Feldmanova – Hájkova věta - Feldman–Hájek theorem

v teorie pravděpodobnosti, Feldmanova – Hájkova věta nebo Feldman – Hájekova dichotomie je základním výsledkem teorie Gaussovy míry. Uvádí, že dvě Gaussovy míry ${ displaystyle mu}$ a ${ displaystyle nu}$ na lokálně konvexní prostor ${ displaystyle X}$ jsou buď rovnocenná opatření nebo jinak vzájemně singulární:^[1] neexistuje možnost přechodné situace, kdy by například ${ displaystyle mu}$ má hustota s ohledem na ${ displaystyle nu}$ ale ne naopak. Ve zvláštním případě ${ displaystyle X}$ je Hilbertův prostor, je možné výslovně popsat okolnosti, za kterých ${ displaystyle mu}$ a ${ displaystyle nu}$ jsou ekvivalentní: psaní ${ displaystyle m _ { mu}}$ a ${ displaystyle m _ { nu}}$ pro prostředky ${ displaystyle mu}$ a ${ displaystyle nu}$, a ${ displaystyle C _ { mu}}$ a ${ displaystyle C _ { nu}}$ pro jejich kovarianční operátoři ekvivalence ${ displaystyle mu}$ a ${ displaystyle nu}$ platí právě tehdy^[2]

• ${ displaystyle mu}$ a ${ displaystyle nu}$ mít stejné Cameron – Martinův prostor ${ displaystyle H = C _ { mu} ^ {1/2} (X) = C _ { nu} ^ {1/2} (X)}$;
• rozdíl v jejich prostředcích spočívá v tomto společném prostoru Cameron-Martin, tj. ${ displaystyle m _ { mu} -m _ { nu} v H}$; a
• operátor ${ displaystyle (C _ { mu} ^ {- 1/2} C _ { nu} ^ {1/2}) (C _ { mu} ^ {- 1/2} C _ { nu} ^ {1 / 2}) ^ { ast} -I}$ je Operátor Hilbert – Schmidt na ${ displaystyle { bar {H}}}$.

Jednoduchým důsledkem Feldmanovy-Hájekovy věty je, že dilatace Gaussovy míry na nekonečně dimenzionálním Hilbertově prostoru ${ displaystyle X}$ (tj. brát ${ displaystyle C _ { nu} = sC _ { mu}}$ pro nějaký faktor měřítka ${ displaystyle s geq 0}$) vždy přináší dvě vzájemně singulární gaussovské míry, kromě triviální dilatace s ${ displaystyle s = 1}$, od té doby ${ displaystyle (s ^ {2} -1) I}$ je Hilbert – Schmidt, jen když ${ displaystyle s = 1}$.

Reference