Nerovnost Karamatas - Karamatas inequality - Wikipedia
v matematika, Karamatova nerovnost,[1] pojmenoval podle Jovan Karamata,[2] také známý jako majoritní nerovnost, je věta v elementární algebra pro konvexní a konkávní funkce se skutečnou hodnotou definované na intervalu reálné linie. Zobecňuje diskrétní formu Jensenova nerovnost a postupně zobecňuje koncept Schur-konvexní funkce.
Prohlášení o nerovnosti
Nechat Já být interval z skutečná linie a nechte F označit skutečnou hodnotu, konvexní funkce definováno dne Já. Li X1, . . . , Xn a y1, . . . , yn jsou čísla v Já takhle (X1, . . . , Xn) specializuje (y1, . . . , yn), pak
(1)
Zde to znamená majorizace X1, . . . , Xn a y1, . . . , yn splňuje
- a
(2)
a máme nerovnosti
- pro všechny i ∈ {1, . . . , n − 1}.
(3)
a rovnost
(4)
Li F je přísně konvexní funkce, pak nerovnost (1) platí s rovností právě tehdy, když máme Xi = yi pro všechny i ∈ {1, . . . , n}.
Poznámky
- Pokud je konvexní funkce F je neklesající, pak důkaz (1) níže a diskuse o rovnosti v případě přísné konvexnosti ukazuje, že rovnost (4) lze uvolnit
(5)
Příklad
Konečná forma Jensenova nerovnost je zvláštní případ tohoto výsledku. Zvažte skutečná čísla X1, . . . , Xn ∈ Já a nechte
označit jejich aritmetický průměr. Pak (X1, . . . , Xn) se specializuje na n-tuple (A, A, . . . , A), protože aritmetický průměr z i největší počet (X1, . . . , Xn) je alespoň tak velký jako aritmetický průměr A ze všech n čísla pro každého i ∈ {1, . . . , n − 1}. Karamatovou nerovností (1) pro konvexní funkci F,
Dělení n dává Jensenovu nerovnost. Znamení je obráceno, pokud F je konkávní.
Důkaz nerovnosti
Můžeme předpokládat, že čísla jsou v sestupném pořadí, jak je uvedeno v (2).
Li Xi = yi pro všechny i ∈ {1, . . . , n}, pak nerovnost (1) platí s rovností, proto můžeme v následujícím předpokládat Xi ≠ yi alespoň pro jednoho i.
Li Xi = yi pro i ∈ {1, . . . , n − 1}, pak nerovnost (1) a vlastnosti majorizace (3) a (4) nejsou ovlivněny, pokud odstraníme Xi a yi. Proto to můžeme předpokládat Xi ≠ yi pro všechny i ∈ {1, . . . , n − 1}.
Je to vlastnost konvexních funkcí to pro dvě čísla X ≠ y v intervalu Já the sklon
z sekanční čára skrz body (X, F (X)) a (y, F (y)) z graf z F je monotónně neklesající funkce v X pro y pevné (a naopak ). To z toho vyplývá
(6)
pro všechny i ∈ {1, . . . , n − 1}. Definovat A0 = B0 = 0 a
pro všechny i ∈ {1, . . . , n}. Vlastností majorizace (3), Ai ≥ Bi pro všechny i ∈ {1, . . . , n − 1} a (4), An = Bn. Proto,
(7)
což dokazuje Karamatovu nerovnost (1).
Diskutovat o případu rovnosti v (1), Všimněte si, že X1 > y1 od (3) a náš předpoklad Xi ≠ yi pro všechny i ∈ {1, . . . , n − 1}. Nechat i být nejmenším takovým indexem (Xi, yi) ≠ (Xi+1, yi+1), který existuje kvůli (4). Pak Ai > Bi. Li F je striktně konvexní, pak existuje přísná nerovnost v (6), znamenající, že Ci+1 < Ci. Proto je v součtu na pravé straně (7) a rovnost v (1) nemůže držet.
Pokud je konvexní funkce F tedy neklesající Cn ≥ 0. Uvolněný stav (5) znamená, že An ≥ Bn, což stačí k závěru, že Cn(An−Bn) ≥ 0 v posledním kroku (7).
Pokud je funkce F je tedy striktně konvexní a neklesající Cn > 0. Zbývá pouze projednat případ An > Bn. Potom však existuje přísně pozitivní výraz na pravé straně (7) a rovnost v (1) nemůže držet.
Reference
- ^ Kadelburg, Zoran; Đukić, Dušan; Lukić, Milivoje; Matić, Ivan (2005), „Nerovnosti Karamaty, Schura a Muirheada a některé aplikace“ (PDF), Výuka matematiky, 8 (1): 31–45, ISSN 1451-4966
- ^ Karamata, Jovan (1932), "Konvexní" Sur une inégalité relativní pomocná písma " (PDF), Publ. Matematika. Univ. Bělehrad (francouzsky), 1: 145–148, Zbl 0005.20101
externí odkazy
Vysvětlení teorie Karamaty o nerovnosti a majorizaci lze nalézt tady.