Japonská věta o cyklických polygonech - Japanese theorem for cyclic polygons

v geometrie, Japonská věta uvádí, že bez ohledu na to, jak trianguluje A cyklický polygon, součet z inradii z trojúhelníky je konstantní.[1]:p. 193

Japonská věta green.svg

Japonská věta red.svg

součet poloměrů zelených kruhů = součet poloměrů červených kruhů

Naopak, pokud je součet inradii nezávislý na triangulaci, pak je mnohoúhelník cyklický. Japonská věta vyplývá z Carnotova věta; to je Problém sangaku.

Důkaz

Tuto větu lze dokázat nejprve prokázáním zvláštního případu: bez ohledu na to, jak člověk trianguluje cykliku čtyřúhelník, součet inradii trojúhelníků je konstantní.

Po prokázání čtyřstranného případu je obecný případ věty o cyklickém mnohoúhelníku okamžitým důsledkem. Pravidlo čtyřúhelníku lze použít na čtyřúhelníkové součásti obecného oddílu cyklického polygonu a opakované použití pravidla, které „převrátí“ jednu úhlopříčku, vygeneruje všechny možné oddíly z libovolného daného oddílu, přičemž každé „převrácení“ zachová součet inradii.

Čtyřstranný případ vyplývá z jednoduchého rozšíření Japonská věta pro cyklické čtyřstěny, což ukazuje, že obdélník je tvořen dvěma páry stimulátorů odpovídajících dvěma možným triangulacím čtyřúhelníku. Kroky této věty nevyžadují nic kromě základní konstruktivní euklidovské geometrie.[2]

S dodatečnou konstrukcí rovnoběžníku, který má strany rovnoběžné s úhlopříčkami a tečny k rohům obdélníku incenterů, lze v několika krocích dokázat čtyřstranný případ cyklické věty o mnohoúhelníku. Rovnost součtu poloměrů dvou párů je ekvivalentní podmínce, že vytvořený rovnoběžník je kosočtverec, což je na konstrukci snadno ukázáno.

Další důkaz čtyřstranného případu je k dispozici díky Wilfredu Reyesovi (2002).[3] V důkazu oba Japonská věta o cyklických čtyřúhelnících a čtyřstranný případ cyklické věty o mnohoúhelníku je prokázán jako důsledek Thébaultův problém III.

Viz také

Poznámky

  1. ^ Johnson, Roger A., Pokročilá euklidovská geometrie, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
  2. ^ Fukagawa, Hidetoshi; Pedoe, D. (1989). Geometrie japonského chrámu. Manitoba, Kanada: Charles Babbage Research Center. 125–128. ISBN  0919611214.
  3. ^ Reyes, Wilfred (2002). „Aplikace Thébaultovy věty“ (PDF). Fórum Geometricorum. 2: 183–185. Citováno 2. září 2015.

Reference

externí odkazy