Reprezentace vrstvového dortu - Layer cake representation

v matematika, reprezentace vrstev dortu ne-negativní, nemovitý -hodnota měřitelná funkce F definované na a změřte prostor ${displaystyle (Omega, {mathcal {A}}, mu)}$ je vzorec

{displaystyle f (x) = int _ {0} ^ {infty} 1_ {L (f, t)} (x), mathrm {d} t,}

pro všechny ${displaystyle xin Omega}$ , kde ${displaystyle 1_ {E}}$ označuje funkce indikátoru podmnožiny ${displaystyle Esubseteq Omega}$ a ${displaystyle L (f, t)}$ označuje super-nastavena úroveň

{displaystyle L (f, t) = {yin Omega mid f (y) geq t}.}

Z pozorování toho vyplývá znázornění vrstvy dortu

{displaystyle 1_ {L (f, t)} (x) = 1 _ {[0, f (x)]} (t)}

a poté pomocí vzorce

{displaystyle f (x) = int _ {0} ^ {f (x)}, mathrm {d} t.}

The vrstvený koláč reprezentace odvozuje svůj název od reprezentace hodnoty ${displaystyle f (x)}$ jako součet příspěvků z „vrstev“ ${displaystyle L (f, t)}$ : "vrstvy" / hodnoty t níže ${displaystyle f (x)}$ přispívají k integrálním hodnotám t výše ${displaystyle f (x)}$ ne.

Důležitým důsledkem reprezentace vrstvy dortu je identita

${displaystyle int _ {Omega} f (x), mathrm {d} mu (x) = int _ {0} ^ {infty} mu ({xin Omega mid f (x)> t}), mathrm {d} t ,}$

což z něj vyplývá uplatněním Fubini-Tonelliho věta.

Je to důležitá aplikace ${displaystyle L ^ {p}}$ pro ${displaystyle 1leq p <+ infty}$ lze psát následovně

${displaystyle int _ {Omega} | f (x) | ^ {p}, mathrm {d} mu (x) = pint _ {0} ^ {infty} s ^ {p-1} mu ({xin Omega mid, | f (x) |> s}) mathrm {d} s,}$

který bezprostředně vyplývá ze změny proměnných ${displaystyle t = s ^ {p}}$ ve vrstvě dortového zastoupení ${displaystyle | f (x) | ^ {p}}$ .

Viz také

Symetrické snižující se přeskupení

Reference

Gardner, Richard J. (2002). „Brunn – Minkowského nerovnost“. Býk. Amer. Matematika. Soc. (N.S.). 39 (3): 355–405 (elektronické). doi:10.1090 / S0273-0979-02-00941-2.
Lieb, Elliott; Ztráta, Michaele (2001). Analýza. Postgraduální studium matematiky. 14 (2. vyd.). Americká matematická společnost. ISBN 978-0821827833.