Kritérium Hilbert – Mumford - Hilbert–Mumford criterion

v matematika, Kritérium Hilbert – Mumford, představil David Hilbert^{[Citace je zapotřebí ]} a David Mumford, charakterizuje semistabilní a stabilní body a skupinová akce na vektorový prostor ve smyslu vlastní čísla 1 parametru podskupiny (Dieudonné & Carrell1970, 1971, s. 58).

Definice stability

Nechat G být reduktivní skupina působící lineárně na a vektorový prostor PROTI, nenulový bod PROTI je nazýván

polostabilní pokud 0 není obsažen v uzavření své oběžné dráhy, a nestabilní v opačném případě;
stabilní pokud je jeho dráha uzavřena a jeho stabilizátor je konečný. Stabilní bod je tím spíše polostabilní. Volá se polostabilní, ale ne stabilní bod přísně polostabilní.

Když G je multiplikativní skupina ${ displaystyle mathbb {G} _ {m}}$ , např. C^* v komplexním nastavení se akce rovná konečné dimenzionální reprezentaci ${ displaystyle lambda colon mathbf {C} ^ {*} to mathrm {GL} (V)}$ . Můžeme se rozložit PROTI do přímé částky ${ displaystyle V = textstyle bigoplus _ {i} V_ {i}}$ , kde na každé komponentě PROTI_i akce je uvedena jako ${ displaystyle lambda (t) cdot v = t ^ {i} v}$ . Celé číslo i se nazývá váha. Pak pro každý bod X, podíváme se na množinu vah, ve které má nenulovou složku.

Pokud jsou všechny váhy přísně pozitivní, pak ${ displaystyle lim _ {t až 0} lambda (t) cdot x = 0}$ , takže 0 je na konci oběžné dráhy X, tj. X je nestabilní;
Pokud jsou všechny váhy nezáporné a 0 je váha, pak buď 0 je jediná váha, v takovém případě X je stabilizován C^*; nebo jsou vedle 0 nějaké kladné váhy, pak limit ${ displaystyle lim _ {t až 0} lambda (t) cdot x}$ se rovná složce hmotnosti 0 X, který není na oběžné dráze X. Oba případy tedy přesně odpovídají příslušné poruše dvou podmínek v definici stabilního bodu, tj. Ukázali jsme to X je přísně polostabilní.

Prohlášení

Kritérium Hilbert – Mumford v zásadě říká, že typickou situací je případ multiplikativní skupiny. Přesně pro generála reduktivní skupina G působící lineárně na vektorový prostor PROTI, stabilita bodu X lze charakterizovat studiem 1parametrových podskupin G, což jsou netriviální morfismy ${ displaystyle lambda colon mathbb {G} _ {m} do G}$ . Všimněte si, že váhy pro inverzní ${ displaystyle lambda ^ {- 1}}$ jsou přesně minus ty z ${ displaystyle lambda}$ , takže příkazy mohou být symetrické.

Bod X je nestabilní, právě když existuje podskupina s 1 parametrem G pro který X připouští pouze kladné váhy nebo pouze záporné váhy; ekvivalentně, X je polostabilní právě tehdy, když neexistuje taková podskupina s 1 parametrem, tj. pro každou podskupinu s 1 parametrem existují jak kladné, tak nezáporné váhy;
Bod X je přísně polostabilní právě tehdy, pokud existuje podskupina s 1 parametrem G pro který X připouští 0 jako váhu, přičemž všechny váhy jsou nezáporné (nebo nepozitivní);
Bod X je stabilní právě tehdy, pokud neexistuje 1-parametrická podskupina G pro který X připouští pouze nezáporné váhy nebo pouze nepozitivní váhy, tj. pro každou podskupinu s 1 parametrem existují pozitivní i negativní váhy.

Příklady a aplikace

Akce C^* v letadle C², přičemž oběžné dráhy jsou rovinné kónické (hyperboly).

Akce C^* v letadle

Standardní příklad je akce C^* v letadle C² definováno jako ${ displaystyle t cdot (x, y) = (tx, t ^ {- 1} y)}$ . Je zřejmé, že váha v X-směr je 1 a váha v y-směr je -1. Podle kritéria Hilbert – Mumford tedy nenulový bod na X- osa připouští 1 jako svou jedinou váhu a nenulový bod na y-osi připouští -1 jako svou jedinou váhu, takže jsou oba nestabilní; obecný bod v rovině připouští 1 a -1 jako váhy, takže je stabilní.

Body v P¹

Mnoho příkladů vzniká v moduly problémy. Zvažte například sadu n body na racionální křivka P¹ (přesněji,n podsystém P¹). Skupina automorfismu z P¹, PSL (2,C), působí na takové množiny (podsystémy) a Hilbert – Mumfordovo kritérium nám umožňuje určit stabilitu v rámci této akce.

Problém můžeme linearizovat identifikací sady n body se stupněmn homogenní polynom ve dvou proměnných. Považujeme tedy působení SL (2,C) ve vektorovém prostoru ${ displaystyle H ^ {0} ({ mathcal {O}} _ { mathbf {P} ^ {1}} (n))}$ takových homogenních polynomů. Vzhledem k podskupině s 1 parametrem ${ displaystyle lambda colon mathbf {C} ^ {*} to mathrm {SL} (2, mathbf {C})}$ , můžeme zvolit souřadnice X a y aby akce pokračovala P¹ je uveden jako

{ displaystyle lambda (t) cdot [x: y] = [t ^ {k} x: t ^ {- k} y].}

Pro homogenní polynom formy ${ displaystyle textstyle sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i} y ^ {n-i}}$ , termín ${ displaystyle x ^ {i} y ^ {n-i}}$ má váhu k(2i-n). Polynom tak připouští jak kladné, tak záporné (resp. Nepozitivní a nezáporné) váhy právě tehdy, když existují pojmy s i>n/ 2 a i<n / 2 (resp. i≥n/ 2 a i≤n / 2). Zejména rozmanitost X nebo y by měl být <n/ 2 (opakování ≤n/ 2). Pokud opakujeme všechny podskupiny s 1 parametrem, můžeme získat stejnou podmínku multiplicity pro všechny body v P¹. Podle Hilberta – Mumfordova kritéria byl polynom (a tedy množina) n points) is stable (resp. semi-stable) if and only if its multiplicity at any point is <n/ 2 (resp. ≤n/2).

Roviny kubické

Podobná analýza pomocí homogenní polynom lze provést ke stanovení stability kubické roviny. Kritérium Hilbert – Mumford ukazuje, že kubická rovina je stabilní právě tehdy, když je hladká; je polostabilní, právě když připouští přinejhorším obyčejný dvojité body tak jako singularity; kubický s horšími singularitami (např hrot ) je nestabilní.

Viz také

Reference

Dieudonné, Jean A.; Carrell, James B. (1970), „Invariantní teorie, stará a nová“, Pokroky v matematice, 4: 1–80, doi:10.1016/0001-8708(70)90015-0, ISSN 0001-8708, PAN 0255525
Dieudonné, Jean A.; Carrell, James B. (1971), Neměnná teorie, stará i nová, Boston, MA: Akademický tisk, ISBN 978-0-12-215540-6, PAN 0279102
Harris, Joe; Morrison, Ian (1998), Moduly křivek, Springer, doi:10.1007 / b98867
Thomas, Richard P. (2006), „Poznámky k GIT a redukci symplektik pro svazky a odrůdy“, Průzkumy v diferenciální geometrii, 10, arXiv:matematika / 0512411v3