Hörmandersův stav - Hörmanders condition - Wikipedia

v matematika, Hörmanderův stav je majetkem vektorová pole to, pokud je splněno, má v teorii mnoho užitečných důsledků částečný a stochastické diferenciální rovnice. Podmínka je pojmenována po švédský matematik Lars Hörmander.

Definice

Vzhledem k tomu dva C¹ vektorová pole PROTI a Ž na d-dimenzionální Euklidovský prostor R^d, nechť [PROTI, Ž] označují jejich Ležící závorka, další vektorové pole definované symbolem

{ displaystyle [V, W] (x) = mathrm {D} V (x) W (x) - mathrm {D} W (x) V (x),}

kde DPROTI(X) označuje Fréchetův derivát z PROTI na X ∈ R^d, o kterém lze uvažovat jako o matice který se aplikuje na vektor Ž(X), a naopak.

Nechat A₀, A₁, ... A_n být vektorová pole na R^d. Říká se, že uspokojují Hörmanderův stav pokud pro každý bod X ∈ R^d, vektory

{ displaystyle { begin {aligned} & A_ {j_ {0}} (x) ~, & [A_ {j_ {0}} (x), A_ {j_ {1}} (x)] ~, & [[A_ {j_ {0}} (x), A_ {j_ {1}} (x)], A_ {j_ {2}} (x)] ~, & quad vdots quad konec {zarovnáno}} qquad 0 leq j_ {0}, j_ {1}, ldots, j_ {n} leq n}

rozpětí R^d. Říká se, že uspokojují parabolický Hörmanderův stav pokud totéž platí, ale s indexem ${ displaystyle j_ {0}}$ brát pouze hodnoty v 1, ...,n.

Aplikace na stochastické diferenciální rovnice

Zvažte stochastická diferenciální rovnice (SDE)

{ displaystyle operatorname {d} x = A_ {0} (x) operatorname {d} t + sum _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} (x) circ operatorname {d} W_ {i}}

kde vektory pole ${ displaystyle A_ {0}, dotsc, A_ {n}}$ předpokládá se, že mají omezenou derivaci, ${ displaystyle (W_ {1}, dotsc, W_ {n})}$ normalizovaný n-dimenzionální Brownův pohyb a ${ displaystyle circ operatorname {d}}$ znamená Stratonovichův integrál interpretace SDE. Hörmanderova věta tvrdí, že pokud výše uvedená SDE splňuje parabolickou Hörmanderovu podmínku, pak její řešení připouštějí hladkou hustotu s ohledem na Lebesgueovu míru.

Aplikace na Cauchyho problém

Se stejným zápisem jako výše definujte druhý řád operátor diferenciálu F podle

{ displaystyle F = { frac {1} {2}} součet _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} ^ {2} + A_ {0}.}

Důležitým problémem v teorii parciálních diferenciálních rovnic je stanovení dostatečných podmínek na vektorových polích A_i pro Cauchyho problém

{ displaystyle { begin {cases} { dfrac { částečné u} { částečné t}} (t, x) = Fu (t, x), & t> 0, x in mathbf {R} ^ { d}; u (t, cdot) až f, & { text {as}} t až 0; end {případů}}}

mít hladký zásadní řešení, tj. funkce se skutečnou hodnotou p (0, +∞) × R^2d → R takhle p(t, ·, ·) Je hladký R^2d pro každého t a

{ displaystyle u (t, x) = int _ { mathbf {R} ^ {d}} p (t, x, y) f (y) , mathrm {d} y}

uspokojuje výše uvedený Cauchyho problém. Již nějakou dobu bylo známo, že v eliptický případ, ve kterém

{ displaystyle A_ {i} = součet _ {j = 1} ^ {d} a_ {ji} { frac { částečné} { částečné x_ {j}}},}

a matice A = (A_ji), 1 ≤ j ≤ d, 1 ≤ i ≤ n je takový AA^∗ je všude invertibilní matice.

Velkým úspěchem článku Hörmandera z roku 1967 bylo ukázat, že hladké základní řešení existuje za podstatně slabšího předpokladu: parabolická verze podmínky, která nyní nese jeho jméno.

Aplikace na řídicí systémy

Nechat M být hladké potrubí a ${ displaystyle A_ {0}, dotsc, A_ {n}}$ být hladké vektorové pole na M. Za předpokladu, že tato vektorová pole splňují Hörmanderův stav, pak řídicí systém

{ displaystyle { dot {x}} = součet _ {i = 1} ^ {n} u_ {i} A_ {i} (x)}

je místně ovladatelné kdykoli v každém bodě M. Toto je známé jako Věta Chow – Rashevskii. Vidět Orbit (teorie řízení).

Viz také

Reference

Bell, Denis R. (2006). Malliavinův počet. Mineola, NY: Dover Publications Inc. str. X + 113. ISBN 0-486-44994-7. PAN2250060 (Viz úvod)
Hörmander, Larsi (1967). "Hypoelliptické diferenciální rovnice druhého řádu". Acta Math. 119: 147–171. doi:10.1007 / BF02392081. ISSN 0001-5962. PAN0222474