátor z ${ displaystyle C}$.

Mohutnost

Nechat ${ displaystyle G}$ být abelianská skupina. Li ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ jsou neprázdné konečné podmnožiny ${ displaystyle G}$ uspokojující ${ displaystyle | A + B | <| A | + | B |}$ a ${ displaystyle H}$ je stabilizátor ${ displaystyle A + B}$, pak ${ displaystyle { begin {aligned} | A + B | & = | A + H | + | B + H | - | H |. end {aligned}}}$

Toto prohlášení je důsledkem prohlášení pro skupiny LCA níže, získané specializací na případ, kdy je okolní skupina diskrétní. Samostatný dokument je uveden v učebnici Nathansona.^[4]

Nižší asymptotická hustota v přirozených počtech

Hlavní výsledek článku Knesera z roku 1953^[1] je varianta Mannova věta na Schnirelmannova hustota.

Li ${ displaystyle C}$ je podmnožinou ${ displaystyle mathbb {N}}$, nižší asymptotická hustota z ${ displaystyle C}$ je číslo ${ displaystyle { underline {d}} (C): = liminf _ {n to infty} { frac {| C cap {1, dots, n } |} {n}}}$. Kneserova věta o nižší asymptotické hustotě uvádí, že pokud ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ jsou podmnožiny ${ displaystyle mathbb {N}}$ uspokojující ${ displaystyle { underline {d}} (A + B) <{ underline {d}} (A) + { underline {d}} (B)}$, pak existuje přirozené číslo ${ displaystyle k}$ takhle ${ displaystyle H: = k mathbb {N} pohár {0 }}$ splňuje následující dvě podmínky:

${ displaystyle (A + B + H) setminus (A + B)}$ je konečný,

a

${ displaystyle { underline {d}} (A + B) = { underline {d}} (A + H) + { underline {d}} (B + H) - { underline {d}} ( H).}$

Všimněte si, že ${ displaystyle A + B subseteq A + B + H}$, od té doby ${ displaystyle 0 v H}$.

Měření Haar v lokálně kompaktních abelianských (LCA) skupinách

Nechat ${ displaystyle G}$ být LCA skupinou s Haarovo opatření ${ displaystyle m}$ a nechte ${ displaystyle m _ {*}}$ označit vnitřní míra vyvolané ${ displaystyle m}$ (také předpokládáme ${ displaystyle G}$ je Hausdorff, jako obvykle). Jsme nuceni považovat vnitřní Haarovu míru za součet dvou ${ displaystyle m}$-měřitelné sady nemusí být ${ displaystyle m}$-měřitelný. Satz 1 článku Knesera z roku 1956^[2] lze konstatovat takto:

Li ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ jsou neprázdné ${ displaystyle m}$-měřitelné podmnožiny ${ displaystyle G}$ uspokojující ${ displaystyle m _ {*} (A + B)$, potom stabilizátor ${ displaystyle H: = H (A + B)}$ je kompaktní a otevřený. Tím pádem ${ displaystyle A + B}$ je kompaktní a otevřený (a proto ${ displaystyle m}$- měřitelné), což je svazek konečně mnoha kosetů ${ displaystyle H}$. Dále ${ displaystyle m (A + B) = m (A + H) + m (B + H) -m (H).}$

Rovnost ve spojených kompaktních abelianských skupinách

Protože připojené skupiny nemají žádné správné otevřené podskupiny, předchozí příkaz okamžitě znamená, že pokud ${ displaystyle G}$ je tedy připojen ${ displaystyle m _ {*} (A + B) geq min {m (A) + m (B), m (G) }}$ pro všechny ${ displaystyle m}$-měřitelné sady ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$. Příklady kde

${ displaystyle m _ {*} (A + B) = m (A) + m (B)$

(1)

lze najít kdy ${ displaystyle G}$ je torus ${ displaystyle mathbb {T}: = mathbb {R} / mathbb {Z}}$ a ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ jsou intervaly. Satz 2 článku Knesera z roku 1956^[2] říká, že všechny příklady množin splňujících rovnici (1) s nenulovými souhrny jsou jejich zjevné úpravy. Přesně: pokud ${ displaystyle G}$ je propojená kompaktní abelianská skupina s Haarovým měřítkem ${ displaystyle m,}$ ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ jsou ${ displaystyle m}$-měřitelné podmnožiny ${ displaystyle G}$ uspokojující ${ displaystyle m (A)> 0, m (B)> 0}$a rovnice (1), pak existuje nepřetržitý surjektivní homomorfismus ${ displaystyle phi: G až mathbb {T}}$ a existují uzavřené intervaly ${ displaystyle I}$, ${ displaystyle J}$ v ${ displaystyle mathbb {T}}$ takhle ${ displaystyle A subseteq phi ^ {- 1} (I)}$, ${ displaystyle B subseteq phi ^ {- 1} (J)}$, ${ displaystyle m (A) = m ( phi ^ {- 1} (I))}$, a ${ displaystyle m (B) = m ( phi ^ {- 1} (J))}$.

Poznámky

Reference

• Geroldinger, Alfred; Ruzsa, Imre Z., eds. (2009). Kombinatorická teorie čísel a aditivní teorie grup. Pokročilé kurzy matematiky CRM Barcelona. Elsholtz, C .; Freiman, G .; Hamidoune, Y. O .; Hegyvári, N .; Károlyi, G .; Nathanson, M .; Solymosi, J.; Stanchescu, Y. S předmluvou Javiera Cilleruela, Marca Noye a Oriola Serry (koordinátoři DocCourse). Basilej: Birkhäuser. ISBN  978-3-7643-8961-1. Zbl  1177.11005.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Grynkiewicz, David (2013). Teorie strukturních aditiv. Vývoj v matematice. 30. Springer. str. 61. ISBN  978-3-319-00415-0. Zbl  1368.11109.
• Tao, Terence; Vu, Van H. (2010), Aditivní kombinatorika, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-13656-3, Zbl  1179.11002