Cole – Coleova rovnice - Cole–Cole equation

The Cole – Coleova rovnice je relaxace model, který se často používá k popisu dielektrická relaxace v polymery.

Je to dáno rovnicí

${displaystyle varepsilon ^ {*} (omega) = varepsilon _ {infty} + {frac {varepsilon _ {s} -varepsilon _ {infty}} {1+ (iomega au) ^ {1-alpha}}}}$

kde ${displaystyle varepsilon ^ {*}}$ je komplexní dielektrická konstanta, ${displaystyle varepsilon _ {s}}$ a ${displaystyle varepsilon _ {infty}}$ jsou dielektrické konstanty „statické“ a „nekonečné frekvence“, ${displaystyle omega}$ je úhlová frekvence a ${displaystyle au}$ je časová konstanta.

Parametr exponentu ${displaystyle alpha}$, který má hodnotu mezi 0 a 1, umožňuje popsat různé spektrální tvary. Když ${displaystyle alpha = 0}$, model Cole-Cole se redukuje na Debye Modelka. Když ${displaystyle alpha> 0}$, relaxace je natažené, tj. rozšiřuje se v širším rozsahu logaritmicky ${displaystyle omega}$ měřítko než Debye relaxace.

Oddělení komplexní dielektrické konstanty ${displaystyle varepsilon (omega)}$ bylo uvedeno v původním článku Cole a Cole^[1] jak následuje:

${displaystyle varepsilon '= varepsilon _ {infty} + (varepsilon _ {s} -varepsilon _ {infty}) {frac {1+ (omega au) ^ {1-alpha} sin alpha pi / 2} {1 + 2 ( omega au) ^ {1-alfa} sin alfa pi / 2 + (omega au) ^ {2 (1-alfa)}}}}$

${displaystyle varepsilon '' = {frac {(varepsilon _ {s} -varepsilon _ {infty}) (omega au) ^ {1-alpha} cos alpha pi / 2} {1 + 2 (omega au) ^ {1- alpha} sin alfa pi / 2 + (omega au) ^ {2 (1-alfa)}}}}$

Po zavedení hyperbolických funkcí se výše uvedené výrazy redukují na:

${displaystyle varepsilon '= varepsilon _ {infty} + {frac {1} {2}} (varepsilon _ {0} -varepsilon _ {infty}) left [1- {frac {sinh ((1-alpha) x)} {cosh ((1-alpha) x) + cos alpha pi / 2}} ight]}$

${displaystyle varepsilon '' = {frac {1} {2}} (varepsilon _ {0} -varepsilon _ {infty}) {frac {cos alpha pi / 2} {cosh ((1-alpha) x) + sin alpha pi / 2}}}$

Tady ${displaystyle x = ln (omega au)}$.

Tyto rovnice se redukují na Debyeho výraz, když ${displaystyle alpha = 0}$.

Cole – Cole relaxace představuje zvláštní případ Havriliak – Negami relaxace když je parametr symetrie (β) roven 1, tj. když jsou relaxační píky symetrické. Další speciální případ relaxace Havriliak – Negami (β <1, α = 1) je známý jako Cole – Davidsonova relaxace. Pro zkrácený a aktualizovaný přehled anomální dielektrické relaxace v neuspořádaných systémech viz Kalmykov.

Reference

Cole, K. S.; Cole, R.H. (1941). "Disperze a absorpce v dielektriku - charakteristika střídavého proudu". J. Chem. Phys. 9 (4): 341–352. Bibcode:1941JChPh ... 9..341C. doi:10.1063/1.1750906.

Cole, K. S.; Cole, R.H. (1942). "Disperze a absorpce v dielektriku - II charakteristiky stejnosměrného proudu". Journal of Chemical Physics. 10 (2): 98–105. Bibcode:1942JChPh..10 ... 98C. doi:10.1063/1.1723677.

Kalmykov, Y.P .; Coffey, W.T .; Crothers, D.S.F .; Titov, S.V. (2004). "Mikroskopické modely pro dielektrickou relaxaci v poruchových systémech". Fyzický přehled E. 70 (4): 041103. Bibcode:2004PhRvE..70d1103K. doi:10.1103 / PhysRevE.70.041103. PMID  15600393.