Kleinův mnohostěn - Klein polyhedron - Wikipedia

V geometrie čísel, Kleinův mnohostěn, pojmenoval podle Felix Klein, se používá k zobecnění pojmu pokračující zlomky do vyšších dimenzí.

Definice

Nechat ${ displaystyle textstyle C}$ být uzavřen zjednodušující kužel v Euklidovský prostor ${ displaystyle textstyle mathbb {R} ^ {n}}$ . The Kleinův mnohostěn z ${ displaystyle textstyle C}$ je konvexní obal z nenulových bodů ${ displaystyle textstyle C cap mathbb {Z} ^ {n}}$ .

Vztah k pokračujícím frakcím

Předpokládat ${ displaystyle textstyle alpha> 0}$ je iracionální číslo. v ${ displaystyle textstyle mathbb {R} ^ {2}}$ , kužele generované ${ displaystyle textstyle {(1, alfa), (1,0) }}$ a tím ${ displaystyle textstyle {(1, alfa), (0,1) }}$ dají vzniknout dvěma Kleinovým mnohostěnům, z nichž každý je ohraničen posloupností sousedních úseček. Definujte celočíselná délka úsečky o jeden menší, než je velikost jejího průsečíku s ${ displaystyle textstyle mathbb {Z} ^ {n}}$ . Potom celočíselné délky okrajů těchto dvou Kleinových mnohostěnů kódují expanzi pokračujícího zlomku ${ displaystyle textstyle alpha}$ jeden odpovídá sudým podmínkám a druhý lichým podmínkám.

Grafy spojené s Kleinovým mnohostěnem

Předpokládat ${ displaystyle textstyle C}$ je generován na základě ${ displaystyle textstyle (a_ {i})}$ z ${ displaystyle textstyle mathbb {R} ^ {n}}$ (aby ${ displaystyle textstyle C = { součet _ {i} lambda _ {i} a_ {i}: ( forall i) ; lambda _ {i} geq 0 }}$ ) a nechte ${ displaystyle textstyle (w_ {i})}$ být dvojí základ (aby ${ displaystyle textstyle C = {x: ( forall i) ; langle w_ {i}, x rangle geq 0 }}$ ). Psát si ${ displaystyle textstyle D (x)}$ pro čáru generovanou vektorem ${ displaystyle textstyle x}$ , a ${ displaystyle textstyle H (x)}$ pro nadrovinu kolmo na ${ displaystyle textstyle x}$ .

Zavolej vektoru ${ displaystyle textstyle x in mathbb {R} ^ {n}}$ iracionální -li ${ displaystyle textstyle H (x) cap mathbb {Q} ^ {n} = {0 }}$ ; a zavolat kužel ${ displaystyle textstyle C}$ iracionální, pokud všechny vektory ${ displaystyle textstyle a_ {i}}$ a ${ displaystyle textový styl w_ {i}}$ jsou iracionální.

Hranice ${ displaystyle textstyle V}$ Kleinova mnohostěnu se nazývá a plachta. Souvisí s plachtou ${ displaystyle textstyle V}$ iracionálního kužele jsou dva grafy:

graf ${ displaystyle textstyle Gamma _ { mathrm {e}} (V)}$ jehož vrcholy jsou vrcholy ${ displaystyle textstyle V}$ , dva vrcholy se spojí, pokud jsou koncovými body (jednorozměrné) hrany ${ displaystyle textstyle V}$ ;
graf ${ displaystyle textstyle Gamma _ { mathrm {f}} (V)}$ jejichž vrcholy jsou ${ displaystyle textstyle (n-1)}$ -dimenzionální tváře (komory) z ${ displaystyle textstyle V}$ , dvě komory jsou spojeny, pokud sdílejí ${ displaystyle textstyle (n-2)}$ -rozměrná tvář.

Oba tyto grafy strukturálně souvisejí s orientovaným grafem ${ displaystyle textstyle Upsilon _ {n}}$ jehož množina vrcholů je ${ displaystyle textstyle mathrm {GL} _ {n} ( mathbb {Q})}$ , kde vrchol ${ displaystyle textstyle A}$ je spojen s vrcholem ${ displaystyle textový styl B}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle textstyle A ^ {- 1} B}$ je ve formě ${ displaystyle textstyle UW}$ kde

{ displaystyle U = left ({ begin {array} {cccc} 1 & cdots & 0 & c_ {1} vdots & ddots & vdots & vdots 0 & cdots & 1 & c_ {n-1} 0 & cdots & 0 & c_ {n} end {array}} right)}

(s ${ displaystyle textstyle c_ {i} in mathbb {Q}}$ , ${ displaystyle textstyle c_ {n} neq 0}$ ) a ${ displaystyle textstyle W}$ je permutační matice. Za předpokladu, že ${ displaystyle textstyle V}$ byl trojúhelníkové, vrcholy každého z grafů ${ displaystyle textstyle Gamma _ { mathrm {e}} (V)}$ a ${ displaystyle textstyle Gamma _ { mathrm {f}} (V)}$ lze popsat pomocí grafu ${ displaystyle textstyle Upsilon _ {n}}$ :

Vzhledem k jakékoli cestě ${ displaystyle textstyle (x_ {0}, x_ {1}, ldots)}$ v ${ displaystyle textstyle Gamma _ { mathrm {e}} (V)}$ , lze najít cestu ${ displaystyle textstyle (A_ {0}, A_ {1}, ldots)}$ v ${ displaystyle textstyle Upsilon _ {n}}$ takhle ${ displaystyle textstyle x_ {k} = A_ {k} (e)}$ , kde ${ displaystyle textstyle e}$ je vektor ${ displaystyle textstyle (1, ldots, 1) in mathbb {R} ^ {n}}$ .
Vzhledem k jakékoli cestě ${ displaystyle textstyle ( sigma _ {0}, sigma _ {1}, ldots)}$ v ${ displaystyle textstyle Gamma _ { mathrm {f}} (V)}$ , lze najít cestu ${ displaystyle textstyle (A_ {0}, A_ {1}, ldots)}$ v ${ displaystyle textstyle Upsilon _ {n}}$ takhle ${ displaystyle textstyle sigma _ {k} = A_ {k} ( Delta)}$ , kde ${ displaystyle textstyle Delta}$ je ${ displaystyle textstyle (n-1)}$ -dimenzionální standardní simplex v ${ displaystyle textstyle mathbb {R} ^ {n}}$ .

Zobecnění Lagrangeovy věty

Lagrange dokázal to pro iracionální reálné číslo ${ displaystyle textstyle alpha}$ , pokračující zlomek expanze ${ displaystyle textstyle alpha}$ je periodicky kdyby a jen kdyby ${ displaystyle textstyle alpha}$ je kvadratická iracionální. Kleinovy mnohostěny nám umožňují zobecnit tento výsledek.

Nechat ${ displaystyle textstyle K subseteq mathbb {R}}$ být úplně skutečný algebraické číslo pole stupně ${ displaystyle textstyle n}$ a nechte ${ displaystyle textstyle alpha _ {i}: K až mathbb {R}}$ být ${ displaystyle textstyle n}$ skutečné vložení ${ displaystyle textstyle K}$ . Zjednodušený kužel ${ displaystyle textstyle C}$ se říká, že je rozdělit přes ${ displaystyle textstyle K}$ -li ${ displaystyle textstyle C = {x v mathbb {R} ^ {n}: ( forall i) ; alpha _ {i} ( omega _ {1}) x_ {1} + ldots + alpha _ {i} ( omega _ {n}) x_ {n} geq 0 }}$ kde ${ displaystyle textstyle omega _ {1}, ldots, omega _ {n}}$ je základem pro ${ displaystyle textstyle K}$ přes ${ displaystyle textstyle mathbb {Q}}$ .

Daná cesta ${ displaystyle textstyle (A_ {0}, A_ {1}, ldots)}$ v ${ displaystyle textstyle Upsilon _ {n}}$ , nechť ${ displaystyle textstyle R_ {k} = A_ {k + 1} A_ {k} ^ {- 1}}$ . Cesta se nazývá periodicky, s tečkou ${ displaystyle textstyle m}$ , pokud ${ displaystyle textstyle R_ {k + qm} = R_ {k}}$ pro všechny ${ displaystyle textstyle k, q geq 0}$ . The matice období taková cesta je definována jako ${ displaystyle textstyle A_ {m} A_ {0} ^ {- 1}}$ . Cesta dovnitř ${ displaystyle textstyle Gamma _ { mathrm {e}} (V)}$ nebo ${ displaystyle textstyle Gamma _ { mathrm {f}} (V)}$ spojené s takovou cestou se také říká, že je periodické, se stejnou periodickou maticí.

Zobecněná Lagrangeova věta uvádí, že pro iracionální zjednodušený kužel ${ displaystyle textstyle C subseteq mathbb {R} ^ {n}}$ , s generátory ${ displaystyle textstyle (a_ {i})}$ a ${ displaystyle textstyle (w_ {i})}$ jak je uvedeno výše a s plachtou ${ displaystyle textstyle V}$ , ekvivalentní jsou následující tři podmínky:

${ displaystyle textstyle C}$ je rozděleno na nějaké zcela skutečné algebraické číselné pole stupně ${ displaystyle textstyle n}$ .
Pro každou z ${ displaystyle textstyle a_ {i}}$ existuje periodická cesta vrcholů ${ displaystyle textstyle x_ {0}, x_ {1}, ldots}$ v ${ displaystyle textstyle Gamma _ { mathrm {e}} (V)}$ takové, že ${ displaystyle textstyle x_ {k}}$ asymptoticky se přiblížit k čáře ${ displaystyle textstyle D (a_ {i})}$ ; a dobové matice těchto cest dojíždějí.
Pro každou z ${ displaystyle textový styl w_ {i}}$ je zde periodická cesta komor ${ displaystyle textstyle sigma _ {0}, sigma _ {1}, ldots}$ v ${ displaystyle textstyle Gamma _ { mathrm {f}} (V)}$ takové, že ${ displaystyle textstyle sigma _ {k}}$ asymptoticky přiblížit k nadrovině ${ displaystyle textový styl H (w_ {i})}$ ; a dobové matice těchto cest dojíždějí.

Příklad

Vzít ${ displaystyle textstyle n = 2}$ a ${ displaystyle textstyle K = mathbb {Q} ({ sqrt {2}})}$ . Pak jednoduchý kužel ${ displaystyle textstyle {(x, y): x geq 0, vert y vert leq x / { sqrt {2}} }}$ je rozdělen ${ displaystyle textstyle K}$ . Vrcholy plachty jsou body ${ displaystyle textstyle (p_ {k}, pm q_ {k})}$ odpovídá sudým konvergentům ${ displaystyle textstyle p_ {k} / q_ {k}}$ pokračující frakce pro ${ displaystyle textstyle { sqrt {2}}}$ . Cesta vrcholů ${ displaystyle textstyle (x_ {k})}$ v kladném kvadrantu počínaje od ${ displaystyle textstyle (1,0)}$ a postupovat pozitivním směrem je ${ displaystyle textstyle ((1,0), (3,2), (17,12), (99,70), ldots)}$ . Nechat ${ displaystyle textstyle sigma _ {k}}$ být spojovacím segmentem ${ displaystyle textstyle x_ {k}}$ na ${ displaystyle textstyle x_ {k + 1}}$ . Psát si ${ displaystyle textstyle { bar {x}} _ {k}}$ a ${ displaystyle textstyle { bar { sigma}} _ {k}}$ pro odrazy ${ displaystyle textstyle x_ {k}}$ a ${ displaystyle textstyle sigma _ {k}}$ v ${ displaystyle textstyle x}$ -osa. Nechat ${ displaystyle textstyle T = left ({ begin {array} {cc} 3 & 4 2 & 3 end {array}} right)}$ , aby ${ displaystyle textstyle x_ {k + 1} = Tx_ {k}}$ a nechte ${ displaystyle textstyle R = left ({ begin {array} {cc} 6 & 1 - 1 & 0 end {array}} right) = left ({ begin {array} {cc} 1 & 6 0 & -1 end {array}} right) left ({ begin {array} {cc} 0 & 1 1 & 0 end {array}} right)}$ .

Nechat ${ displaystyle textstyle M _ { mathrm {e}} = left ({ begin {pole} {cc} { frac {1} {2}} & { frac {1} {2}} { frac {1} {4}} & - { frac {1} {4}} end {pole}} vpravo)}$ , ${ displaystyle textstyle { bar {M}} _ { mathrm {e}} = left ({ begin {array} {cc} { frac {1} {2}} & { frac {1} {2}} - { frac {1} {4}} a { frac {1} {4}} end {array}} right)}$ , ${ displaystyle textstyle M _ { mathrm {f}} = doleva ({ začátek {pole} {cc} 3 a 1 2 & 0 konec {pole}} doprava)}$ , a ${ displaystyle textstyle { bar {M}} _ { mathrm {f}} = left ({ begin {array} {cc} 3 & 1 - 2 & 0 end {array}} right)}$ .

Cesty ${ displaystyle textstyle (M _ { mathrm {e}} R ^ {k})}$ a ${ displaystyle textstyle ({ bar {M}} _ { mathrm {e}} R ^ {k})}$ jsou periodické (s periodou jedna) v ${ displaystyle textstyle Upsilon _ {2}}$ , s dobovými maticemi ${ displaystyle textstyle M _ { mathrm {e}} RM _ { mathrm {e}} ^ {- 1} = T}$ a ${ displaystyle textstyle { bar {M}} _ { mathrm {e}} R { bar {M}} _ { mathrm {e}} ^ {- 1} = T ^ {- 1}}$ . My máme ${ displaystyle textstyle x_ {k} = M _ { mathrm {e}} R ^ {k} (e)}$ a ${ displaystyle textstyle { bar {x}} _ {k} = { bar {M}} _ { mathrm {e}} R ^ {k} (e)}$ .
Cesty ${ displaystyle textstyle (M _ { mathrm {f}} R ^ {k})}$ a ${ displaystyle textstyle ({ bar {M}} _ { mathrm {f}} R ^ {k})}$ jsou periodické (s periodou jedna) v ${ displaystyle textstyle Upsilon _ {2}}$ , s dobovými maticemi ${ displaystyle textstyle M _ { mathrm {f}} RM _ { mathrm {f}} ^ {- 1} = T}$ a ${ displaystyle textstyle { bar {M}} _ { mathrm {f}} R { bar {M}} _ { mathrm {f}} ^ {- 1} = T ^ {- 1}}$ . My máme ${ displaystyle textstyle sigma _ {k} = M _ { mathrm {f}} R ^ {k} ( Delta)}$ a ${ displaystyle textstyle { bar { sigma}} _ {k} = { bar {M}} _ { mathrm {f}} R ^ {k} ( Delta)}$ .

Zobecnění přibližnosti

Skutečné číslo ${ displaystyle textstyle alpha> 0}$ je nazýván špatně přibližný -li ${ displaystyle textstyle {q (p alpha -q): p, q v mathbb {Z}, q> 0 }}$ je ohraničen od nuly. Iracionální číslo je špatně přibližné právě tehdy, když jsou omezeny dílčí kvocienty jeho pokračujícího zlomku.^[1] Tato skutečnost připouští zobecnění, pokud jde o Kleinovu mnohostenu.

Vzhledem k tomu, jednoduchý kužel ${ displaystyle textstyle C = {x: ( forall i) ; langle w_ {i}, x rangle geq 0 }}$ v ${ displaystyle textstyle mathbb {R} ^ {n}}$ , kde ${ displaystyle textstyle langle w_ {i}, w_ {i} rangle = 1}$ , definovat minimální norma z ${ displaystyle textstyle C}$ tak jako ${ displaystyle textstyle N (C) = inf { prod _ {i} langle w_ {i}, x rangle: x in mathbb {Z} ^ {n} cap C setminus { 0 } }}$ .

Dané vektory ${ displaystyle textstyle mathbf {v} _ {1}, ldots, mathbf {v} _ {m} in mathbb {Z} ^ {n}}$ , nechť ${ displaystyle textstyle [ mathbf {v} _ {1}, ldots, mathbf {v} _ {m}] = součet _ {i_ {1} < cdots$ . Toto je euklidovský objem ${ displaystyle textstyle { součet _ {i} lambda _ {i} mathbf {v} _ {i}: ( forall i) ; 0 leq lambda _ {i} leq 1 } }$ .

Nechat ${ displaystyle textstyle V}$ být plachtou iracionálního jednoduchého kuželu ${ displaystyle textstyle C}$ .

Pro vrchol ${ displaystyle textstyle x}$ z ${ displaystyle textstyle Gamma _ { mathrm {e}} (V)}$ , definovat ${ displaystyle textstyle [x] = [ mathbf {v} _ {1}, ldots, mathbf {v} _ {m}]}$ kde ${ displaystyle textstyle mathbf {v} _ {1}, ldots, mathbf {v} _ {m}}$ jsou primitivní vektory v ${ displaystyle textstyle mathbb {Z} ^ {n}}$ generování hran vycházejících z ${ displaystyle textstyle x}$ .
Pro vrchol ${ displaystyle textstyle sigma}$ z ${ displaystyle textstyle Gamma _ { mathrm {f}} (V)}$ , definovat ${ displaystyle textstyle [ sigma] = [ mathbf {v} _ {1}, ldots, mathbf {v} _ {m}]}$ kde ${ displaystyle textstyle mathbf {v} _ {1}, ldots, mathbf {v} _ {m}}$ jsou extrémní body ${ displaystyle textstyle sigma}$ .

Pak ${ displaystyle textstyle N (C)> 0}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle textstyle {[x]: x v gama _ { mathrm {e}} (V) }}$ a ${ displaystyle textstyle {[ sigma]: sigma v gama _ { mathrm {f}} (V) }}$ jsou omezené.

Množství ${ displaystyle textstyle [x]}$ a ${ displaystyle textstyle [ sigma]}$ jsou nazývány determinanty. Ve dvou rozměrech, s kuželem generovaným ${ displaystyle textstyle {(1, alfa), (1,0) }}$ , jsou to jen dílčí kvocienty pokračujícího zlomku ${ displaystyle textstyle alpha}$ .

Viz také

Budova (matematika)

Reference

^ Bugeaud, Yann (2012). Distribuce modulo one a diofantická aproximace. Cambridge Tracts v matematice. 193. Cambridge: Cambridge University Press. str. 245. ISBN 978-0-521-11169-0. Zbl 1260.11001.

O. N. Němec, 2007, „Kleinovy mnohostěny a mřížky s minimy pozitivní normy“. Journal de théorie des nombres de Bordeaux 19: 175–190.
E. I. Korkina, 1995, „Dvojrozměrné pokračující zlomky. Nejjednodušší příklady“. Proc. Steklovův matematický ústav 209: 124–144.
G. Lachaud 1998, "Plachty a Kleinovy mnohostěny" v Současná matematika 210. Americká matematická společnost: 373–385.

[Bug245-1] Bugeaud, Yann (2012). Distribuce modulo one a diofantická aproximace. Cambridge Tracts v matematice. 193. Cambridge: Cambridge University Press. str. 245. ISBN 978-0-521-11169-0. Zbl 1260.11001.

[1]