Haarsova tauberiánská věta - Haars tauberian theorem - Wikipedia

v matematická analýza, Haar tauberiánská věta^[1] pojmenoval podle Alfréd Haar, se týká asymptotického chování a spojitá funkce k jeho vlastnostem Laplaceova transformace. Souvisí to s integrální formulací Hardy – Littlewoodova tauberiánská věta.

Zjednodušená verze od Fellera

William Feller dává následující zjednodušenou formu pro tuto větu^[2]

Předpokládejme to ${ displaystyle f (t)}$ je nezáporná a spojitá funkce pro ${ displaystyle t geq 0}$ , mít konečnou Laplaceova transformace

{ displaystyle F (s) = int _ {0} ^ { infty} e ^ {- st} f (t) , dt}

pro ${ displaystyle s> 0}$ . Pak ${ displaystyle F (s)}$ je dobře definován pro jakoukoli komplexní hodnotu ${ displaystyle s = x + iy}$ s ${ displaystyle x> 0}$ . Předpokládejme to ${ displaystyle F}$ ověří následující podmínky:

1. Pro ${ displaystyle y neq 0}$ funkce ${ displaystyle F (x + iy)}$ (který je pravidelný na pravá polorovina ${ displaystyle x> 0}$ ) má spojité hraniční hodnoty ${ displaystyle F (iy)}$ tak jako ${ displaystyle x až +0}$ , pro ${ displaystyle x geq 0}$ a ${ displaystyle y neq 0}$ , dále pro ${ displaystyle s = iy}$ to může být psáno jako

{ displaystyle F (s) = { frac {C} {s}} + psi (s),}

kde ${ displaystyle psi (iy)}$ má konečné deriváty ${ displaystyle psi '(iy), ldots, psi ^ {(r)} (iy)}$ a ${ displaystyle psi ^ {(r)} (iy)}$ je ohraničen v každém konečném intervalu;

2. Integrál

{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {ity} F (x + iy) , dy}

konverguje rovnoměrně s ohledem na ${ displaystyle t geq T}$ pro pevné ${ displaystyle x> 0}$ a ${ displaystyle T> 0}$ ;

3. ${ displaystyle F (x + iy) až 0}$ tak jako ${ displaystyle y to pm infty}$ , jednotně s ohledem na ${ displaystyle x geq 0}$ ;

4. ${ displaystyle F '(iy), ldots, F ^ {(r)} (iy)}$ inklinují k nule jako ${ displaystyle y to pm infty}$ ;

5. Integrály

{ displaystyle int _ {- infty} ^ {y_ {1}} e ^ {ity} F ^ {(r)} (iy) , dy}

a

{ displaystyle int _ {y_ {2}} ^ { infty} e ^ {ity} F ^ {(r)} (iy) , dy}

konvergovat jednotně s ohledem na ${ displaystyle t geq T}$ pro pevné ${ displaystyle y_ {1} <0}$ , ${ displaystyle y_ {2}> 0}$ a ${ displaystyle T> 0}$ .

Za těchto podmínek

{ displaystyle lim _ {t to infty} t ^ {r} [f (t) -C] = 0.}

Kompletní verze

Podrobnější verze je uvedena v ^[3]

Předpokládejme to ${ displaystyle f (t)}$ je spojitá funkce pro ${ displaystyle t geq 0}$ , které mají Laplaceova transformace

{ displaystyle F (s) = int _ {0} ^ { infty} e ^ {- st} f (t) , dt}

s následujícími vlastnostmi

1. Pro všechny hodnoty ${ displaystyle s = x + iy}$ s ${ displaystyle x> a}$ funkce ${ displaystyle F (s) = F (x + iy)}$ je pravidelný;

2. Pro všechny ${ displaystyle x> a}$ , funkce ${ displaystyle F (x + iy)}$ , považováno za funkci proměnné ${ displaystyle y}$ , má vlastnost Fourier („Fourierschen Charakter besitzt“) definovaný Haarem jako pro jakýkoli jiný ${ displaystyle delta> 0}$ existuje hodnota ${ displaystyle omega}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle t geq T}$

{ displaystyle { Big |} , int _ { alpha} ^ { beta} e ^ {iyt} F (x + iy) , dy ; { Big |} < delta}

kdykoli ${ displaystyle alpha, beta geq omega}$ nebo ${ displaystyle alpha, beta leq - omega}$ .

3. Funkce ${ displaystyle F (s)}$ má mezní hodnotu pro ${ displaystyle Re s = a}$ formuláře

{ displaystyle F (s) = součet _ {j = 1} ^ {N} { frac {c_ {j}} {(s-s_ {j}) ^ { rho _ {j}}}} + psi (s)}

kde ${ displaystyle s_ {j} = a + iy_ {j}}$ a ${ displaystyle psi (a + iy)}$ je ${ displaystyle n}$ krát diferencovatelná funkce ${ displaystyle y}$ a takový, že derivát

{ displaystyle left | { frac {d ^ {n} psi (a + iy)} {dy ^ {n}}} vpravo |}

je omezen na jakýkoli konečný interval (pro proměnnou ${ displaystyle y}$ )

4. Deriváty

{ displaystyle { frac {d ^ {k} F (a + iy)} {dy ^ {k}}}}

pro ${ displaystyle k = 0, ldots, n-1}$ mít nulový limit pro ${ displaystyle y to pm infty}$ a pro ${ displaystyle k = n}$ má Fourierovu vlastnost, jak je definována výše.