Hypsometrická rovnice - Hypsometric equation - Wikipedia

The hypsometrická rovnice, také známý jako rovnice tloušťky, se týká atmosférický tlak poměr k ekvivalentní tloušťce atmosférické vrstvy s ohledem na průměr vrstvy virtuální teplota, gravitace a občas vítr. Je odvozen z hydrostatická rovnice a zákon o ideálním plynu.

Formulace

Hypsometrická rovnice je vyjádřena jako:^[1]

${ displaystyle h = z_ {2} -z_ {1} = { frac {R cdot { overline {T_ {v}}}} {g}} cdot ln left ({ frac {p_ { 1}} {p_ {2}}} vpravo),}$

kde:

${ displaystyle h}$ = tloušťka vrstvy [m],

${ displaystyle z}$ = geometrická výška [m],

${ displaystyle R}$ = konkrétní plynová konstanta pro suchý vzduch,

${ displaystyle { overline {T_ {v}}}}$ = průměr virtuální teplota v kelvinů [K],

${ displaystyle g}$ = gravitační zrychlení [slečna²],

${ displaystyle p}$ = tlak [Pa ].

v meteorologie, ${ displaystyle p_ {1}}$ a ${ displaystyle p_ {2}}$ jsou isobarický povrchy. v radiosonde Při pozorování lze k výpočtu výšky tlakové rovnice použít hypsometrickou rovnici vzhledem k výšce referenční úrovně tlaku a střední virtuální teplotě mezi nimi. Poté lze nově vypočítanou výšku použít jako novou referenční úroveň k výpočtu výšky další úrovně vzhledem k průměrné virtuální teplotě mezi nimi atd.

Derivace

Hydrostatická rovnice:

${ displaystyle p = rho cdot g cdot z,}$

kde ${ displaystyle rho}$ je hustota [kg / m³], se používá ke generování rovnice pro hydrostatická rovnováha, napsáno v rozdíl formulář:

${ displaystyle dp = - rho cdot g cdot dz.}$

To je kombinováno s zákon o ideálním plynu:

${ displaystyle p = rho cdot R cdot T_ {v}}$

eliminovat ${ displaystyle rho}$:

${ displaystyle { frac { mathrm {d} p} {p}} = { frac {-g} {R cdot T_ {v}}} , mathrm {d} z.}$

To je integrováno z ${ displaystyle z_ {1}}$ na ${ displaystyle z_ {2}}$:

${ displaystyle int _ {p (z_ {1})} ^ {p (z_ {2})} { frac { mathrm {d} p} {p}} = int _ {z_ {1}} ^ {z_ {2}} { frac {-g} {R cdot T_ {v}}} , mathrm {d} z.}$

R a G jsou konstantní s z, takže mohou být vyvedeny mimo integrál. Pokud se teplota lineárně mění s z (např. vzhledem k malé změně v z), může být také vyveden mimo integrál, když je nahrazen ${ displaystyle { overline {T_ {v}}}}$průměrná virtuální teplota mezi ${ displaystyle z_ {1}}$ a ${ displaystyle z_ {2}}$.

${ displaystyle int _ {p (z_ {1})} ^ {p (z_ {2})} { frac { mathrm {d} p} {p}} = { frac {-g} {R cdot { overline {T_ {v}}}}} int _ {z_ {1}} ^ {z_ {2}} , mathrm {d} z.}$

Integrace dává

${ displaystyle ln left ({ frac {p (z_ {2})} {p (z_ {1})}} right) = { frac {-g} {R cdot { overline {T_ {v}}}}} (z_ {2} -z_ {1}),}$

zjednodušení na

${ displaystyle ln left ({ frac {p_ {1}} {p_ {2}}} right) = { frac {g} {R cdot { overline {T_ {v}}}}} (z_ {2} -z_ {1}).}$

Přeskupení:

${ displaystyle z_ {2} -z_ {1} = { frac {R cdot { overline {T_ {v}}}} {g}} ln left ({ frac {p_ {1}} { p_ {2}}} vpravo),}$

nebo odstranění přirozeného protokolu:

${ displaystyle { frac {p_ {1}} {p_ {2}}} = e ^ {{ frac {g} {R cdot { overline {T_ {v}}}}} cdot (z_ { 2} -z_ {1})}.}$

Oprava

The Eötvösův efekt lze vzít v úvahu jako opravu hypsometrické rovnice. Fyzicky pomocí referenčního rámce, který se otáčí se Zemí, váží vzduchová hmota pohybující se na východ méně, což odpovídá nárůstu tloušťky mezi tlakovými úrovněmi a naopak. Následuje opravená hypsometrická rovnice:^[2]

${ displaystyle h = z_ {2} -z_ {1} = { frac {R cdot { overline {T_ {v}}}} {g (1 + A)}} cdot ln left ({ frac {p_ {1}} {p_ {2}}} right),}$

kde oprava kvůli Eötvösův efekt, A, lze vyjádřit následovně:

${ displaystyle A = - { frac {1} {g}} (2 Omega { overline {u}} cos phi + { frac {{ overline {u}} ^ {2} + { přetáhnout {v}} ^ {2}} {r}}),}$

kde

${ displaystyle Omega}$ = Rychlost rotace Země,

${ displaystyle phi}$ = zeměpisná šířka,

${ displaystyle r}$ = vzdálenost od středu Země k hmotnosti vzduchu,

${ displaystyle { overline {u}}}$ = střední rychlost v podélném směru (východ-západ) a

${ displaystyle { overline {v}}}$ = střední rychlost v zeměpisném směru (sever-jih).

Tato korekce je značná u velkého tropického atmosférického pohybu.

Viz také

• Barometrický vzorec
• Vertikální kolísání tlaku

Reference