Kakutanisova věta (teorie míry) - Kakutanis theorem (measure theory) - Wikipedia

v teorie míry, pobočka matematika, Kakutaniho věta je zásadním výsledkem na internetu rovnocennost nebo vzájemná singularita spočítatelné opatření produktu. Dává „kdyby a jen kdyby „Charakterizace toho, kdy jsou dvě taková opatření rovnocenná, a proto je velmi užitečná při pokusu o stanovení vzorců změny opatření pro opatření na funkční prostory. Výsledek je způsoben japonský matematik Shizuo Kakutani. Kakutaniho věta může být použita například k určení, zda překlad z a Gaussova míra ${ displaystyle mu}$ je ekvivalentní k ${ displaystyle mu}$ (pouze když překladový vektor leží v Cameron – Martinův prostor z ${ displaystyle mu}$), nebo zda dilatace ${ displaystyle mu}$ je ekvivalentní k ${ displaystyle mu}$ (pouze když je absolutní hodnota dilatačního faktoru 1, která je součástí Feldmanova – Hájkova věta ).

Výrok věty

Pro každého ${ displaystyle n in mathbb {N}}$, nechť ${ displaystyle mu _ {n}}$ a ${ displaystyle nu _ {n}}$ být opatřeními na skutečné linii ${ displaystyle mathbb {R}}$a nechte ${ displaystyle mu = bigotimes _ {n in mathbb {N}} mu _ {n}}$ a ${ displaystyle nu = bigotimes _ {n in mathbb {N}} nu _ {n}}$ být odpovídajícími opatřeními produktu na ${ displaystyle mathbb {R} ^ { infty}}$. Předpokládejme také, že pro každého ${ displaystyle n in mathbb {N}}$, ${ displaystyle mu _ {n}}$ a ${ displaystyle nu _ {n}}$ jsou ekvivalentní (tj. mají stejné nulové sady). Pak buď ${ displaystyle mu}$ a ${ displaystyle nu}$ jsou rovnocenné, nebo jsou navzájem singulární. Rovnocennost navíc platí přesně tehdy, když je nekonečný produkt

${ displaystyle prod _ {n in mathbb {N}} int _ { mathbb {R}} { sqrt { frac { mathrm {d} mu _ {n}} { mathrm {d } nu _ {n}}}} , mathrm {d} nu _ {n}}$

má nenulový limit; nebo ekvivalentně, když nekonečná řada

${ displaystyle sum _ {n in mathbb {N}} log int _ { mathbb {R}} { sqrt { frac { mathrm {d} mu _ {n}} { mathrm {d} nu _ {n}}}} , mathrm {d} nu _ {n}}$

konverguje.

Reference

• Bogachev, Vladimir (1998). Gaussova opatření. Matematické průzkumy a monografie. 62. Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090 / přežít / 062. ISBN  0-8218-1054-5. (Viz teorém 2.12.7)
• Kakutani, Shizuo (1948). "O rovnocennosti opatření nekonečného produktu". Ann. Matematika. 49: 214–224. doi:10.2307/1969123.