Homogenní distribuce - Homogeneous distribution

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Srpna 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, a homogenní distribuce je rozdělení S na Euklidovský prostor Rⁿ nebo Rⁿ \ {0} to je homogenní v tom smyslu, že zhruba řečeno

${ displaystyle S (tx) = t ^ {m} S (x) ,}$

pro všechny t > 0.

Přesněji řečeno ${ displaystyle mu _ {t}: x mapsto x / t}$ být operátorem skalárního dělení Rⁿ. Distribuce S na Rⁿ nebo Rⁿ \ {0} je homogenní se stupněm m pokud

${ displaystyle S [t ^ {- n} varphi circ mu _ {t}] = t ^ {m} S [ varphi]}$

pro všechny pozitivní skutečné t a všechny testovací funkce φ. Další faktor t⁻ⁿ je potřeba k reprodukci obvyklého pojmu homogenity pro místně integrovatelné funkce a vychází z Jakobiánská změna proměnných. Číslo m mohou být skutečné nebo složité.

Může být netriviálním problémem rozšířit dané homogenní rozdělení z Rⁿ {0} k distribuci dne Rⁿ, i když je to nutné pro mnoho technik Fourierova analýza, zejména Fourierova transformace, který má být vynesen. Takové rozšíření ve většině případů existuje, i když nemusí být jedinečné.

Vlastnosti

Li S je homogenní distribuce na Rⁿ {0} stupně α, pak slabý první parciální derivace z S

${ displaystyle { frac { částečné S} { částečné x_ {i}}}}$

má stupeň α − 1. Dále verze Eulerova věta o homogenní funkci platí: distribuce S je homogenní stupně α právě tehdy

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} { frac { částečné S} { částečné x_ {i}}} = alfa S.}$

Jedna dimenze

Je možná úplná klasifikace homogenních distribucí v jedné dimenzi. Homogenní rozdělení na R \ {0} jsou dány různými výkonové funkce. Kromě výkonových funkcí je zapnuto i homogenní rozdělení R patří Diracova delta funkce a jeho deriváty.

Diracova delta funkce je homogenní stupně -1. Intuitivně,

${ displaystyle int _ { mathbb {R}} delta (tx) varphi (x) , dx = int _ { mathbb {R}} delta (y) varphi (y / t) , { frac {dy} {t}} = t ^ {- 1} varphi (0)}$

provedením změny proměnných y = tx v „integrálu“. Navíc kth slabá derivace delta funkce δ^(k) je homogenní stupně -k-1. Všechny tyto distribuce mají podporu skládající se pouze z původu: při lokalizaci R \ {0}, všechny tyto distribuce jsou identicky nulové.

X^α
₊

V jedné dimenzi funkce

${ displaystyle x _ {+} ^ { alpha} = { begin {cases} x ^ { alpha} & { text {if}} x> 0 0 & { text {jinak}} end {případy }}}$

je místně integrovatelný R \ {0}, a tak definuje distribuci. Distribuce je homogenní stupně α. Podobně ${ displaystyle x _ {-} ^ { alpha} = (- x) _ {+} ^ { alpha}}$ a ${ displaystyle | x | ^ { alpha} = x _ {+} ^ { alpha} + x _ {-} ^ { alpha}}$ jsou homogenní distribuce stupně α.

Každá z těchto distribucí je však na všech integrována pouze lokálně R za předpokladu, že Re (α)> -1. Ale i když funkce ${ displaystyle x _ {+} ^ { alpha}}$ Naivně definované výše uvedeným vzorcem nelze lokálně integrovat pro mapování Re α ≤ −1

${ displaystyle alpha mapsto x _ {+} ^ { alpha}}$

je holomorfní funkce z pravé poloroviny do topologický vektorový prostor temperovaných distribucí. Připouští jedinečný meromorfní rozšíření s jednoduchými póly na každé záporné celé číslo α = −1, −2, .... Výsledné rozšíření je homogenní stupně α, pokud α není záporné celé číslo, protože na jedné straně je to vztah

${ displaystyle x _ {+} ^ { alpha} [ varphi circ mu _ {t}] = t ^ { alpha +1} x _ {+} ^ { alpha} [ varphi]}$

drží a je holomorfní v α> 0. Na druhé straně se obě strany v α rozšiřují meromorfně, a tak zůstávají stejné v celé definiční oblasti.

V celé oblasti definice X^α
₊ také splňuje následující vlastnosti:

• ${ displaystyle { frac {d} {dx}} x _ {+} ^ { alpha} = alpha x _ {+} ^ { alpha -1}}$
• ${ displaystyle xx _ {+} ^ { alpha} = x _ {+} ^ { alpha +1}}$

Další rozšíření

Existuje několik odlišných způsobů, jak rozšířit definici výkonových funkcí na homogenní distribuce R v záporných celých číslech.

χ^α
₊

Tyče dovnitř X^α
₊ u záporných celých čísel lze odstranit renormalizací. Dát

${ displaystyle chi _ {+} ^ { alpha} = { frac {x _ {+} ^ { alpha}} { gama (1+ alfa)}}.}$

Tohle je celá funkce α. Při záporných celých číslech

${ displaystyle chi _ {+} ^ {- k} = delta ^ {(k-1)}.}$

Distribuce ${ displaystyle chi _ {+} ^ {a}}$ mít vlastnosti

• ${ displaystyle { frac {d} {dx}} chi _ {+} ^ { alpha} = chi _ {+} ^ { alpha -1}}$
• ${ displaystyle x chi _ {+} ^ { alpha} = alpha chi _ {+} ^ { alpha +1}.}$

${ displaystyle { underline {x}} ^ {k}}$

Druhým přístupem je definování distribuce ${ displaystyle { podtržení {x}} ^ {- k}}$, pro k = 1, 2, ...,

${ displaystyle { underline {x}} ^ {- k} = { frac {(-1) ^ {k-1}} {(k-1)!}} { frac {d ^ {k}} {dx ^ {k}}} log | x |.}$

Ty jasně zachovávají původní vlastnosti výkonových funkcí:

• ${ displaystyle { frac {d} {dx}} { podtržení {x}} ^ {- k} = - k { podtržení {x}} ^ {- k-1}}$
• ${ displaystyle x { underline {x}} ^ {- k} = { underline {x}} ^ {- k + 1}, quad { text {if}} k> 1.}$

Tato rozdělení jsou také charakterizována jejich působením na testovací funkce

${ displaystyle { underline {x}} ^ {- k} = int _ {- infty} ^ { infty} { frac { phi (x) - sum _ {j = 0} ^ {k -1} x ^ {j} phi ^ {(j)} (0) / j!} {X ^ {k}}} , dx,}$

a tak zobecnit Hodnota Cauchyho jistiny distribuce 1 /X který vzniká v Hilbertova transformace.

(X ± i0)^α

Další homogenní rozdělení je dáno distribučním limitem

${ displaystyle (x + i0) ^ { alpha} = lim _ { epsilon downarrow 0} (x + i epsilon) ^ { alpha}.}$

To znamená, že působí na testovací funkce

${ displaystyle (x + i0) ^ { alpha} [ varphi] = lim _ { epsilon downarrow 0} int _ { mathbb {R}} (x + i epsilon) ^ { alpha} varphi (x) , dx.}$

Větev logaritmu je vybrána tak, aby byla v horní polorovině jednohodnotová a aby souhlasila s přirozeným logem podél kladné reálné osy. Jako limit celých funkcí (X + i0)^α[φ] je celá funkce α. Podobně,

${ displaystyle (x-i0) ^ { alpha} = lim _ { epsilon downarrow 0} (x-i epsilon) ^ { alpha}}$

je také dobře definovaná distribuce pro všechny α

Když Re α> 0,

${ displaystyle (x pm i0) ^ { alpha} = x _ {+} ^ { alpha} + e ^ { pm i pi alpha} x _ {-} ^ { alpha},}$

který pak drží analytickým pokračováním, kdykoli α není záporné celé číslo. Trvanlivostí funkčních vztahů

${ displaystyle { frac {d} {dx}} (x pm i0) ^ { alpha} = alpha (x pm i0) ^ { alpha -1}.}$

U záporných celých čísel zůstává identita (na úrovni distribucí na R \ {0})

${ displaystyle (x pm i0) ^ {- k} = x _ {+} ^ {- k} + (- 1) ^ {k} x _ {-} ^ {- k} pm pi i (-1 ) ^ {k} { frac { delta ^ {(k-1)}} {(k-1)!}},}$

a singularity se ruší, aby poskytly dobře definované rozdělení na R. Průměr obou distribucí souhlasí ${ displaystyle { podtržení {x}} ^ {- k}}$:

${ displaystyle { frac {(x + i0) ^ {- k} + (x-i0) ^ {- k}} {2}} = { podtržení {x}} ^ {- k}.}$

Rozdíl dvou distribucí je násobkem funkce delta:

${ displaystyle (x + i0) ^ {- k} - (x-i0) ^ {- k} = 2 pi i (-1) ^ {k} { frac { delta ^ {(k-1) }} {(k-1)!}},}$

který je známý jako Plemelj skokový vztah.

Klasifikace

Následující věta o klasifikaci platí (Gel'fand a Shilov 1966, §3.11). Nechat S být homogenní distribucí stupně α na R \ {0}. Pak ${ displaystyle S = ax _ {+} ^ { alpha} + bx _ {-} ^ { alpha}}$ pro některé konstanty A, b. Jakákoli distribuce S na R homogenní stupně α ≠ −1, −2, ... je také této formy. Výsledkem je každé homogenní rozdělení stupně α ≠ −1, −2, ... na R \ {0} rozšiřuje na R.

Nakonec homogenní rozdělení stupně -k, záporné celé číslo, zapnuto R jsou všechny formy:

${ displaystyle a { podtržení {x}} ^ {- k} + b delta ^ {(k-1)}.}$

Vyšší rozměry

Homogenní distribuce v euklidovském prostoru Rⁿ \ {0} s odstraněným počátkem jsou vždy ve formě

${ displaystyle S (x) = f (x / | x |) | x | ^ { lambda} ,}$

(1)

kde ƒ je distribuce na jednotkové sféře Sⁿ⁻¹. Číslo λ, což je stupeň homogenního rozdělení S, mohou být skutečné nebo složité.

Jakákoli homogenní distribuce formuláře (1) zapnuto Rⁿ \ {0} rozšiřuje jedinečně na homogenní distribuci na Rⁿ pokud Re λ> -n. Ve skutečnosti to argument pro analytické pokračování podobný jednorozměrnému případu rozšiřuje pro všechny λ ≠ -n, −n−1, ....

Reference

• Gel'fand, I.M .; Shilov, G.E. (1966), Zobecněné funkce, 1, Academic Press.
• Hörmander, L. (1976), Lineární parciální diferenciální operátory, svazek 1, Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-00662-6.
• Taylor, Michael (1996), Parciální diferenciální rovnice, sv. 1, Springer-Verlag.