Hyperkomplexní potrubí - Hypercomplex manifold

v diferenciální geometrie, a hyperkomplexní potrubí je potrubí s tečný svazek vybaven akce podle algebra čtveřic takovým způsobem, že čtveřice ${displaystyle I, J, K}$definovat integrovatelné téměř složité struktury.

Pokud se o téměř komplexních strukturách místo toho nepředpokládá, že jsou integrovatelné, nazývá se potrubí kvartérní nebo téměř hyperkomplexní.^[1]

Příklady

Každý hyperkähler potrubí je také hyperkomplex. Konverzace není pravdivá. The Hopfův povrch

${displaystyle {igg (} {mathbb {H}} ackslash 0 {igg)} / {mathbb {Z}}}$

(s ${displaystyle {mathbb {Z}}}$ působí jako násobení čtveřicí ${displaystyle q}$, ${displaystyle | q |> 1}$) ishypercomplex, ale ne Kähler, proto ne hyperkähler Chcete-li vidět, že povrch Hopf není Kähler, všimněte si, že je odlišný od produktu${displaystyle S ^ {1} je S ^ {3},}$ proto je jeho lichá kohomologická skupina lichá-rozměrná. Podle Hodgeův rozklad, zvláštní kohomologie kompaktu Kähler potrubí jsou vždy sudé. Hidekiyo Wakakuwa ve skutečnosti dokázal^[2] že na kompaktní hyperkähler potrubí ${displaystyle b_ {2p + 1} ekvivalent 0 mod 4}$. Misha Verbitsky prokázal, že jakékoli kompaktní hyperperplexní potrubí, které připouští Kählerovu strukturu, je také hyperkähler.^[3]

V roce 1988 byly levostranné invariantní hyperkomplexní struktury na některých kompaktních Lieových skupinách konstruovány fyziky Philippe Spindel, Alexander Sevrin, Walter Troost a Antoine Van Proeyen. V roce 1992 Dominic Joyce znovuobjevil tuto konstrukci a dal úplnou klasifikaci struktur levého invariantního hyperkomplexu na kompaktních Lieových skupinách. Zde je kompletní seznam.

${displaystyle T ^ {4}, SU (2l + 1), T ^ {1} je SU (2l), T ^ {l} je to SO (2l + 1),}$

${displaystyle T ^ {2l} imes SO (4l), T ^ {l} imes Sp (l), T ^ {2} imes E_ {6},}$

${displaystyle T ^ {7} imes E ^ {7}, T ^ {8} imes E ^ {8}, T ^ {4} imes F_ {4}, T ^ {2} imes G_ {2}}$

kde ${displaystyle T ^ {i}}$ označuje ${displaystyle i}$-rozměrný kompaktní torus.

Je pozoruhodné, že každá kompaktní Lieova skupina se stává hyperkomplexní poté, co je vynásobena dostatečně velkým torusem.

Základní vlastnosti

Hyperkomplexní potrubí jako takové studoval Charles Boyer v roce 1988. Také dokázal, že ve skutečné dimenzi 4 jsou jedinými kompaktními hyperkomplexními potrubími komplexní torus ${displaystyle T ^ {4}}$, Hopfův povrch a Povrch K3.

Mnohem dříve (v roce 1955) Morio Obata studoval afinní spojení spojený s téměř hyperkomplexní struktury (podle dřívější terminologie Charles Ehresmann^[4] z téměř kvaternionové struktury). Jeho konstrukce vede k čemu Edmond Bonan volal Obata připojení^[5][6] který je bez kroucení, právě když, „dvě“ z téměř složitých struktur ${displaystyle I, J, K}$ jsou integrovatelné a v tomto případě je potrubí hyperkomplexní.

Twistorové prostory

Existuje dvourozměrná sféra čtveřic${displaystyle Lin {mathbb {H}}}$ uspokojující ${displaystyle L ^ {2} = - 1}$.Každý z těchto čtverců dává složitou strukturu na hyperkomplexním potrubí M. To definuje téměř složitou strukturu na potrubí${displaystyle M imes S ^ {2}}$, který je vláknitý${displaystyle {mathbb {C}} P ^ {1} = S ^ {2}}$ s vlákny identifikovanými jako ${displaystyle (M, L)}$. Tato složitá struktura je integrovatelná, jak vyplývá z Obatovy věty (to bylo poprvé výslovně prokázáno Dmitrij Kaledin^[7]). Tento složitý manifold se nazývá twistorový prostor z ${displaystyle M}$.Li M je ${displaystyle {mathbb {H}}}$, pak je jeho twistorový prostor isomorfní s ${displaystyle {mathbb {C}} P ^ {3} ackslash {mathbb {C}} P ^ {1}}$.

Viz také

• Kvartérní potrubí

Reference