Axiom redukovatelnosti - Axiom of reducibility

The axiom redukovatelnosti byl představen Bertrand Russell na počátku 20. století jako součást jeho rozvětvená teorie typů. Russell vymyslel a představil axiom ve snaze zvládnout rozpory, které objevil ve své analýze teorie množin.^[1]

Dějiny

S Russellovým objevem (1901, 1902)^[2] a paradox v Gottlob Frege rok 1879 Begriffsschrift a Fregeovo uznání téhož (1902), Russell ve svém 1903 předběžně představil své řešení jako „Dodatek B: Nauka typů“ Principy matematiky.^[3] Tento rozpor lze označit jako „třídu všech tříd, které se neobsahují jako prvky“.^[4] Na konci tohoto dodatku Russell tvrdí, že jeho „doktrína“ by vyřešila bezprostřední problém, který představuje Frege, ale „existuje alespoň jeden úzce analogický rozpor, který pravděpodobně není touto doktrínou rozpustný. Souhrn všech logických objektů nebo všechny výroky zahrnují, zdá se, že se to jeví jako zásadní logická obtížnost. Jaké může být úplné řešení obtíže, se mi nepodařilo objevit; ale protože to ovlivňuje samotné základy uvažování ... “^[5]

V době jeho 1908 Matematická logika založená na teorii typů^[6] Russell studoval „rozpory“ (mezi nimi i Paradox Epimenides, Paradox Burali-Forti, a Richardův paradox ) a dospěl k závěru, že „Ve všech rozporech existuje společná charakteristika, kterou můžeme popsat jako odkaz na sebe nebo reflexivitu“.^[7]

V roce 1903 definoval Russell predikativní funkce jako ty, jejichž pořadí je o jeden více než funkce nejvyššího řádu vyskytující se ve výrazu funkce. I když to bylo pro danou situaci v pořádku, předběžný funkce musely být zakázány:

Funkce, jejíž argumentem je jednotlivec a jehož hodnotou je vždy návrh prvního řádu, se bude nazývat funkcí prvního řádu. Funkce zahrnující funkci prvního řádu nebo propozici jako zjevnou proměnnou se bude nazývat funkcí druhého řádu atd. Funkce jedné proměnné, která je v pořadí vedle výše jejího argumentu, se bude nazývat a predikativní funkce; stejný název bude mít funkci několika proměnných [atd.].^[8]

Později v článku tuto definici opakuje trochu jiným způsobem (spolu s jemným zákazem, který by jasněji vyjádřili v roce 1913):

Predikativní funkce X je ten, jehož hodnoty jsou výroky typu následujícího nad X, pokud X je jednotlivec nebo nabídka, nebo hodnota hodnot X -li X je funkce. Lze jej popsat jako ten, ve kterém jsou zjevné proměnné, pokud existují, stejného typu jako X nebo nižšího typu; a proměnná je nižšího typu než X pokud to může významně nastat jako argument X, nebo jako argument pro argument pro X, a tak dále. [zvýraznění přidáno]^[9]

Toto použití se přenáší na Alfred North Whitehead a Russellova 1913 Principia Mathematica přičemž autoři věnují celou podkapitolu své kapitoly II: „Teorie logických typů“ podkapitole I. Princip začarovaného kruhu: "Definujeme funkci jedné proměnné jako predikativní když je v následujícím pořadí nad číslem jejího argumentu, tj. nejnižšího řádu kompatibilního s tím, že má tento argument. . . Funkce několika argumentů je predikativní, pokud existuje jeden z jejích argumentů, takže když mají ostatní argumenty přiřazené hodnoty, získáme predikativní funkci jednoho neurčeného argumentu. "^[10]

Znovu navrhují definici a predikativní funkce jako takový, který neporušuje Teorii logických typů. Autoři tvrdí, že tato porušení jsou „neschopná [dosáhnout]“ a „nemožná“:

Jsme tak vedeni k závěru, jak z principu začarovaného kruhu, tak z přímé kontroly, že funkce, kterým daný objekt A mohou být argumentem, nemohou být argumenty navzájem a že nemají žádný společný výraz s funkcemi, jimiž mohou být argumenty. Jsme tak vedeni k vytvoření hierarchie.^[11]

Autoři zdůrazňují slovo nemožné:

pokud se nemýlíme, je to nejen nemožné pro funkci φz^{^} mít sám sebe nebo cokoli z něj odvozené jako argument, ale to, pokud ψz^{^} je další funkce, například existují argumenty A se kterými jsou „φa“ i „ψa“ významné, pak ψz^{^} a nic z toho odvozeného nemůže významně být argumentem pro φz^{^}.^[12]

Russellův axiom redukovatelnosti

Axiom redukovatelnosti říká, že jakákoli pravdivostní funkce (tj. výroková funkce ) lze vyjádřit formálně ekvivalentem predikativní funkce pravdy. Poprvé se objevilo v Bertrand Russell (1908) Matematická logika založená na teorii typů, ale až po pěti letech pokusů a omylů.^[13] Podle jeho slov:

Predikativní funkce jedince je tedy funkcí prvního řádu; a u vyšších typů argumentů zaujímají predikativní funkce místo funkcí prvního řádu ve vztahu k jednotlivcům. Předpokládáme tedy, že každá funkce je pro všechny své hodnoty ekvivalentní s nějakou predikativní funkcí stejného argumentu. Tento předpoklad se jeví jako podstata obvyklého předpokladu tříd [moderní množiny]. . . tento předpoklad budeme nazývat axiom tříd, nebo axiom redukovatelnosti.^[14]

Pro vztahy (funkce dvou proměnných, například „Pro všechna x a pro všechna y, ty hodnoty, pro které platí f (x, y)“, tj. ∀x∀y: f (x, y)), Russell předpokládal axiom vztahů, nebo [stejný] axiom redukovatelnosti.

V roce 1903 navrhl možný proces hodnocení takové funkce dvou míst porovnáním procesu s dvojitou integrací: Jeden za druhým, zapojte do X určité hodnoty A_m (tj. konkrétní A_j je „konstanta“ nebo parametr konstantní), pak vyhodnotíme f (A_m,y_n) napříč všemi n případy možného y_n. Pro všechny y_n vyhodnotit f (a₁, y_n), pak pro všechny y_n vyhodnotit f (A₂, y_n) atd., dokud všechny X = A_m jsou vyčerpány). Tím by se vytvořil m podle n matice hodnot: TRUE nebo UNKNOWN. (V této expozici je použití indexů moderní vymoženost.)

V roce 1908 se o tom Russell nezmínil matice z X, y hodnoty, které vykreslují dvoumístnou funkci (např. relaci) TRUE, ale do roku 1913 zavedl do „funkce“ koncept podobný matici. V * 12 ze dne Principia Mathematica (1913) definuje „matici" jako „libovolnou funkci, z mnoha proměnných, která však nezahrnuje žádné zjevné proměnné. Pak je z matice odvozena jakákoli jiná možná funkce než matice pomocí zobecnění, tj. Zvážením tvrzení který tvrdí, že dotyčná funkce je pravdivá se všemi možnými hodnotami nebo s některými hodnotami jednoho z argumentů, přičemž druhý argument nebo argumenty zůstávají neurčené ".^[15] Například pokud někdo tvrdí, že „∀y: f (x, y) je pravda“, pak X je zdánlivá proměnná, protože není specifikována.

Russell nyní definuje matici „jednotlivců“ jako první objednávka matice, a on následuje podobný proces definovat a matice druhého řáduatd. Nakonec uvádí definici a predikativní funkce:

Funkce se říká, že je predikativní když je to matice. Bude pozorováno, že v hierarchii, ve které jsou všechny proměnné jednotlivci nebo matice, je matice to samé jako elementární funkce [srov. 1913: 127, což znamená: funkce obsahuje Ne zdánlivé proměnné]. ¶ „Matice“ nebo „predikativní funkce“ je primitivní nápad.^[16]

Z tohoto uvažování pak používá stejné znění, aby navrhl totéž axiomy redukovatelnosti jako to udělal ve svém roce 1908.

Kromě toho Russell v roce 1903 uvažoval a poté odmítl „pokušení považovat vztah za definovatelný v širším smyslu jako třídu párů“,^[17] tj. moderní množinově-teoretický pojem objednaný pár. Intuitivní verze tohoto pojmu se objevila ve Frege's (1879) Begriffsschrift (přeloženo v van Heijenoort 1967: 23); Russellův rok 1903 pozorně sledoval práci Fregeho (srov. Russell 1903: 505 a násl.). Russell se obával, že „je nutné dát páru smysl, odlišit referenta od relatum: pár se tak v zásadě liší od třídy dvou termínů a musí být sám představen jako primitivní myšlenka. filozofická myšlenka, tento smysl lze odvodit pouze z nějakého relačního návrhu ... zdá se tedy správnější zaujmout intenzionální pohledu na vztahy a identifikovat je spíše s třídními koncepty než s třídami “.^[18] Jak je ukázáno níže, Norbert Wiener (1914) snížil pojem vztahu ke třídě definicí uspořádaného páru.

Kritika

Zermelo 1908

Naprostý zákaz naznačený Russellem axiom redukovatelnosti byl ostře kritizován Ernst Zermelo v jeho 1908 Vyšetřování základů teorie množin I, který byl zasažen poptávkou podobnou poptávce Russella, která pocházela Poincaré:

Podle Poincarého (1906, s. 307) je definice „predikativní“ a logicky přípustná, pouze pokud vylučuje všechny objekty, které jsou „závislé“ na definovaném pojmu, to znamená, že jím mohou být jakýmkoli způsobem určeny.^[19]

Zermelo kontroval:

Definice se může velmi dobře opírat o pojmy, které jsou ekvivalentní definici; opravdu v každé definici definiens a definiendum jsou rovnocenné pojmy a důsledné dodržování Poincarého požadavku by znemožnilo každou definici, tedy celou vědu.^[20]

Wiener 1914

V jeho 1914 Zjednodušení logiky vztahů, Norbert Wiener odstranil potřebu axiomu redukovatelnosti aplikovaného na vztahy mezi dvěma proměnnými X, a y např. φ (X,y). Udělal to zavedením způsobu, jak vyjádřit vztah jako soubor uspořádaných párů: „Bude vidět, že to, co jsme udělali, je prakticky návrat k Schröderovu přístupu ke vztahu jako ke třídě [souboru] uspořádaných párů“.^[21] Van Heijenoort podotýká, že „[b] y s definicí uspořádané dvojice dvou prvků z hlediska třídních operací poznámka redukovala teorii vztahů na teorii tříd.“ “^[22] Ale Wiener se domníval, že zatímco vyslal dvě proměnné verze axiomu * 12.11 Russella a Whiteheada, verze s jednou proměnnou axiomu redukovatelnosti pro (axiom * 12.1 v Principia Mathematica) bylo stále nutné.^[23]

Wittgenstein 1918

Ludwig Wittgenstein, zatímco byl uvězněn v zajateckém táboře, skončil Tractatus Logico-Philosophicus. Jeho úvod připisuje „velká díla Fregeho a spisy mého přítele Bertranda Russella“. Není intelektuální intelektuál, prohlásil, že „ pravda myšlenek zde sdělených mi připadá nenapadnutelná a definitivní. Jsem proto toho názoru, že problémy byly v zásadě konečně vyřešeny. “^[24] Vzhledem k takovému postoji tedy není žádným překvapením, že Russellova teorie typů je kritizována:

3.33

V logické syntaxi by význam znaménka nikdy neměl hrát roli; musí připustit, že bude usazen, aniž by tím byla zmínka o význam znamení; mělo by to předpokládat pouze popis výrazů.

3.331

Z tohoto pozorování získáme další pohled - do Russella Teorie typů. Russellova chyba je patrná ze skutečnosti, že při vypracování svých symbolických pravidel musí hovořit o významu označení.

3.332

Žádný výrok nemůže o sobě nic říci, protože znak výroku nemůže být v sobě obsažen (to je „celá teorie typů“).

3.333

Funkce nemůže být jejím vlastním argumentem, protože funkční znak již obsahuje prototyp svého vlastního argumentu a nemůže obsahovat sám sebe. ... Tím Russellův paradox mizí.^[25]

Zdá se, že to podporuje stejný argument, který Russell používá k vymazání svého „paradoxu“. Toto „použití znaků“ k „mluvení o znameních“ kritizuje Russell ve svém úvodu, který předcházel původnímu anglickému překladu:

Váhání vyvolává skutečnost, že pan Wittgenstein koneckonců dokáže hodně říci o tom, co nelze říci, a tak skeptickému čtenáři naznačuje, že možná může existovat nějaká mezera v hierarchii jazyků nebo jiný východ.

Tento problém se objeví později, když Wittgenstein dospěje k tomuto jemnému vzdání se axiomu redukovatelnosti - jedna z následujících interpretací je, že Wittgenstein říká, že Russell vytvořil (dnes známý jako) chyba kategorie; Russell prosadil (vložil do teorie) „další zákon logiky“, když Všechno zákony (např. neomezené Shefferova mrtvice přijatý Wittgensteinem) již bylo uplatněno:

6.123

Je zřejmé, že logické zákony nemohou samy poslouchat další logické zákony. (Neexistuje, jak předpokládal Russell, pro každý „typ“ zvláštní zákon rozporů, ale stačí jeden, protože se na něj nevztahuje.)

6.1231

Známkou logických výroků není jejich obecná platnost. Být obecný znamená být jen omylem platný pro všechny věci. Negeneralizovaný návrh může být tautologický stejně dobře jako obecný.

6.1232

Logickou obecnou platnost bychom mohli nazvat zásadní na rozdíl od náhodné obecné platnosti, např. Výroku „všichni lidé jsou smrtelní“. Výroky jako Russellův „axiom redukovatelnosti“ nejsou logickými výroky, a to vysvětluje náš pocit, že pokud jsou pravdivé, mohou být pravdivé pouze šťastnou náhodou.

6.1233

Můžeme si představit svět, ve kterém neplatí axiom redukovatelnosti. Je však jasné, že logika nemá nic společného s otázkou, zda náš svět je skutečně tohoto druhu nebo ne.^[26]

Russell 1919

Bertrand Russell v jeho 1919 Úvod do matematické filozofie, nematematický společník jeho prvního vydání ODPOLEDNE, pojednává o svém Axiomu Reducibility v 17. kapitole Třídy (str. 146 a dále). Došel k závěru, že „nemůžeme přijmout„ třídu “jako primitivní myšlenku; symboly pro třídy jsou„ pouhé vymoženosti “a třídy jsou„ logické fikce, nebo (jak říkáme) „neúplné symboly“ ... třídy nelze považovat za součást konečného nábytku světa "(s. 146). Důvodem je problém problému nedůstojnosti:" třídy nelze považovat za druh jednotlivce, kvůli rozporu o třídách, které nejsou jejich členy. ... a protože můžeme dokázat, že počet tříd je větší než počet jednotlivců, [atd. ““. To, co poté dělá, je navrhnout 5 povinností, které musí být splněny s ohledem na teorii tříd, a výsledkem je prohlašuje, že tento axiom je „zobecněnou formou Leibnizovy identity nerozporných“ (str. 155). Dospívá však k závěru, že Leibnizův předpoklad nemusí platit pro všechny možné predikáty ve všech možných světech, takže dochází k závěru, že:

Nevidím důvod domnívat se, že axiom redukovatelnosti je logicky nezbytný, což by bylo míněno tím, že by to platilo ve všech možných světech. Přijetí tohoto axiomu do systému logiky je tedy vadou ... pochybným předpokladem. (str. 155)

Cílem, který si stanoví, jsou „úpravy jeho teorie“ vyhýbání se třídám:

při redukci propozic nominálně o třídách na propozice o jejich definičních funkcích. Vyhýbání se třídám jako entit touto metodou musí být, jak se zdá, v zásadě zdravé, nicméně detail může stále vyžadovat úpravu. (str. 155)

Skolem 1922

Thoralf Skolem v jeho 1922 Několik poznámek k axiomatizované teorii množin zaujal méně pozitivní přístup k „Russellovi a Whiteheadovi“ (tj. k jejich práci Principia Mathematica):

Až dosud, pokud vím, pouze jeden takový systém axiomů našel poněkud obecné přijetí, a to ten, který vytvořil Zermelo (1908). Russell a Whitehead také vytvořili systém logiky, který poskytuje základ pro teorii množin; pokud se však nemýlím, matematici se o to zajímali, ale malý zájem.^[27]

Skolem poté v teorii množin Zermela sleduje problémy toho, co nazval „nepředvídatelnou definicí“:^[28]

obtíž je v tom, že musíme vytvořit několik množin, na jejichž existenci závisí Všechno množiny ... Poincaré nazval tento druh definice a považoval ji za skutečnou logickou slabost teorie množin.^[29]

Zatímco Skolem se zabývá hlavně problémem se Zermelovou teorií množin, dělá toto pozorování o axiom redukovatelnosti:

i oni [Russell a Whitehead] se jednoduše spokojí s obcházením obtíží zavedením ustanovení, axiom redukovatelnosti. Tento axiom ve skutečnosti stanoví, že nepředvídatelné podmínky budou splněny. Neexistuje o tom žádný důkaz; kromě toho, pokud vidím, takový důkaz musí být nemožný jak z pohledu Russella a Whiteheada, tak iz pohledu Zermela. [zvýraznění přidáno]^[30]

Russell 1927

V roce 1927 "Úvod" do druhého vydání Principia Mathematica Russell kritizuje svůj vlastní axiom:

Jedním bodem, u kterého je zlepšení zjevně žádoucí, je axiom redukovatelnosti (* 12.1.11). Tento axiom má čistě pragmatické odůvodnění: vede k požadovaným výsledkům a k žádným dalším. Ale zjevně to není ten druh axiomu, s nímž můžeme odpočívat. V tomto ohledu však nelze říci, že uspokojivé řešení je dosud dosažitelné. ... Wittgenstein doporučuje další kurz † [† Tractatus Logico-Philosophicus, * 5,54ff] z filozofických důvodů. To má předpokládat, že funkce výroků jsou vždy pravdivostními funkcemi a že funkce může nastat pouze jako v nabídce prostřednictvím jejích hodnot. Existují potíže ... Zahrnuje to důsledek, že všechny funkce funkcí jsou rozšiřující. ... [Ale důsledky jeho logiky jsou takové, že] teorie nekonečného Dedekindiana a řádného uspořádání se zhroutí, takže s iracionálními a reálnými čísly obecně již nebude možné adekvátně zacházet. Také Cantorův důkaz, že 2ⁿ > n rozpadne, pokud n je konečný. Možná by tyto výsledky mohl poskytnout nějaký další axiom, méně nežádoucí než axiom redukovatelnosti, ale takový axiom jsme nenašli.^[31]

Wittgensteinův 5,54ff je více zaměřen na představu funkce:

5.54

V obecné výrokové formě se výroky vyskytují v výroku pouze jako základy pravdivostních operací.

5.541

Na první pohled to vypadá, jako by existoval i jiný způsob, jak by se jeden návrh mohl vyskytnout v jiném. ¶ Zejména v určitých výrokových formách psychologie, jako je „A si myslí, že str je to tak, “nebo„ myslí si A. str„atd. ¶ Tady to vypadá povrchně, jako by to byla propozice str stál k objektu A v jakémsi vztahu. And (A v moderní epistemologii [Russell, Moore atd.] Byly tyto návrhy koncipovány tímto způsobem.)

5.542

Je však jasné, že „A tomu věří str„Myslí si str"," Říká A. str„, jsou ve formě“ ' str ' myslí si str „; a zde nemáme žádnou koordinaci faktu a předmětu, ale koordinaci faktů prostřednictvím koordinace jejich předmětů.

5.5421 [atd.: „Složená duše už nebude duší.“] 5.5422

Správné vysvětlení formy tvrzení „Soudci A. str„musí ukázat, že je nemožné posoudit nesmysl. (Russellova teorie tuto podmínku nesplňuje).^[32]

Možnou interpretací Wittgensteinova postoje je, že myslitel A tj. 'str' je shodně myšlenka str, tímto způsobem „duše“ zůstává jednotkou a ne složeninou. Takže vyslovit „myšlenka si myslí, že myšlenka“ je nesmysl, protože na 5 542 vyjádření nic neurčuje.

von Neumann 1925

John von Neumann v roce 1925 „Axiomatizace teorie množin“ zápasil se stejnými problémy jako Russell, Zermelo, Skolem a Fraenkel. Souhrnně odmítl snahu Russella:

Zde je třeba zmínit Russella, J. Koniga, Weyla a Brouwera. Došli k úplně odlišným výsledkům [od teoretiků množin], ale celkový účinek jejich činnosti se mi zdá naprosto zničující. Zdá se, že v Russellovi spočívá celá matematika a teorie množin na vysoce problematickém „axiomu redukovatelnosti“, zatímco Weyl a Brouwer systematicky odmítají větší část matematiky a teorie množin jako zcela bezvýznamnou.^[33]

Poté si všímá práce teoretiků množin Zermela, Fraenkela a Schoenfliese, ve které „člověk chápe„ soubor “nic jiného než objekt, o kterém už nic neví a nechce vědět víc, než co z toho vyplývá z postulátů. postuláty [teorie množin] mají být formulovány tak, aby z nich vyplývaly všechny požadované věty Cantorovy teorie množin, nikoli však antinomie.^[34]

Zatímco zmiňuje úsilí David Hilbert aby dokázal konzistenci své axiomatizace matematiky^[35] von Neumann ho umístil do stejné skupiny jako Russell. Von Neumann spíše považoval svůj návrh za „v duchu druhé skupiny ... Musíme se však vyhnout vytváření sad sbíráním nebo oddělením prvků [durch Zusammenfassung oder Aussonderung von Elementen] atd., Stejně jako vyhýbání se nejasný princip „definitivity“, který lze stále nalézt v Zermelo. [...] Dáváme však přednost axiomatizaci ne „set“, ale „funkce“. “^[36]

Van Heijenoort podotýká, že tento axiomatický von Neumannův systém „byl zjednodušen, revidován a rozšířen ... a stal se známým jako teorie množin von Neumann-Bernays-Gödel.“^[37]

David Hilbert 1927

David Hilbert je axiomatický systém kterou představuje ve svém roce 1925 Základy matematiky je zralým výrazem úkolu, který zahájil počátkem 20. století, ale na chvíli nechal zaniknout (srov. jeho 1904 Na základech logiky a aritmetiky). Jeho systém není ani teoretický, ani přímo odvozený od Russella a Whiteheada. Spíše vyvolává 13 axiomů logiky - čtyři axiomy implikace, šest axiomů logického AND a logického OR, 2 axiomy logické negace a 1 ε-axiom („existenční“ axiom) - plus verzi Peanoovy axiomy ve 4 axiomech včetně matematická indukce, některé definice, které „mají charakter axiomů a jisté rekurzní axiomy které vyplývají z obecného schématu rekurze "^[38] plus některá formační pravidla, která „řídí použití axiomů“.^[39]

Hilbert uvádí, že s ohledem na tento systém, tj. „Russellova a Whiteheadova teorie základů [,] ... základ, který poskytuje matematice, spočívá nejprve na axiomu nekonečna a poté na tom, čemu se říká axiom redukovatelnost a oba tyto axiomy jsou skutečnými obsahovými předpoklady, které nejsou podporovány důkazem konzistence; jsou to předpoklady, jejichž platnost ve skutečnosti zůstává pochybná a že v každém případě moje teorie nevyžaduje ... redukovatelnost se v mém případě nepředpokládá Teorie ... provedení redukce by bylo vyžadováno pouze v případě, že by byl podán důkaz o rozporu, a pak by podle mé teorie důkazů tato redukce vždy měla uspět. “^[40]

Na tomto základě je to moderní teorie rekurze spočívá.

Ramsey 1925

V roce 1925 Frank Plumpton Ramsey tvrdil, že to není nutné.^[41] Ve druhém vydání Principia Mathematica (1927, strana xiv) a v dokumentu Ramseyho z roku 1926^[42] uvádí se, že určité věty o reálná čísla nelze dokázat pomocí Ramseyho přístupu. Většina pozdějších matematických formalizmů (Hilbertův Formalismus nebo Brower je Intuicionismus například) nepoužívejte jej.

Ramsey ukázal, že je možné přeformulovat definici predikativní pomocí definic v Wittgenstein je Tractatus Logico-Philosophicus. Ve výsledku jsou všechny funkce daného řádu predikativní, bez ohledu na to, jak jsou vyjádřeny. Dále ukazuje, že jeho formulace se paradoxům stále vyhýbá. Teorie „Tractatus“ se však nezdála dostatečně silná, aby dokázala některé matematické výsledky.

Gödel 1944

Kurt Gödel v jeho 1944 Russellova matematická logika slovy svého komentátora Charlese Parsona nabízí: „[co] lze chápat jako obranu těchto [realistických] postojů Russella proti redukcionismu prominentnímu v jeho filozofii a implicitně obsaženému ve většině jeho skutečných logických prací. robustní obrana realismu o matematice a jejích objektech od paradoxů a do povědomí matematického světa po roce 1900 “.^[43]

Obecně je Gödel nakloněn představě, že výrokovou funkci lze omezit na (ztotožnit se s) skutečné objekty které ji uspokojují, ale to způsobuje problémy s ohledem na teorii reálných čísel a dokonce celých čísel (str. 134). Poznamenává, že první vydání ODPOLEDNE „opustil“ realistický (konstruktivistický) „postoj“ svým návrhem axiomu redukovatelnosti (str. 133). V rámci úvodu do druhého vydání ODPOLEDNE (1927) Gödel tvrdí, že „konstruktivistický přístup je znovu obnoven“ (str. 133), když Russell „upustil“ od axiomu redukovatelnosti ve prospěch maticové (pravdivostně-funkční) teorie; Russell „výslovně uvedl, že všechny primitivní predikáty patří k nejnižšímu typu a že jediným účelem proměnných (a evidentně i konstant) je umožnit prosazení složitějších pravdivých funkcí atomových tvrzení ... [tj.] Čím vyšší typy a objednávky jsou pouze a façon de parler "(str. 134). Funguje to však pouze v případě, že počet jednotlivců a primitivních predikátů je konečný, protože lze vytvořit konečné řetězce symbolů, jako například:

${displaystyle x = a_ {1} vee x = a_ {2} tee tees vee x = a_ {k}}$ [příklad na straně 134]

A z takových řetězců lze vytvořit řetězce řetězců, abychom získali ekvivalent tříd tříd se směsí možných typů. Z takových konečných řetězců však nelze sestrojit celou matematiku, protože je nelze „analyzovat“, tzn. Redukovatelnou na zákon identity nebo vyvrátitelnou negací zákona:

Dokonce i teorie celých čísel je neanalytická, za předpokladu, že je třeba z pravidel eliminace vyžadovat, aby ve všech případech skutečně umožňovali eliminaci provádět v konečném počtu kroků.⁴⁴ (⁴⁴Protože by to znamenalo existenci rozhodovacího postupu pro všechny aritmetické návrhy. Srov. Turing 1937.) ... [Tudíž] celá matematika aplikovaná na věty nekonečné délky musí být prokázána, aby prokázala [analytičnost] teorie celých čísel, např. Axiom výběru lze prokázat pouze jako analytický pokud se předpokládá, že je to pravda. (str. 139)

Poznamenává však, že „se zdá, že tento postup předpokládá nějakou formu aritmetiky“ (str. 134), a v dalším odstavci uvádí, že „otázku, zda (nebo do jaké míry) lze získat teorii celých čísel na základ rozvětvené hierarchie musí být považován za nevyřešený. “ (str. 135)

Gödel navrhl, že je třeba zaujmout „konzervativnější přístup“:

vyjasnit význam pojmů „třída“ a „koncept“ a vytvořit konzistentní teorii tříd a konceptů jako objektivně existujících entit. Toto je kurz, kterým se ubírá skutečný vývoj matematické logiky ... Hlavními pokusy v tomto směru ... jsou jednoduchá teorie typů ... a axiomatická teorie množin, z nichž oba byly alespoň úspěšné do té míry, že umožňují odvození moderní matematiky a současně se vyhýbají všem známým paradoxům. Mnoho příznaků však ukazuje až příliš jasně, že primitivní pojmy vyžadují další objasnění. (str. 140)

Quine 1967

V kritice, která také pojednává o výhodách a nevýhodách Ramseyho (1931)^[44] W. V. O. Quine nazývá Russellovu formulaci „typů“ jako „obtížnou ... zmatek přetrvává, když se pokouší definovat 'nnávrhy tého řádu '... metoda je opravdu podivně nevyzpytatelná ... axiom redukovatelnosti je samoúčelný' atd.^[45]

Jako Stephen Kleene Quine poznamenává, že Ramsey (1926) ^[46] rozdělil různé paradoxy na dvě varianty (i) „ty z čisté teorie množin“ a (ii) ty, které pocházejí ze „sémantických konceptů, jako je faleš a specifičnost“, a Ramsey věřil, že druhá varianta měla být z Russellova řešení vynechána. Quine končí názorem, že „kvůli záměně výroků s větami a atributů s jejich výrazy bylo Russellovo domnělé řešení sémantických paradoxů záhadné“.^[47]

Kleene 1952

Ve své části „§12. První závěry z paradoxů“ (podkapitola „LOGICISMUS“), Stephen Kleene (1952) sleduje vývoj Russellovy teorie typů:

Aby přizpůsobil logickou [sic] konstrukci matematiky situaci vyplývající z objevení paradoxů, Russell vyloučil ze své rozvětvená teorie typů (1908, 1910).^[48]

Kleene poznamenává, že „k vyloučení nedefinovatelných definic v rámci typu se typy nad typem 0 [primární objekty nebo jednotlivci„ nepodléhající logické analýze “] dále dělí na řády. Tedy pro typ 1 [vlastnosti jednotlivců, tj. Logické výsledky výrokový kalkul ], vlastnosti definované bez zmínky o jakékoli totalitě objednat 0 a vlastnosti definované pomocí součtu vlastností dané objednávky níže do další vyšší objednávky) ".^[49]

Kleene však v závorce poznamenává, že „logická definice přirozeného čísla se nyní stává predikativní, když je [vlastnost] P v ní specifikována tak, aby se pohybovala pouze nad vlastnostmi daného řádu; v [tomto] případě je vlastnost přirozeného čísla příští vyšší objednávky ".^[50] Ale toto rozdělení na řády znemožňuje konstrukci známé analýzy, kterou [viz příklad Kleene na Impredicativity ] obsahuje nedefinovatelné definice. Aby unikl tomuto výsledku, Russell postuloval svůj axiom redukovatelnosti.^[51] Kleene si ale klade otázku: „z jakých důvodů bychom měli věřit v axiom redukovatelnosti?“^[52] Poznamenává to, zatímco Principia Mathematica je prezentován jako odvozený z intuitivně-odvozené axiomy, které „měly být věřeny světu nebo alespoň přijímány jako věrohodné hypotézy týkající se světa [,] ... pokud mají být postaveny vlastnosti, měla by být záležitost vyřešena na základě konstrukcí, ne axiomem. “ Ve skutečnosti cituje Whiteheada a Russella (1927) zpochybňující jejich vlastní axiom: „zjevně to není ten druh axiomu, s nímž bychom mohli odpočívat“.^[53]

Kleene odkazuje na práci Ramseyho 1926, ale konstatuje, že „ani Whiteheadovi, Russellovi, ani Ramseyovi se nepodařilo konstruktivně dosáhnout logického cíle“ a „zajímavý návrh ... Langforda 1927 a Carnapa 1931-2 také není bez obtíží. "^[54] Kleene končí tuto diskusi citacemi Weyla (1946), že „systém Principia Mathematica ... [je založen na] jakémsi ráji logiků „a kdokoli“, kdo je připraven věřit v tento „transcendentální svět“, by také mohl přijmout systém axiomatické teorie množin (Zermelo, Fraenkel atd.), který pro dedukci matematiky má tu výhodu, že je jednodušší ve struktuře. “^[55]

Poznámky

Reference

• van Heijenoort, Jean (1967, 3rd printing 1976), Od Frege po Godla: Kniha pramenů v matematické logice, 1879–1931, Harvard University Press, Cambridge, MA, ISBN  0-674-32449-8 (pbk)
• Russell, Bertrand (1903) The Principles of Mathematics: Vol. 1, Cambridge at the University Press, Cambridge, UK, republished as a googlebook.
• Whitehead, Alfred North and Russell, Bertrand (1910–1913, 2nd edition 1927, reprinted 1962 edition), Principia Mathematica do * 56, Cambridge at the University Press, London UK, no ISBN or US card catalogue number.
• Mario Livio (2009), Je Bůh matematik?, Simon and Schuster, New York, NY, ISBN  978-0-7432-9405-8.

externí odkazy

• Axiom redukovatelnosti na PhilPapers