Rekonstrukce interiéru - Interior reconstruction - Wikipedia

v iterativní rekonstrukce v digitální zobrazování, rekonstrukce interiéru (také známý jako omezené zorné pole (LFV) rekonstrukce) je technika k opravě zkrácených artefaktů způsobených omezením obrazových dat na malá zorné pole. Rekonstrukce se zaměřuje na oblast známou jako oblast zájmu (ROI). Ačkoli lze rekonstrukci interiéru aplikovat na zubní nebo srdeční CT obrázky, koncept není omezen na CT. Aplikuje se jednou z několika metod.

Metody

Účelem každé metody je řešení pro vektor ${ displaystyle x}$ v následujícím problému:

{ displaystyle { begin {bmatrix} f g end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} A&B C&D end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x y end {bmatrix }}.}

Oblast zájmu (ROI) obrázku zobrazujícího objekt

Nechat ${ displaystyle X}$ být oblastí zájmu (ROI) a ${ displaystyle Y}$ být regionem mimo ${ displaystyle X}$ .Převzít ${ displaystyle A}$ , ${ displaystyle B}$ , ${ displaystyle C}$ , ${ displaystyle D}$ jsou známé matice; ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ jsou neznámé vektory původního obrazu, zatímco ${ displaystyle f}$ a ${ displaystyle g}$ jsou vektorová měření odpovědí ( ${ displaystyle f}$ je známo a ${ displaystyle g}$ není známo). ${ displaystyle x}$ je uvnitř regionu ${ displaystyle X}$ , ( ${ displaystyle x v X}$ ) a ${ displaystyle y}$ , v oblasti ${ displaystyle Y}$ , ( ${ displaystyle y v Y}$ ), je mimo region ${ displaystyle X}$ . ${ displaystyle f}$ je uvnitř oblasti v měření odpovídající ${ displaystyle X}$ . Tato oblast je označena jako ${ displaystyle F}$ , ( ${ displaystyle f v F}$ ), zatímco ${ displaystyle g}$ je mimo region ${ displaystyle F}$ . Odpovídá to ${ displaystyle Y}$ a je označen jako ${ displaystyle G}$ , ( ${ displaystyle g v G}$ ).

Pro účely rekonstrukce CT obrazu ${ displaystyle C = 0}$ .

Pro zjednodušení koncepce rekonstrukce interiéru jsou matice ${ displaystyle A}$ , ${ displaystyle B}$ , ${ displaystyle C}$ , ${ displaystyle D}$ se použijí na rekonstrukci obrazu místo složitých operátory.

První níže uvedená metoda rekonstrukce interiéru je extrapolace. Jedná se o metodu lokální tomografie, která eliminuje zkrácené artefakty, ale zavádí další typ artefaktu: efekt mísy. Vylepšení je známé jako adaptivní extrapolační metoda, i když níže uvedená iterativní extrapolační metoda také zlepšuje výsledky rekonstrukce. V některých případech lze najít přesnou rekonstrukci pro rekonstrukci interiéru. Místní inverzní metoda níže upravuje metodu místní tomografie a může zlepšit výsledek rekonstrukce místní tomografie; na rekonstrukci interiéru lze použít metodu iterativní rekonstrukce. Mezi výše uvedenými metodami se často používá extrapolace.

Extrapolační metoda

1) Projekce fantomů Sheep-Logan 2) Zkrácené projekce (nulová extrapolace) 3) Konstantní, 4) exponenciální a 5) kvadratické extrapolace 6) Smíšená extrapolace 4 a 5

{ displaystyle { begin {bmatrix} f g end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} A&B C&D end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x y end {bmatrix }}}

${ displaystyle A}$ , ${ displaystyle B}$ , ${ displaystyle C}$ , ${ displaystyle D}$ jsou známé matice; ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ jsou neznámé vektory; ${ displaystyle f}$ je známý vektor a ${ displaystyle g}$ je neznámý vektor. Potřebujeme znát vektor ${ displaystyle x}$ . ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ jsou původní obrázek, zatímco ${ displaystyle f}$ a ${ displaystyle g}$ jsou měření odpovědí. Vektor ${ displaystyle x}$ je uvnitř zájmové oblasti ${ displaystyle X}$ , ( ${ displaystyle x v X}$ ). Vektor ${ displaystyle y}$ je mimo region ${ displaystyle X}$ . Volá se vnější region ${ displaystyle Y}$ , ( ${ displaystyle y v Y}$ ) a ${ displaystyle f}$ je uvnitř oblasti v měření odpovídající ${ displaystyle X}$ . Tato oblast je označena ${ displaystyle F}$ , ( ${ displaystyle f v F}$ ). Oblast vektoru ${ displaystyle g}$ (mimo region ${ displaystyle F}$ ) také odpovídá ${ displaystyle Y}$ a je označen jako ${ displaystyle G}$ , ( ${ displaystyle g v G}$ ). Při rekonstrukci CT obrazu to má

{ displaystyle C = 0}

Pro zjednodušení koncepce rekonstrukce interiéru jsou matice ${ displaystyle A}$ , ${ displaystyle B}$ , ${ displaystyle C}$ , ${ displaystyle D}$ se použijí na rekonstrukci obrazu místo složitého operátora.

Odezvou ve vnější oblasti může být odhad ${ displaystyle G}$ ; předpokládejme například, že je ${ displaystyle g_ {ex}}$

{ displaystyle { begin {bmatrix} x_ {0} y_ {0} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} A&B C&D end {bmatrix}} ^ {- 1} { begin {bmatrix} f g_ {ex} end {bmatrix}}}

a) Fantom hlavy Shepp-Logan b) Oříznutí fantomu c) Rekonstrukce bez extrapolace d) Rekonstrukce s konstantní, (e) kvadratická a (f) smíšená extrapolace

Řešení ${ displaystyle x}$ je psán jako ${ displaystyle x_ {0}}$ a je známá jako metoda extrapolace. Výsledek závisí na tom, jak dobrá je funkce extrapolace ${ displaystyle g_ {ex}}$ je. Častá volba je

{ displaystyle g_ {ex} | _ { částečné G} = f | _ { částečné F}}

na hranici obou regionů.^[1]^[2]^[3]^[4]Metoda extrapolace je často kombinována s a priori znalost,^[5]^[6] a metoda extrapolace, která zkracuje dobu výpočtu, je uvedena níže.

Adaptivní extrapolační metoda

Předpokládejme hrubé řešení, ${ displaystyle x_ {0}}$ a ${ displaystyle y_ {0}}$ , se získává z výše popsané metody extrapolace. Odezva ve vnější oblasti ${ displaystyle g_ {1}}$ lze vypočítat takto:

{ displaystyle g_ {1} = Cx_ {0} + Dy_ {0}}

Rekonstruovaný obraz lze vypočítat takto:

{ displaystyle { begin {bmatrix} x_ {1} y_ {1} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} A&B C&D end {bmatrix}} ^ {- 1} { begin {bmatrix} f g_ {1} + g_ {1ex} end {bmatrix}}}

Předpokládá se, že

{ displaystyle f | _ { částečné F} = (g_ {1} + g_ {1ex}) | _ { částečné G}}

na hranici vnitřní oblasti; ${ displaystyle x_ {1}}$ řeší problém a je známá jako adaptivní extrapolační metoda. ${ displaystyle g_ {1ex}}$ je adaptivní extrapolační funkce.^[7]^[8]^[9]^[10]^[5]

Iterativní extrapolační metoda

Předpokládá se, že hrubé řešení, ${ displaystyle x_ {0}}$ a ${ displaystyle y_ {0}}$ , se získává z níže popsané metody extrapolace:

{ displaystyle { begin {bmatrix} f_ {1} g_ {1} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} A&B C&D end {bmatrix}} { begin {bmatrix} 0 y_ {0} end {bmatrix}}}

nebo

{ displaystyle f_ {1} = Podle_ {0}}

Rekonstrukci lze získat jako

{ displaystyle { begin {bmatrix} x_ {1} y_ {1} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} A&B C&D end {bmatrix}} ^ {- 1} { begin {bmatrix} f-f_ {1} g_ {ex} end {bmatrix}}}

Tady ${ displaystyle g_ {1ex}}$ je extrapolační funkce a předpokládá se, že

{ displaystyle (f-f_ {1}) | _ { částečné F} = g_ {1ex} | _ { částečné G}}

${ displaystyle x_ {1}}$ je jedním z řešení tohoto problému.^[11]

Místní tomografie

Místní tomografie s velmi krátkým filtrem je také známá jako lambda tomografie.^[12]^[13]

Místní inverzní metoda

Metoda lokální inverze rozšiřuje koncept lokální tomografie. Odezvu ve vnější oblasti lze vypočítat takto:

{ displaystyle f = Axe + By}

Zvažte generalizovanou inverzi ${ displaystyle B ^ {+}}$ uspokojující

{ displaystyle BB ^ {+} B = B}

Definovat

{ displaystyle Q = [I-BB ^ {+}]}

aby

{ displaystyle QB = 0}

Proto,

{ displaystyle Qf = QAx}

Výše uvedenou rovnici lze vyřešit jako

{ displaystyle x_ {1} = A ^ {+} Q ^ {+} Qf}

,

vezmeme-li v úvahu, že

{ displaystyle QQ = Q}

{ displaystyle QQQ = Q}

${ displaystyle Q}$ je zobecněná inverzní funkce k ${ displaystyle Q}$ , tj.

{ displaystyle Q ^ {+} = Q}

Řešení lze zjednodušit jako

{ displaystyle x_ {1} = A ^ {+} Qf}

.

Matice ${ displaystyle A ^ {+} Q = A ^ {+} [I-BB ^ {+}]}$ je známá jako místní inverzní funkce k matice ${ displaystyle { begin {bmatrix} A&B C&D end {bmatrix}}}$ , souhlasí s ${ displaystyle A}$ . Toto se nazývá lokální inverzní metoda.^[11]

Metoda iterační rekonstrukce

Zde je definována funkce cíle a tato metoda iterativně dosahuje cíle. Pokud může být cílová funkce jakýmsi normálem, je to známé jako metoda minimální normy.

{ displaystyle min (R | x | + S | y | + T | g |)}

,

podléhá

{ displaystyle { begin {bmatrix} x y end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} A&B C&D end {bmatrix}} ^ {- 1} { begin {bmatrix} f g end {bmatrix}}}

a ${ displaystyle f}$ je známo,

kde ${ displaystyle R}$ , ${ displaystyle S}$ a ${ displaystyle T}$ jsou váhové konstanty minimalizace a ${ displaystyle | cdot |}$ je nějaký druh norma. Často používané normy jsou ${ displaystyle L_ {0}}$ , ${ displaystyle L_ {1}}$ , ${ displaystyle L_ {2}}$ , ${ displaystyle L _ {+ infty}}$ celková variace (TV) nebo kombinace výše uvedených norem. Příkladem této metody je metoda projekce na konvexní množiny (POCS).^[14]^[15]

Analytické řešení

Ve zvláštních situacích lze rekonstrukci interiéru získat jako analytické řešení; řešení ${ displaystyle x}$ je v takových případech přesný.^[16]^[17]^[18]

Rychlá extrapolace

Extrapolovaná data často spletitý do a funkce jádra. Po extrapolaci dat se jeho velikost zvětší N krát, kde N = 2 ~ 3. Pokud je třeba data převést na známou funkci jádra, numerické výpočty zvýší log (N)·N krát, dokonce is rychlá Fourierova transformace (FFT). An algoritmus existuje analytický výpočet příspěvku z části extrapolovaných údajů. Čas výpočtu lze ve srovnání s původním výpočtem konvoluce vynechat; s tímto algoritmem se výpočet konvoluce pomocí extrapolovaných dat znatelně nezvýší. Toto se nazývá rychlá extrapolace.^[19]

Porovnání metod

Metoda extrapolace je vhodná v situaci, kdy

{ displaystyle | x |> | y |}

a

{ displaystyle | X |> | Y |}

tj. situace s malými zkrácenými artefakty.

Metoda adaptivní extrapolace je vhodná pro situaci, kdy

{ displaystyle | x | sim | y |}

a

{ displaystyle | X | sim | Y |}

tj. normální situace zkrácení artefaktů. Tato metoda také nabízí hrubé řešení pro vnější region.

Metoda iterativní extrapolace je vhodná pro situaci, ve které

{ displaystyle | x | sim | y |}

a

{ displaystyle | X | sim | Y |}

tj. normální situace zkrácení artefaktů. Ačkoli tato metoda získá lepší rekonstrukci interiéru ve srovnání s adaptivní rekonstrukcí, postrádá výsledek ve vnější oblasti.

Místní tomografie je vhodná pro situaci, ve které

{ displaystyle | x | ll | y |}

a

{ displaystyle | X | ll | Y |}

tj. největší situace se zkrácenými artefakty. Ačkoli v této metodě nejsou žádné zkrácené artefakty, existuje pevná chyba (nezávislá na hodnotě

{ displaystyle | y |}

) při rekonstrukci.

Místní inverzní metoda, identická s místní tomografií, vhodná v situaci, kdy

{ displaystyle | x | ll | y |}

a

{ displaystyle | X | ll | Y |}

tj. největší situace se zkrácenými artefakty. Ačkoli pro tuto metodu neexistují žádné zkrácené artefakty, existuje pevná chyba (nezávislá na hodnotě

{ displaystyle | y |}

) při rekonstrukci, která může být menší než u lokální tomografie.

Metoda iterativní rekonstrukce získá dobrý výsledek s velkými výpočty. Ačkoli analytická metoda dosahuje přesného výsledku, je funkční pouze v některých situacích. Metoda rychlé extrapolace může získat stejné výsledky jako ostatní metody extrapolace a lze ji použít na výše uvedené metody rekonstrukce interiéru ke snížení výpočtu.

Viz také

Poznámky

^ M.M. Seger, implementace Rampfilter na zkrácených projekčních datech. Aplikace na 3D lineární tomografii pro protokoly, Proceedings SSAB02, Symposium on Image Analysis, Lund, Švédsko, 7. – 8. Března 2002. Editor Astrom.
^ F. Raid-Farrokhi, K.J.R. Liu, C.A. Berenstein a D. Walnut, multirezoluční lokální tomografie založená na vlnkách, IEEE Transactions on Image Processing 6 (1997), 1412–1430.
^ M. Nilsson, Stručná místní tomografie, Licencované práce z matematických věd 2003: 3 ISSN 1404-028X,ISBN 91-628-5741-X, LUTFMA-2007-2003. Vytištěno ve Švédsku KFS AB Lund, 2003.
^ P.S. Cho, A.D. Rudd a R.H. Johnson, CT s kuželovým paprskem ze zkrácených projekcí, Computerized Medical Imaging and Graphics 20 (1) (1996), 49–57, 49–57.
^ ^A ^b J. Hsieh, E. Chao, J. Thibault, B. Grekowicz, A. Horst, S. McOlash a T.J. Myers, Nový algoritmus rekonstrukce, který rozšiřuje zorné pole CT skenu, Medical Phys 31 (2004), 2385–2391.
^ K.J. Ruchala, G.H. Olivera, J.M.Kapatoes, P.J. Reckwerdt a T.R. Mack, Metody pro zlepšení rekonstrukcí radioterapie s omezeným zorným polem pomocí nedokonalých a priori obrazů, Med Phys 29 (2002), 2590–2605.
^ M. Nassi, W. R. Brody, B. P. Medoff a A. Macovski, Iterativní rekonstrukce reprojekce: algoritmus pro omezenou datovou srdeční počítačovou tomografii, IEEE trans Biomed Engineering 295 (1982), 333–340.
^ J.H. Kim, K.Y. KWAK, S.B. Park a Z.H. Cho, Projekce rekonstrukce iteračního prostoru, projekce, transakce IEEE na Medical Imaging 4 (1983), 139–143
^ P.S.Cho, A.D. Rudd a R.H. Johnson, ConebeamCT ze zkrácených projekcí šířky Computerized, Medical Imagingand Graphics 20 (1996), 49–57.
^ B. Ohnesorge, T. Flohr, K. Schwarz, J.P. Heiken a K.T. Bae, 2000 Efektivní korekce artefaktů obrazu CT způsobená objekty, které se táhnou mimo zorné pole skenování, Med Phys 27, 39–46.
^ ^A ^b Shuangren Zhao, Kang Yang, Dazong Jiang, Xintie Yang, Rekonstrukce interiéru pomocí lokální inverze, J Xray Sci Technol. 2011; 19(1): 69-90
^ A. Faridani, E.L. Ritman a K.T. Smith, Local tomography, SIAM J APPL MATH 52 (1992), 459–484.
^ A. Katsevich, 1999 Lokální tomografie kuželového paprsku, SIAM J APPL MATH 59, 2224–2246.
^ Vy. Yangbo, Yu. 1 Hengyong 2 and GeWang, Exact Interior Reconstruction from Truncated Limited AngleProjectionData, International Journal of Biomedical Imaging (2008), 1-6.
^ L. Zeng, B. Liu, L. Liu a C. Xiang, Nový iterativní algoritmus rekonstrukce pro 2D vnější fanbeamCT, Journal ofXRayScience and Technology 18 (2010), 267–277.
^ Y. Zou a X. Pan, 2004, Přesná rekonstrukce obrazu na liniích PIline z minimálních dat v helical conebeamCT, Physicsin Medicine and Biology 49 (6), 941–959.
^ M. Defrise, F. Noo, R. Clackdoyle a H. Kudo, zkrácená Hilbertova transformace a rekonstrukce obrazu z omezených tomografických dat. IOPscience.iop.org, 2006
^ F. Noo, R. Clackdoyle a J.D. Pack, metoda TwostepHilbertova transformace pro rekonstrukci 2D obrazu, Phys Med Biol49 (2004), 3903–3923.
^ S Zhao, K Yang, X Yang, Rekonstrukce ze zkrácených projekcí pomocí smíšených extrapolací exponenciálních a kvadratických funkcí, Journal of X-ray Science and Technology, 2011, 19 (2) pp 155–72

[1] M.M. Seger, implementace Rampfilter na zkrácených projekčních datech. Aplikace na 3D lineární tomografii pro protokoly, Proceedings SSAB02, Symposium on Image Analysis, Lund, Švédsko, 7. – 8. Března 2002. Editor Astrom.

[2] F. Raid-Farrokhi, K.J.R. Liu, C.A. Berenstein a D. Walnut, multirezoluční lokální tomografie založená na vlnkách, IEEE Transactions on Image Processing 6 (1997), 1412–1430.

[3] M. Nilsson, Stručná místní tomografie, Licencované práce z matematických věd 2003: 3 ISSN 1404-028X,ISBN 91-628-5741-X, LUTFMA-2007-2003. Vytištěno ve Švédsku KFS AB Lund, 2003.

[4] P.S. Cho, A.D. Rudd a R.H. Johnson, CT s kuželovým paprskem ze zkrácených projekcí, Computerized Medical Imaging and Graphics 20 (1) (1996), 49–57, 49–57.

[ReferenceA-5] A ^b J. Hsieh, E. Chao, J. Thibault, B. Grekowicz, A. Horst, S. McOlash a T.J. Myers, Nový algoritmus rekonstrukce, který rozšiřuje zorné pole CT skenu, Medical Phys 31 (2004), 2385–2391.

[6] K.J. Ruchala, G.H. Olivera, J.M.Kapatoes, P.J. Reckwerdt a T.R. Mack, Metody pro zlepšení rekonstrukcí radioterapie s omezeným zorným polem pomocí nedokonalých a priori obrazů, Med Phys 29 (2002), 2590–2605.

[7] M. Nassi, W. R. Brody, B. P. Medoff a A. Macovski, Iterativní rekonstrukce reprojekce: algoritmus pro omezenou datovou srdeční počítačovou tomografii, IEEE trans Biomed Engineering 295 (1982), 333–340.

[8] J.H. Kim, K.Y. KWAK, S.B. Park a Z.H. Cho, Projekce rekonstrukce iteračního prostoru, projekce, transakce IEEE na Medical Imaging 4 (1983), 139–143

[9] P.S.Cho, A.D. Rudd a R.H. Johnson, ConebeamCT ze zkrácených projekcí šířky Computerized, Medical Imagingand Graphics 20 (1996), 49–57.

[10] B. Ohnesorge, T. Flohr, K. Schwarz, J.P. Heiken a K.T. Bae, 2000 Efektivní korekce artefaktů obrazu CT způsobená objekty, které se táhnou mimo zorné pole skenování, Med Phys 27, 39–46.

[shuangrenZhao_2011-11] A ^b Shuangren Zhao, Kang Yang, Dazong Jiang, Xintie Yang, Rekonstrukce interiéru pomocí lokální inverze, J Xray Sci Technol. 2011; 19(1): 69-90

[12] A. Faridani, E.L. Ritman a K.T. Smith, Local tomography, SIAM J APPL MATH 52 (1992), 459–484.

[13] A. Katsevich, 1999 Lokální tomografie kuželového paprsku, SIAM J APPL MATH 59, 2224–2246.

[14] Vy. Yangbo, Yu. 1 Hengyong 2 and GeWang, Exact Interior Reconstruction from Truncated Limited AngleProjectionData, International Journal of Biomedical Imaging (2008), 1-6.

[15] L. Zeng, B. Liu, L. Liu a C. Xiang, Nový iterativní algoritmus rekonstrukce pro 2D vnější fanbeamCT, Journal ofXRayScience and Technology 18 (2010), 267–277.

[16] Y. Zou a X. Pan, 2004, Přesná rekonstrukce obrazu na liniích PIline z minimálních dat v helical conebeamCT, Physicsin Medicine and Biology 49 (6), 941–959.

[17] M. Defrise, F. Noo, R. Clackdoyle a H. Kudo, zkrácená Hilbertova transformace a rekonstrukce obrazu z omezených tomografických dat. IOPscience.iop.org, 2006

[18] F. Noo, R. Clackdoyle a J.D. Pack, metoda TwostepHilbertova transformace pro rekonstrukci 2D obrazu, Phys Med Biol49 (2004), 3903–3923.

[19] S Zhao, K Yang, X Yang, Rekonstrukce ze zkrácených projekcí pomocí smíšených extrapolací exponenciálních a kvadratických funkcí, Journal of X-ray Science and Technology, 2011, 19 (2) pp 155–72

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]