Místní inverzní - Local inverse

The místní inverzní je druh inverzní funkce nebo inverzní matice používané při zpracování obrazu a signálu, stejně jako v dalších obecných oblastech matematiky.

Koncept místní inverze pochází z rekonstrukce interiéru CT^{[je zapotřebí objasnění ]} obraz. Jedna z metod rekonstrukce interiéru byla provedena tak, že nejprve přibližně rekonstruuje obraz mimo ROI (oblast zájmu) a poté odečte data re-projekce obrazu mimo ROI od původních dat projekce; pak se výše vytvořená data použijí k nové rekonstrukci. Tuto myšlenku lze rozšířit na inverzní. Místo přímé inverze lze neznámé vně místního regionu nejprve převrátit. Přepočítat data z těchto neznámých (mimo místní oblast). Odečtěte tato přepočítaná data od původních, poté se inverze neznámých uvnitř místní oblasti provede prostřednictvím výše nově vytvořených dat.

Tento koncept je přímým rozšířením místní tomografie, generalizovaná inverze a iterativní upřesnění metoda. Používá se k řešení inverzního problému s neúplnými vstupními daty, podobně jako u místní tomografie. Tento koncept lokální inverze však lze použít i na úplná vstupní data.

Lokální inverze pro systém plného zorného pole nebo nadměrně určený systém

{ displaystyle { begin {bmatrix} f g end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} A&B C&D end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x y end {bmatrix }}}

Předpokládejme, že existuje ${ displaystyle E}$ , ${ displaystyle F}$ , ${ displaystyle G}$ a ${ displaystyle H}$ to uspokojuje,

{ displaystyle { begin {bmatrix} E&F G&H end {bmatrix}} { begin {bmatrix} A&B C&D end {bmatrix}} = J}

Tady ${ displaystyle J}$ se nerovná ${ displaystyle I}$ . ${ displaystyle J}$ je blízko ${ displaystyle I}$ . ${ displaystyle I}$ je identická matice. Příklady tohoto druhu matice ${ displaystyle { begin {bmatrix} E&F G&H end {bmatrix}}}$ jsou například filtrovaná metoda zpětné projekce pro rekonstrukci obrazu, inverzní s regularizací. V tomto případě lze najít přibližné řešení následovně,

a

{ displaystyle { begin {bmatrix} x_ {0} y_ {0} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} E&F G&H end {bmatrix}} { begin {bmatrix} f g end {bmatrix}}}

Lepší řešení pro ${ displaystyle x_ {1}}$ lze najít následovně,

{ displaystyle { begin {bmatrix} x_ {1} y_ {1} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} E&F G&H end {bmatrix}} { begin {bmatrix} f- Podle_ {0} g-Dy_ {0} end {bmatrix}}}

Ve výše uvedeném vzorci ${ displaystyle y_ {1}}$ je tedy k ničemu

{ displaystyle x_ {1} = E (f-by_ {0}) + F (g-Dy_ {0})}

Stejným způsobem existuje

{ displaystyle y_ {1} = G (f-Ax__ {0}) + H (g-Cx_ {0})}

Ve výše uvedeném je řešení rozděleno pouze na dvě části. ${ displaystyle x}$ je uvnitř ROI (oblast zájmu) ${ displaystyle y}$ je mimo ROI. f je uvnitř FOV (zorné pole) y je mimo FOV.

Tyto dvě části lze rozšířit na mnoho částí, v tomto případě se rozšířená metoda označuje jako metoda metody podoblastní iterativní upřesnění ^[1]

Místní inverze pro systém s omezeným zorným polem nebo nedostatečně určený systém

{ displaystyle { begin {bmatrix} f g end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} A&B C&D end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x y end {bmatrix }}}

Převzít ${ displaystyle A}$ , ${ displaystyle B}$ , ${ displaystyle C}$ , ${ displaystyle D}$ jsou známé matice; ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ jsou neznámé vektory; ${ displaystyle f}$ je známý vektor; ${ displaystyle g}$ je neznámý vektor. Zajímalo by mě znát vektor x. Jaké je lepší řešení?

Předpokládejme, že výše uvedená inverzní matice existuje ${ displaystyle { begin {bmatrix} E&F G&H end {bmatrix}}}$

{ displaystyle { begin {bmatrix} A&B C&D end {bmatrix}} { begin {bmatrix} E&F G&H end {bmatrix}} = J}

Tady ${ displaystyle J = I}$ nebo ${ displaystyle J}$ je blízko ${ displaystyle I}$ . Místní inverzní algoritmus je následující:

(1) ${ displaystyle g_ {ex}}$ . Extrapolováno ${ displaystyle g}$ funkce je získána

{ displaystyle g_ {ex} | _ { částečné G} = f | _ { částečné F}}

(2) ${ displaystyle y_ {0}}$ . Přibližný ${ displaystyle y}$ funkce se počítá pomocí

{ displaystyle y_ {0} = Hg_ {ex}}

(3) ${ displaystyle '$ . Oprava pro ${ displaystyle y}$ provádí

{ displaystyle y '= y_ {0} + y _ { text {co}}}

(4) ${ displaystyle f '}$ . Opravená funkce pro ${ displaystyle f}$ se počítá

{ displaystyle f '= f-autor'}

(5) ${ displaystyle g_ {1ex}}$ . Extrapolováno ${ displaystyle g}$ funkce je získána

{ displaystyle g_ {1ex} | _ { částečné G} = f '| _ { částečné F}}

(6) ${ displaystyle x_ {1}}$ . Získá se lokální inverzní řešení

{ displaystyle x_ {1} = Ef '+ Fg_ {1ex}}

Ve výše uvedeném algoritmu existují dvě časové extrapolace pro ${ displaystyle g}$ funkce, které se používají k překonání problému se zkrácením dat. Existuje oprava pro ${ displaystyle y}$ . Tato korekce může být konstantní korekcí k opravě hodnot DC ${ displaystyle y}$ funkce nebo lineární korekce podle předchozích znalostí o ${ displaystyle y}$ funkce. Tento algoritmus lze nalézt v odkazu.^[2]

V příkladu odkazu^[3] je zjištěno, že ${ displaystyle y '= y_ {0} + y _ { text {co}} = ky_ {0}}$ , tady ${ displaystyle k = 1,04}$ . V tomto příkladu se provede konstantní korekce. Lze provést složitější korekci, například lineární korekci, která snad dosahuje lepších výsledků.

${ displaystyle A ^ {+} B}$ je blízko ${ displaystyle 0}$

Shuang-ren Zhao definoval místní inverzi^[2] k vyřešení výše uvedeného problému. Nejprve zvažte nejjednodušší řešení.

{ displaystyle f = Axe + By}

nebo

{ displaystyle Ax = f-by = f '}

Tady ${ displaystyle f '= f-příspěvek}$ jsou správná data, ve kterých není vliv funkce objektu zvenčí. Z těchto údajů je snadné získat správné řešení,

nebo

{ displaystyle x '= A ^ {- 1} f'}

Tady ${ displaystyle x '}$ je správným (nebo přesným) řešením neznámého ${ displaystyle x}$ , to znamená ${ displaystyle x '= x}$ . V případě že ${ displaystyle A}$ není čtvercová matice nebo nemá žádnou inverzní, generalizovanou inverzní plechovku,

{ displaystyle x '= A ^ {+} (f-By) = A ^ {+} f'}

Od té doby ${ displaystyle y}$ není známo, pokud je nastaveno na ${ displaystyle 0}$ , získá se přibližné řešení.

{ displaystyle x_ {0} = A ^ {+} f}

Výsledek výše uvedeného řešení ${ displaystyle x_ {0}}$ souvisí s neznámým vektorem ${ displaystyle y}$ . Od té doby ${ displaystyle y}$ mohou být jakékoli hodnoty, tímto způsobem výsledek ${ displaystyle x_ {0}}$ má velmi silné artefakty, což je

{ displaystyle mathrm {chyba} _ {0} = | x_ {0} -x '| = | A ^ {+} Autor |}

Tento druh artefaktu se označuje jako zkrácené artefakty v oblasti rekonstrukce CT obrazu. Aby se minimalizovaly výše uvedené artefakty řešení, speciální matice ${ displaystyle Q}$ je považován, což uspokojuje

{ displaystyle QB = 0}

Proto,

{ displaystyle QAx = Qf-QBy = Qf}

vyřešit výše uvedenou rovnici s Zobecněná inverze

{ displaystyle x_ {1} = [QA] ^ {+} Qf = [A] ^ {+} Q ^ {+} Qf}

Tady ${ displaystyle Q ^ {+}}$ je generalizovaná inverze matice ${ displaystyle Q}$ . ${ displaystyle x_ {1}}$ je řešení pro ${ displaystyle x}$ . Je snadné najít matici Q, která vyhovuje ${ displaystyle QB = 0}$ , ${ displaystyle Q}$ lze napsat následovně:

{ displaystyle Q = I-BB ^ {+}}

Tento druh matice ${ displaystyle Q}$ se označuje jako příčná projekce matice ${ displaystyle B}$

Tady ${ displaystyle B ^ {+}}$ je zobecněná inverze matice ${ displaystyle B}$ . ${ displaystyle B ^ {+}}$ splňuje

{ displaystyle BB ^ {+} B = B}

To lze dokázat

{ displaystyle QB = [I-BB ^ {+}] B = B-BB ^ {+} B = B-B = 0}

Je snadné to dokázat ${ displaystyle QQ = Q}$

{ displaystyle { begin {aligned} QQ & = [I-BB ^ {+}] [I-BB ^ {+}] = I-2BB ^ {+} + BB ^ {+} BB ^ {+} & = I-2BB ^ {+} + BB ^ {+} = I-BB ^ {+} = Q end {zarovnáno}}}

a tudíž

{ displaystyle QQQ = (QQ) Q = QQ = Q}

Proto Q je také zobecněná inverzní funkce Q

To znamená

{ displaystyle Q ^ {+} Q = QQ = Q}

Proto,

{ displaystyle x_ {1} = A ^ {+} [Q] ^ {+} Qf = A ^ {+} Qf}

nebo

{ displaystyle x_ {1} = [A] ^ {+} [I-BB ^ {+}] f}

Matice

{ displaystyle A ^ {L} = [A] ^ {+} [I-BB ^ {+}]}

${ displaystyle A ^ {L}}$ se označuje jako lokální inverze Matice ${ displaystyle { begin {bmatrix} A&B C&D end {bmatrix}}}$ . Použití lokální inverze namísto generalizované inverze nebo inverze může zabránit artefaktům z neznámých vstupních dat. S ohledem na,

{ displaystyle [A] ^ {+} [I-BB ^ {+}] f '= [A] ^ {+} [I-BB ^ {+}] (f-By) = [A] ^ {+ } [I-BB ^ {+}] f}

Proto existuje,

{ displaystyle x_ {1} = [A] ^ {+} [I-BB ^ {+}] f '}

Proto ${ displaystyle x_ {1}}$ souvisí pouze se správnými údaji ${ displaystyle f '}$ . Tuto chybu druhu lze vypočítat jako

{ displaystyle mathrm {chyba} _ {1} = | x_ {1} -x '| = | [A] ^ {+} BB ^ {+} f' |}

Tato chyba druhu se nazývá efekt mísy. Efekt mísy nesouvisí s neznámým objektem ${ displaystyle y}$ , týká se pouze správných údajů ${ displaystyle f '}$

V případě, že příspěvek ${ displaystyle [A] ^ {+} BB ^ {+} f '}$ na ${ displaystyle x}$ jsou menší než u ${ displaystyle [A] ^ {+} Autor:$ nebo

{ displaystyle mathrm {chyba} _ {1} ll mathrm {chyba} _ {0}}

místní inverzní řešení ${ displaystyle x_ {1}}$ je lepší než ${ displaystyle x_ {0}}$ pro tento druh inverzního problému. Použitím ${ displaystyle x_ {1}}$ namísto ${ displaystyle x_ {0}}$ , zkrácené artefakty jsou nahrazeny jako mísový efekt. Tento výsledek je stejný jako místní tomografie, proto je místní inverze přímým rozšířením konceptu místní tomografie.

Je dobře známo, že řešením generalizované inverze je metoda minimální normy L2. Z výše uvedeného odvození je zřejmé, že řešení lokální inverze je metoda minimální normy L2 s podmínkou, že vliv neznámého objektu ${ displaystyle y}$ je ${ displaystyle 0}$ . Proto je místní inverze také přímým rozšířením pojmu generalizované inverze.

Viz také

Reference

^ Shuangren Zhao, Xintie Yang, Iterativní rekonstrukce ve všech podoblastech , VĚDA ONLINE. 2006; 1 (4): strana 301–308,http://www.paper.edu.cn/uploads/journal/2007/42/1673-7180(2006)04-0301-08.pdf
^ ^A ^b Shuangren Zhao, Kang Yang, Dazong Jiang, Xintie Yang, Rekonstrukce interiéru pomocí lokální inverze, J Xray Sci Technol. 2011; 19(1): 69–90
^ S. Zhao, D Jaffray, Iterativní rekonstrukce a reprojekce pro zkrácené projekce, AAPM 2004, Abstrakt v lékařské fyzice 2004, Svazek 31, P1719, http://imrecons.com/wp-content/uploads/2013/02/iterative_extro.pdf

[shuangrenZhao_2005-1] Shuangren Zhao, Xintie Yang, Iterativní rekonstrukce ve všech podoblastech , VĚDA ONLINE. 2006; 1 (4): strana 301–308,http://www.paper.edu.cn/uploads/journal/2007/42/1673-7180(2006)04-0301-08.pdf

[shuangrenZhao_2011-2] A ^b Shuangren Zhao, Kang Yang, Dazong Jiang, Xintie Yang, Rekonstrukce interiéru pomocí lokální inverze, J Xray Sci Technol. 2011; 19(1): 69–90

[shuangrenZhao_2004-3] S. Zhao, D Jaffray, Iterativní rekonstrukce a reprojekce pro zkrácené projekce, AAPM 2004, Abstrakt v lékařské fyzice 2004, Svazek 31, P1719, http://imrecons.com/wp-content/uploads/2013/02/iterative_extro.pdf

[1]

[2]

[3]

Místní inverzní - Local inverse

Lokální inverze pro systém plného zorného pole nebo nadměrně určený systém

Místní inverze pro systém s omezeným zorným polem nebo nedostatečně určený systém

Předpokládejme, že výše uvedená inverzní matice existuje [ E F G H ] { displaystyle { begin {bmatrix} E&F G&H end {bmatrix}}}

A + B { displaystyle A ^ {+} B} je blízko 0 { displaystyle 0}

Viz také

Reference

Předpokládejme, že výše uvedená inverzní matice existuje ${ displaystyle { begin {bmatrix} E&F G&H end {bmatrix}}}$

${ displaystyle A ^ {+} B}$ je blízko ${ displaystyle 0}$