Interval dodavatel - Interval contractor

v matematika, an smluvní dodavatel (nebo dodavatel zkráceně)^[1] přidružené k sadě X je operátor C který se přidruží ke krabici [X] v Rⁿ další pole C([X]) z Rⁿ tak, aby byly vždy splněny dvě následující vlastnosti

• ${ displaystyle C ([x]) podmnožina [x]}$ (smluvní majetek)

• ${ displaystyle C ([x]) čepice X = [x] čepice X}$ (vlastnost úplnosti)

A dodavatel spojený s a omezení (například rovnice nebo nerovnost) je dodavatel spojený se sadou X ze všech X které splňují omezení. Dodavatelé umožňují zlepšit efektivitu rozvětvené a vázané algoritmy klasicky používané v intervalová analýza.

Vlastnosti dodavatelů

Dodavatel C je monotóní pokud ano ${ displaystyle [x] podmnožina [y] pravá šipka C ([x]) podmnožina C ([y])}$

to je minimální pokud pro všechny boxy [X], my máme ${ displaystyle C ([x]) = [[x] čepice X]}$, kde [A] je intervalový trup sady A, tj. nejmenší ohraničující schránka A.

Dodavatel C je tenký pokud pro všechny body X,${ displaystyle C ( {x }) = {x } čepice X}$kde {X} označuje zdegenerovanou uzavřenou schránku X jako jediný bod.

Dodavatel C je idempotentní pokud pro všechny boxy [X], my máme${ Displaystyle C Circ C ([x]) = C ([x]).}$

Dodavatel C je konvergentní pokud pro všechny sekvence [X](k) krabic obsahujících X, my máme${ displaystyle [x] (k) rightarrow x rightarrow C ([x] (k)) rightarrow {x } čepice X.}$

Ilustrace

Obrázek 1 představuje sadu X malované šedě a některé krabice. Některé z nich zdegenerované, tj. Odpovídají singletonům. Obrázek 2 představuje tato pole po kontrakce. Všimněte si, že nemá smysl X byl odstraněn dodavatelem. Dodavatel je pro azurovou krabici minimální, ale pro zelenou je pesimistický. Všechny zdegenerované modré rámečky jsou uzavřeny do prázdného rámečku. Purpurový rámeček a červený rámeček nelze uzavřít.

Obrázek 1: Krabice před kontrakcí

Obrázek 2: Krabice po kontrakci

Dodavatelská algebra

Některé operace lze provádět u dodavatelů za účelem vytvoření komplexnějších dodavatelů.^[2]The průsečík, unie, složení a opakování je definováno následovně.

${ displaystyle (C_ {1} cap C_ {2}) ([x]) = C_ {1} ([x]) cap C_ {2} ([x])}$

${ displaystyle (C_ {1} pohár C_ {2}) ([x]) = [C_ {1} ([x]) pohár C_ {2} ([x])]}$

${ displaystyle (C_ {1} circ C_ {2}) ([x]) = C_ {1} (C_ {2} ([x]))}$

${ Displaystyle C ^ { infty} ([x]) = C Circ C Circ C Cir Cdots Circ C ([x])}$

Stavební dodavatelé

Existují různé způsoby, jak vytvořit dodavatele spojené s rovnice a nerovnosti,říci, F(X) v [y]. Většina z nich je založena na intervalové aritmetice. Jedním z nejúčinnějších a nejjednodušších je dopředu / dozadu dodavatel (nazývané také jako HC4-revize). ^[3][4]

Princip je hodnotit F(X) použitím aritmetika intervalu (toto je přední krok). Výsledek interval je protíná se s [y]. Zpětné hodnocení F(X) se poté provádí za účelem uzavření intervalů pro X_i (toto je krok zpět). Princip nyní ilustrujeme na jednoduchém příkladu.

Zvažte omezení${ displaystyle (x_ {1} + x_ {2}) cdot x_ {3} v [1,2].}$Můžeme vyhodnotit funkci F(X) zavedením dvou meziproduktůproměnné A a b, jak následuje

${ displaystyle a = x_ {1} + x_ {2}}$

${ displaystyle b = a cdot x_ {3}}$

Jsou volána dvě předchozí omezení omezení dopředu. Dostaneme zpětná omezení tím, že vezmeme každé omezení dopředu v opačném pořadí a izolujeme každou proměnnou na pravé straně. Dostaneme

${ displaystyle x_ {3} = { frac {b} {a}}}$

${ displaystyle a = { frac {b} {x_ {3}}}}$

${ displaystyle x_ {1} = a-x_ {2}}$

${ displaystyle x_ {2} = a-x_ {1}}$

Výsledný přední / zpětný dodavatel ${ displaystyle C ([x_ {1}], [x_ {2}], [x_ {3}])}$se získá hodnocením omezení dopředu a dozadu pomocí intervalová analýza.

${ displaystyle [a] = [x_ {1}] + [x_ {2}]}$

${ displaystyle [b] = [a] cdot [x_ {3}]}$

${ displaystyle [b] = [b] čepice [1,2]}$

${ displaystyle [x_ {3}] = [x_ {3}] cap { frac {[b]} {[a]}}}$

${ displaystyle [a] = [a] cap { frac {[b]} {[x_ {3}]}}}$

${ displaystyle [x_ {1}] = [x_ {1}] čepice [a] - [x_ {2}]}$

${ displaystyle [x_ {2}] = [x_ {2}] čepice [a] - [x_ {1}]}$

Reference