Orbit (teorie řízení) - Orbit (control theory)

Pojem obíhat řídicího systému používaného v matematice teorie řízení je zvláštní případ pojmu oběžná dráha v teorii grup.^[1][2][3]

Definice

Nechat ${displaystyle {} {dot {q}} = f (q, u)}$ být ${displaystyle {mathcal {C}} ^ {infty}}$ kontrolní systém, kde ${displaystyle {q}}$ patří do konečně-dimenzionálního potrubí ${displaystyle M}$ a ${displaystyle u}$ patří do řídicí sady ${displaystyle U}$. Zvažte rodinu ${displaystyle {mathcal {F}} = {f (cdot, u) mid uin U}}$a předpokládejme, že každé vektorové pole v ${displaystyle {mathcal {F}}}$ je kompletní.Pro každého ${displaystyle fin {mathcal {F}}}$ a každý skutečný ${displaystyle t}$, označují ${displaystyle e ^ {tf}}$ the tok z ${displaystyle f}$ v čase ${displaystyle t}$.

Dráha řídicího systému ${displaystyle {} {dot {q}} = f (q, u)}$ skrz bod ${displaystyle q_ {0} v M}$ je podmnožina ${displaystyle {mathcal {O}} _ {q_ {0}}}$ z ${displaystyle M}$ definován

${displaystyle {mathcal {O}} _ {q_ {0}} = {e ^ {t_ {k} f_ {k}} cirkus e ^ {t_ {k-1} f_ {k-1}} cirkus cdots cir e ^ {t_ {1} f_ {1}} (q_ {0}) mid kin mathbb {N}, t_ {1}, tečky, t_ {k} v mathbb {R}, f_ {1}, tečky, f_ { k} v {mathcal {F}}}.}$

Poznámky

Rozdíl mezi oběžnými drahami a dosažitelné sady je to, že zatímco u dosažitelných sad jsou povoleny pouze pohyby vpřed, jsou povoleny pohyby vpřed i vzad pro oběžné dráhy. Zejména pokud rodina ${displaystyle {mathcal {F}}}$ je symetrický (tj. ${displaystyle fin {mathcal {F}}}$ kdyby a jen kdyby ${displaystyle -fin {mathcal {F}}}$), pak se orbity a dosažitelné sady shodují.

Hypotéza, že každé vektorové pole ${displaystyle {mathcal {F}}}$ je kompletní zjednodušuje notace, ale lze jej zrušit. V tomto případě je třeba nahradit toky vektorových polí jejich lokálními verzemi.

Věta o oběžné dráze (Nagano – Sussmann)

Každá oběžná dráha ${displaystyle {mathcal {O}} _ {q_ {0}}}$ je ponořený dílčí potrubí z ${displaystyle M}$.

Tečný prostor na oběžnou dráhu${displaystyle {mathcal {O}} _ {q_ {0}}}$ v určitém okamžiku ${displaystyle q}$ je lineární podprostor ${displaystyle T_ {q} M}$ překlenutý vektory ${displaystyle P _ {*} f (q)}$ kde ${displaystyle P _ {*} f}$ označuje tlačit kupředu z ${displaystyle f}$ podle ${displaystyle P}$, ${displaystyle f}$ patří ${displaystyle {mathcal {F}}}$ a ${displaystyle P}$ je difeomorfismus z ${displaystyle M}$ formuláře ${displaystyle e ^ {t_ {k} f_ {k}} circ cdots circle e ^ {t_ {1} f_ {1}}}$ s ${displaystyle kin mathbb {N}, t_ {1}, dots, t_ {k} in mathbb {R}}$ a ${displaystyle f_ {1}, tečky, f_ {k} v {mathcal {F}}}$.

Pokud jsou všechna vektorová pole rodiny ${displaystyle {mathcal {F}}}$ jsou tedy analytické ${displaystyle T_ {q} {mathcal {O}} _ {q_ {0}} = mathrm {Lie} _ {q}, {mathcal {F}}}$ kde ${displaystyle mathrm {Lie} _ {q}, {mathcal {F}}}$ je hodnocení na ${displaystyle q}$ z Lež algebra generováno uživatelem ${displaystyle {mathcal {F}}}$ s respektem k Ležácká závorka vektorových polí Jinak zahrnutí ${displaystyle mathrm {Lie} _ {q}, {mathcal {F}} podmnožina T_ {q} {mathcal {O}} _ {q_ {0}}}$ platí.

Dodatek (věta Rashevsky – Chow)

Li ${displaystyle mathrm {Lie} _ {q}, {mathcal {F}} = T_ {q} M}$ pro každého ${displaystyle qin M}$ a pokud ${displaystyle M}$ je spojena, pak se každá oběžná dráha rovná celému potrubí ${displaystyle M}$.

Viz také

• Frobeniova věta (diferenciální topologie)

Reference

Další čtení

• Agrachev, Andrei; Sachkov, Yuri (2004). „Věta o oběžné dráze a její aplikace“. Teorie řízení z geometrického hlediska. Berlín: Springer. str. 63–80. ISBN  3-540-21019-9.