Nerovnost Karamatas - Karamatas inequality - Wikipedia

v matematika, Karamatova nerovnost,^[1] pojmenoval podle Jovan Karamata,^[2] také známý jako majoritní nerovnost, je věta v elementární algebra pro konvexní a konkávní funkce se skutečnou hodnotou definované na intervalu reálné linie. Zobecňuje diskrétní formu Jensenova nerovnost a postupně zobecňuje koncept Schur-konvexní funkce.

Prohlášení o nerovnosti

Nechat $Já$ být interval z skutečná linie a nechte $F$ označit skutečnou hodnotu, konvexní funkce definováno dne $Já$ . Li $X 1, . . . , X n$ a $y 1, . . . , y n$ jsou čísla v $Já$ takhle $(X 1, . . . , X n)$ specializuje $(y 1, . . . , y n)$ , pak

{ displaystyle f (x_ {1}) + cdots + f (x_ {n}) geq f (y_ {1}) + cdots + f (y_ {n}).}

(1)

Zde to znamená majorizace $X 1, . . . , X n$ a $y 1, . . . , y n$ splňuje

{ displaystyle x_ {1} geq x_ {2} geq cdots geq x_ {n}}

a

{ displaystyle y_ {1} geq y_ {2} geq cdots geq y_ {n},}

(2)

a máme nerovnosti

{ displaystyle x_ {1} + cdots + x_ {i} geq y_ {1} + cdots + y_ {i}}

pro všechny

i \in {1, . . . , n - 1

}.

(3)

a rovnost

{ displaystyle x_ {1} + cdots + x_ {n} = y_ {1} + cdots + y_ {n}}

(4)

Li $F$ je přísně konvexní funkce, pak nerovnost (1) platí s rovností právě tehdy, když máme $X i = y i$ pro všechny $i \in {1, . . . , n$ }.

Poznámky

Pokud je konvexní funkce $F$ je neklesající, pak důkaz (1) níže a diskuse o rovnosti v případě přísné konvexnosti ukazuje, že rovnost (4) lze uvolnit

{ displaystyle x_ {1} + cdots + x_ {n} geq y_ {1} + cdots + y_ {n}.}

(5)

Nerovnost (1) je obrácen, pokud $F$ je konkávní, protože v tomto případě funkce $- F$ je konvexní.

Příklad

Konečná forma Jensenova nerovnost je zvláštní případ tohoto výsledku. Zvažte skutečná čísla $X 1, . . . , X n \in Já$ a nechte

{ displaystyle a: = { frac {x_ {1} + x_ {2} + cdots + x_ {n}} {n}}}

označit jejich aritmetický průměr. Pak $(X 1, . . . , X n)$ se specializuje na $n$ -tuple $(A, A, . . . , A)$ , protože aritmetický průměr z $i$ největší počet $(X 1, . . . , X n)$ je alespoň tak velký jako aritmetický průměr $A$ ze všech $n$ čísla pro každého $i \in {1, . . . , n - 1$ }. Karamatovou nerovností (1) pro konvexní funkci $F$ ,

{ displaystyle f (x_ {1}) + f (x_ {2}) + cdots + f (x_ {n}) geq f (a) + f (a) + cdots + f (a) = nf (A).}

Dělení $n$ dává Jensenovu nerovnost. Znamení je obráceno, pokud $F$ je konkávní.

Důkaz nerovnosti

Můžeme předpokládat, že čísla jsou v sestupném pořadí, jak je uvedeno v (2).

Li $X i = y i$ pro všechny $i \in {1, . . . , n$ }, pak nerovnost (1) platí s rovností, proto můžeme v následujícím předpokládat $X i \neq y i$ alespoň pro jednoho $i$ .

Li $X i = y i$ pro $i \in {1, . . . , n - 1$ }, pak nerovnost (1) a vlastnosti majorizace (3) a (4) nejsou ovlivněny, pokud odstraníme $X i$ a $y i$ . Proto to můžeme předpokládat $X i \neq y i$ pro všechny $i \in {1, . . . , n - 1$ }.

Je to vlastnost konvexních funkcí to pro dvě čísla $X \neq y$ v intervalu $Já$ the sklon

{ displaystyle { frac {f (x) -f (y)} {x-y}}}

z sekanční čára skrz body $(X, F (X))$ a $(y, F (y))$ z graf z $F$ je monotónně neklesající funkce v $X$ pro $y$ pevné (a naopak ). To z toho vyplývá

{ displaystyle c_ {i + 1}: = { frac {f (x_ {i + 1}) - f (y_ {i + 1})} {x_ {i + 1} -y_ {i + 1}} } leq { frac {f (x_ {i}) - f (y_ {i})} {x_ {i} -y_ {i}}} =: c_ {i}}

(6)

pro všechny $i \in {1, . . . , n - 1$ }. Definovat $A 0 = B 0 = 0$ a

{ displaystyle A_ {i} = x_ {1} + cdots + x_ {i}, qquad B_ {i} = y_ {1} + cdots + y_ {i}}

pro všechny $i \in {1, . . . , n$ }. Vlastností majorizace (3), $A i \geq B i$ pro všechny $i \in {1, . . . , n - 1$ } a (4), $A n = B n$ . Proto,

{ displaystyle { begin {zarovnáno} součet _ {i = 1} ^ {n} { bigl (} f (x_ {i}) - f (y_ {i}) { bigr)} & = součet _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (x_ {i} -y_ {i}) & = sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} { bigl (} underbrace {A_ {i} -A_ {i-1}} _ {= , x_ {i}} {} - ( underbrace {B_ {i} -B_ {i-1}} _ {= , y_ {i}}) { bigr)} & = sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (A_ {i} -B_ {i}) - sum _ {i = 1} ^ {n} c_ {i} (A_ {i-1} -B_ {i-1}) & = c_ {n} ( underbrace {A_ {n} -B_ {n}} _ {= , 0}) + sum _ {i = 1} ^ {n-1} ( underbrace {c_ {i} -c_ {i + 1}} _ { geq , 0}) ( underbrace {A_ {i } -B_ {i}} _ { geq , 0}) - c_ {1} ( underbrace {A_ {0} -B_ {0}} _ {= , 0}) & geq 0, end {zarovnáno}}}

(7)

což dokazuje Karamatovu nerovnost (1).

Diskutovat o případu rovnosti v (1), Všimněte si, že $X 1 > y 1$ od (3) a náš předpoklad $X i \neq y i$ pro všechny $i \in {1, . . . , n - 1$ }. Nechat $i$ být nejmenším takovým indexem $(X i, y i) \neq (X i +1, y i +1)$ , který existuje kvůli (4). Pak $A i > B i$ . Li $F$ je striktně konvexní, pak existuje přísná nerovnost v (6), znamenající, že $C i +1 < C i$ . Proto je v součtu na pravé straně (7) a rovnost v (1) nemůže držet.

Pokud je konvexní funkce $F$ tedy neklesající $C n \geq 0$ . Uvolněný stav (5) znamená, že $A n \geq B n$ , což stačí k závěru, že $C n (A n - B n) \geq 0$ v posledním kroku (7).

Pokud je funkce $F$ je tedy striktně konvexní a neklesající $C n > 0$ . Zbývá pouze projednat případ $A n > B n$ . Potom však existuje přísně pozitivní výraz na pravé straně (7) a rovnost v (1) nemůže držet.

Reference

^ Kadelburg, Zoran; Đukić, Dušan; Lukić, Milivoje; Matić, Ivan (2005), „Nerovnosti Karamaty, Schura a Muirheada a některé aplikace“ (PDF), Výuka matematiky, 8 (1): 31–45, ISSN 1451-4966
^ Karamata, Jovan (1932), "Konvexní" Sur une inégalité relativní pomocná písma " (PDF), Publ. Matematika. Univ. Bělehrad (francouzsky), 1: 145–148, Zbl 0005.20101

externí odkazy

Vysvětlení teorie Karamaty o nerovnosti a majorizaci lze nalézt tady.

[1] Kadelburg, Zoran; Đukić, Dušan; Lukić, Milivoje; Matić, Ivan (2005), „Nerovnosti Karamaty, Schura a Muirheada a některé aplikace“ (PDF), Výuka matematiky, 8 (1): 31–45, ISSN 1451-4966

[2] Karamata, Jovan (1932), "Konvexní" Sur une inégalité relativní pomocná písma " (PDF), Publ. Matematika. Univ. Bělehrad (francouzsky), 1: 145–148, Zbl 0005.20101

[1]

[2]