Kleimansova věta - Kleimans theorem - Wikipedia

V algebraické geometrii Kleimanova věta, představil Kleiman (1974), obavy dimenze a hladkost schéma-teoretický průnik po určité narušení faktorů v křižovatce.

Přesně uvádí:^[1] vzhledem k propojené algebraické skupině G herectví přechodně na algebraické odrůdě X přes algebraicky uzavřené pole k a ${ displaystyle V_ {i} až X, i = 1,2}$ morfismy odrůd, G obsahuje neprázdnou otevřenou podmnožinu takovou, že pro každou G v sadě,

1. buď ${ displaystyle gV_ {1} krát _ {X} V_ {2}}$ je prázdný nebo má čistou dimenzi ${ displaystyle dim V_ {1} + dim V_ {2} - dim X}$, kde ${ displaystyle gV_ {1}}$ je ${ displaystyle V_ {1} až X { přesahující {g} { to}} X}$,
2. (Kleiman -Bertiniho věta ) Pokud ${ displaystyle V_ {i}}$ jsou hladké odrůdy a pokud jsou charakteristické pro základní pole k je tedy nula ${ displaystyle gV_ {1} krát _ {X} V_ {2}}$ je hladký.

Prohlášení 1 zavádí verzi Chowovo pohyblivé lemma:^[2] po nějakém narušení cyklů zapnuto X, jejich průnik očekával rozměr.

Náčrt důkazu

Píšeme ${ displaystyle f_ {i}}$ pro ${ displaystyle V_ {i} až X}$. Nechat ${ displaystyle h: G krát V_ {1} až X}$ být složení, které je ${ displaystyle (1_ {G}, f_ {1}): G krát V_ {1} až G krát X}$ následuje skupinová akce ${ displaystyle sigma: G krát X až X}$.

Nechat ${ displaystyle Gamma = (G krát V_ {1}) krát _ {X} V_ {2}}$ být vláknitý výrobek z ${ displaystyle h}$ a ${ displaystyle f_ {2}: V_ {2} až X}$; jeho sada uzavřených bodů je

${ displaystyle Gamma = {(g, v, w) | g v G, v ve V_ {1}, w ve V_ {2}, g cdot f_ {1} (v) = f_ { 2} (w) }}$.

Chceme vypočítat rozměr ${ displaystyle Gamma}$. Nechat ${ displaystyle p: Gamma až V_ {1} krát V_ {2}}$ být projekcí. Od té doby je to surjektivní ${ displaystyle G}$ působí přechodně na X. Každé vlákno p je sada stabilizátorů na X a tak

${ displaystyle dim Gamma = dim V_ {1} + dim V_ {2} + dim G- dim X}$.

Zvažte projekce ${ displaystyle q: Gamma až G}$; vlákno z q přes G je ${ displaystyle gV_ {1} krát _ {X} V_ {2}}$ a má očekávaný rozměr, pokud není prázdný. Tím je doplněn důkaz prohlášení 1.

Pro Výrok 2, protože G působí přechodně na X a hladké místo X je neprázdné (s charakteristickou nulou), X sám o sobě je hladký. Od té doby G je hladký, každé geometrické vlákno o p je hladký a tedy ${ displaystyle p_ {0}: Gamma _ {0}: = (G krát V_ {1, { text {sm}}}) krát _ {X} V_ {2, { text {sm}} } to V_ {1, { text {sm}}} krát V_ {2, { text {sm}}}}$ je hladký morfismus. Z toho vyplývá, že obecné vlákno ${ displaystyle q_ {0}: Gamma _ {0} do G}$ je hladký obecná plynulost. ${ displaystyle square}$

Poznámky

Reference

• Eisenbud, David; Harris, Joe (2016), 3264 a All That: Druhý kurz v algebraické geometrii, Cambridge University Press, ISBN  978-1107602724
• Kleiman, Steven L. (1974), „Transversalita obecného překladu“, Compositio Mathematica, 28: 287–297, PAN  0360616
• Fulton, William (1998), Teorie křižovatky, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 2 (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-62046-4, PAN  1644323

Tento související s algebraickou geometrií článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.