Ind-dokončení

v matematika, ind-dokončení nebo ind-konstrukce je proces volného přidávání filtrované kolimity k danému kategorie C. Objekty v této kategorii dokončené indem, označené Ind (C), jsou známé jako přímé systémy, oni jsou funktory od malého filtrovaná kategorie Já na C.

The dvojí koncept je pro-dokončení, Pro (C).

Definice

Filtrované kategorie

Přímé systémy závisí na pojmu filtrované kategorie. Například kategorie N, jejichž objekty jsou přirozená čísla a přesně s jedním morfismem z n na m kdykoli ${ displaystyle n leq m}$ , je filtrovaná kategorie.

Přímé systémy

A přímý systém nebo ind-objekt v kategorii C je definován jako funktor

{ displaystyle F: I do C}

z malé filtrované kategorie Já na C. Například pokud Já je kategorie N jak je uvedeno výše, tento údaj je ekvivalentní posloupnosti

{ displaystyle X_ {0} až X_ {1} až cdots}

předmětů v C společně s morfismem, jak jsou zobrazeny

Ind objekty v C tvoří kategorii ind-Ca pro-objekty tvoří kategorii pro-C. Definice pro-C je to kvůli Grothendieck (1960).^[1]

Dva ind-objekty

{ displaystyle F: I to C}

a

${ textstyle G: J až C}$ určit funktor

Já^op X J

{ displaystyle to}

Sady,

jmenovitě funktor

{ displaystyle operatorname {Hom} _ {C} (F (i), G (j)).}

Sada morfismů mezi F a G v Ind (C) je definován jako kolimita tohoto funktoru ve druhé proměnné, následovaná limitem v první proměnné:

{ displaystyle operatorname {Hom} _ { operatorname {Ind} { text {-}} C} (F, G) = lim _ {i} operatorname {colim} _ {j} operatorname {Hom} _ {C} (F (i), G (j)).}

Více hovorově to znamená, že morfismus se skládá ze sbírky map ${ displaystyle F (i) až G (j_ {i})}$ pro každého i, kde ${ displaystyle j_ {i}}$ je (v závislosti na i) dostatečně velký.

Vztah mezi C a Ind (C)

The závěrečná kategorie I = {*} sestávající z jediného objektu * a pouze jeho morfismus identity je příklad filtrované kategorie. Zejména jakýkoli objekt X v C vede k funktoru

{ displaystyle {* } na C, * mapsto X}

a tedy funktorovi

{ displaystyle C to operatorname {Ind} (C), X mapsto (* mapsto X).}

Tento funktor je, jako přímý důsledek definic, plně věrný. Proto Ind (C) lze považovat za větší kategorii než C.

Naopak, přirozený funktor obecně nemusí existovat

{ displaystyle operatorname {Ind} (C) do C.}

Pokud však C vlastní vše filtrované kolimity (známé také jako přímé limity), poté odeslání ind-objektu ${ displaystyle F: I do C}$ (pro některé filtrované kategorie Já) k jeho kolimitu

{ displaystyle operatorname {colim} _ {I} F (i)}

dává takový funktor, který však obecně není rovnocenný. Tedy i kdyby C již má všechny filtrované kolimity, Ind (C) je přísně větší kategorie než C.

Objekty v Ind (C) lze považovat za formální přímé limity, takže někteří autoři také takové objekty označují

{ displaystyle { text {„}} varinjlim _ {i in I} { text {''}} F (i).}

Tento zápis je způsoben Pierre Deligne.^[2]

Univerzální vlastnost ind-dokončení

Přechod z kategorie C do Ind (C) se rovná volnému přidávání filtrovaných kolimit do kategorie. Proto se stavba označuje také jako ind-dokončení z C. Toto je upřesněno následujícím tvrzením: libovolný funktor ${ displaystyle F: C až D}$ přijímání hodnot v kategorii D který má všechny filtrované kolimity sahá i do funktoru ${ displaystyle Ind (C) až D}$ což je jednoznačně určeno požadavky, na nichž je jeho hodnota C je původní funktor F a tak, aby zachoval všechny filtrované kolimity.

Základní vlastnosti ind-kategorií

Kompaktní objekty

V zásadě záměrem morfismů v Indu (C), jakýkoli objekt X z C je kompaktní když je považován za předmět Ind (C), tj představitelný funktor

{ displaystyle operatorname {Hom} _ { operatorname {Ind} (C)} (X, -)}

zachovává filtrované kolimity. To platí bez ohledu na to, co se děje C nebo objekt X je, na rozdíl od toho, že X nemusí být kompaktní C. Naopak jakýkoli kompaktní objekt v Ind (C) vzniká jako obraz objektu v X.

Kategorie C se nazývá kompaktně generovaný, pokud je ekvivalentní s ${ displaystyle operatorname {Ind} (C_ {0})}$ pro nějakou malou kategorii ${ displaystyle C_ {0}}$ . Ind-dokončení kategorie FinSet z konečný sady je kategorie Všechno sady. Podobně, pokud C je kategorie definitivně generovaných skupin, ind-C odpovídá kategorii všech skupin.

Rozpoznávání ind-dokončení

Tyto identifikace vycházejí z následujících skutečností: jak bylo uvedeno výše, jakýkoli funktor ${ displaystyle F: C až D}$ přijímání hodnot v kategorii D který má všechny filtrované kolimity, má příponu

{ displaystyle { tilde {F}}: operatorname {Ind} (C) až D,}

který zachovává filtrované kolimity. Toto rozšíření je jedinečné až do ekvivalence. Nejprve tento funktor ${ displaystyle { tilde {F}}}$ je v podstatě surjektivní pokud existuje nějaký objekt v D lze vyjádřit jako filtrované kolimity objektů formuláře ${ displaystyle F (c)}$ pro příslušné objekty C v C. Druhý, ${ displaystyle { tilde {F}}}$ je plně věrný právě tehdy, pokud původní funktor F je plně věrný a pokud F odesílá libovolné objekty C na kompaktní objekty v D.

Uplatnění těchto skutečností na, řekněme, funktor začlenění

{ displaystyle F: operatorname {FinSet} podmnožina operatorname {Set},}

ekvivalence

{ displaystyle operatorname {Ind} ( operatorname {FinSet}) cong operatorname {Set}}

vyjadřuje skutečnost, že libovolná množina je filtrovanou kolimitou konečných množin (například libovolná množina je sjednocením jejích konečných podmnožin, což je filtrovaný systém) a navíc, že jakákoli konečná množina je kompaktní, když je považována za předmět Soubor.

Dokončení

Stejně jako ostatní kategorické pojmy a konstrukce, ind-dokončení připouští dvojí známý jako pro-dokončení: kategorie Pro (C) je definován z hlediska ind-objektu jako

{ displaystyle operatorname {Pro} (C): = operatorname {Ind} (C ^ {op}) ^ {op}.}

Proto objekty Pro (C) jsou inverzní systémy nebo pro-objekty v C. Podle definice se jedná o přímý systém v opačná kategorie ${ displaystyle C ^ {op}}$ nebo ekvivalentně funktory

{ displaystyle F: I do C}

od a filtrovaný kategorie Já.

Příklady pro-kategorií

While Pro (C) existuje pro jakoukoli kategorii C, několik zvláštních případů je pozoruhodných kvůli souvislostem s jinými matematickými pojmy.

Li C je tedy kategorie konečných skupin pro-C odpovídá kategorii profinitní skupiny a spojité homomorfismy mezi nimi.
Proces obdarování a předobjednaná sada s jeho Alexandrovská topologie získá ekvivalenci pro-kategorie konečných předobjednaných množin, ${ displaystyle operatorname {Pro} ( operatorname {PoSet} ^ { text {fin}})}$ , s kategorií spektrální topologické prostory a kvazi-kompaktní morfismy.
Kamenná dualita tvrdí, že pro-kategorie ${ displaystyle operatorname {Pro} ( operatorname {FinSet})}$ z kategorie konečných množin odpovídá kategorii Kamenné prostory.^[3]

Vzhled topologických představ v těchto prokategoriích lze vysledovat až po ekvivalenci, což je samo o sobě zvláštní případ kamenné duality,

{ displaystyle operatorname {FinSet} ^ {op} = operatorname {FinBool}}

který posílá konečnou množinu do napájecí sada (považováno za konečnou booleovskou algebru). Dualita mezi pro- a indobjekty a známý popis indoplnění také vedou k popisu určitých opačných kategorií. Takové úvahy lze například použít k prokázání, že opačná kategorie kategorie vektorových prostorů (přes pevné pole) odpovídá kategorii lineárně kompaktních vektorových prostorů a spojitých lineárních map mezi nimi.^[4]

Aplikace

Pro-dokončení jsou méně prominentní než ind-dokončení, ale aplikace zahrnují teorie tvarů. Pro-objekty také vznikají prostřednictvím jejich připojení k reprezentativní funktory, například v Grothendieckova Galoisova teorie, a také v Schlessingerovo kritérium v teorie deformace.

Související pojmy

Tate objekt jsou směsí ind- a pro-objektů.

Nekonečně kategorické varianty

Ind-dokončení (a, duálně, pro-dokončení) byla rozšířena na ∞-kategorie podle Lurie (2009).

Poznámky

^ C.E.Aull; R. Lowen (31. prosince 2001). Příručka dějin obecné topologie. Springer Science & Business Media. p. 1147. ISBN 978-0-7923-6970-7.
^ Illusie, Luc, Z tajné zahrady Pierra Deligneho: ohlédnutí se za některými jeho dopisy, Japanese Journal of Mathematics, sv. 10, s. 237–248 (2015)
^ Johnstone (1982, §VI.2)
^ Bergman & Hausknecht (1996, Prop. 24.8)

Reference

Bergman; Hausknecht (1996), Skupiny a co-kroužky v kategoriích asociativních prstenůMatematické průzkumy a monografie 45, doi:10.1090 / přežít / 045, ISBN 9780821804957
Bourbaki, Nicolasi (1968), Základy matematiky. Teorie množinPřeloženo z francouzštiny, Paříž: Hermann, PAN 0237342.
Grothendieck, Alexander (1960), „Technique de descente et théoèmes d'existence en géométrie algébriques. II. Le théorème d'existence en théorie formelle des modules“, Séminaire Bourbaki: années 1958/59 - 1959/60, výstavy 169-204 (ve francouzštině), Sociétée mathématique de France, s. 369–390, PAN 1603480, Zbl 0234.14007
„Systém (v kategorii)“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
Johnstone, Peter T. (1982), Kamenné prostory, ISBN 0521337798
Lurie, Jacob (2009), Teorie vyšších toposů, Annals of Mathematics Studies, 170, Princeton University Press, arXiv:math.CT / 0608040, ISBN 978-0-691-14049-0, PAN 2522659
Segal, Jack; Mardešić, Sibe (1982), Teorie tvarůMatematická knihovna v Severním Holandsku, 26, Amsterdam: Severní Holandsko, ISBN 978-0-444-86286-0

[1] C.E.Aull; R. Lowen (31. prosince 2001). Příručka dějin obecné topologie. Springer Science & Business Media. p. 1147. ISBN 978-0-7923-6970-7.

[2] Illusie, Luc, Z tajné zahrady Pierra Deligneho: ohlédnutí se za některými jeho dopisy, Japanese Journal of Mathematics, sv. 10, s. 237–248 (2015)

[3] Johnstone (1982, §VI.2)

[4] Bergman & Hausknecht (1996, Prop. 24.8)

[1]

[2]

[3]

[4]