Schur-konvexní funkce - Schur-convex function - Wikipedia

V matematice, a Schur-konvexní funkce, také známý jako S-konvexní, izotonická funkce a funkce zachování objednávky je funkce ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {d} rightarrow mathbb {R}}$ to pro všechny ${ displaystyle x, y in mathbb {R} ^ {d}}$ takhle ${ displaystyle x}$ je specializovaný podle ${ displaystyle y}$, jeden to má ${ displaystyle f (x) leq f (y)}$. Pojmenoval podle Issai Schur, Schur-konvexní funkce se používají při studiu majorizace. Každá funkce, která je konvexní a symetrický je také Schur-konvexní. Opak implikace není pravda, ale všechny Schur-konvexní funkce jsou symetrické (pod permutacemi argumentů).^[1]

Schur-konkávní funkce

Funkce F je „Schur-konkávní“, pokud je negativní, -F, je Schur-konvexní.

Schur-Ostrowského kritérium

Li F je symetrický a existují tedy všechny první parciální derivace F je Schur-konvexní právě tehdy

${ displaystyle (x_ {i} -x_ {j}) left ({ frac { částečné f} { částečné x_ {i}}} - { frac { částečné f} { částečné x_ {j} }} vpravo) geq 0}$ pro všechny ${ displaystyle x in mathbb {R} ^ {d}}$

platí pro všechny 1≤i≠j≤d.^[2]

Příklady

• ${ displaystyle f (x) = min (x)}$ je Schur-konkávní ${ displaystyle f (x) = max (x)}$ je Schur-konvexní. To je patrné přímo z definice.
• The Shannonova entropie funkce ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {d} {P_ {i} cdot log _ {2} { frac {1} {P_ {i}}}}}$ je Schur-konkávní.
• The Rényiho entropie funkce je také Schur-konkávní.
• ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {d} {x_ {i} ^ {k}}, k geq 1}$ je Schur-konvexní.
• Funkce ${ displaystyle f (x) = prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}$ je Schur-konkávní, když předpokládáme vše ${ displaystyle x_ {i}> 0}$. Stejným způsobem všechny Základní symetrické funkce jsou Schur-konkávní, když ${ displaystyle x_ {i}> 0}$.
• Přirozená interpretace majorizace je to pokud ${ displaystyle x succ y}$ pak ${ displaystyle x}$ je méně rozprostřeno než ${ displaystyle y}$. Je tedy přirozené se ptát, zda jsou statistická měřítka variability Schurova konvexní. The rozptyl a standardní odchylka jsou konvexní funkce Schur, zatímco Střední absolutní odchylka není.
• Li ${ displaystyle g}$ je konvexní funkce definovaná na reálném intervalu ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} g (x_ {i})}$ je Schur-konvexní.
• Příklad pravděpodobnosti: Pokud ${ displaystyle X_ {1}, tečky, X_ {n}}$ jsou vyměnitelné náhodné proměnné, pak funkce ${ displaystyle { text {E}} prod _ {j = 1} ^ {n} X_ {j} ^ {a_ {j}}}$ je Schur-konvexní jako funkce ${ displaystyle a = (a_ {1}, dots, a_ {n})}$, za předpokladu, že očekávání existují.
• The Giniho koeficient je striktně Schurova konvexní.

Reference

Viz také

• Kvazikonvexní funkce

Tento matematická analýza –Vztahující se článek je pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.