Největší prvek a nejméně prvek - Greatest element and least element

Hasseův diagram sady P z dělitele 60, částečně seřazeno podle vztahu "X rozděluje yČervená podmnožina S = {1,2,3,4} má dva maximální prvky, viz. 3 a 4 a jeden minimální prvek, viz. 1, což je také jeho nejmenší prvek.

v matematika, speciálně v teorie objednávek, největší prvek podmnožiny S a částečně objednaná sada (poset) je prvek S to je větší než u všech ostatních prvků S. Termín nejmenší prvek je definováno duálně, to znamená, že je prvkem S to je menší než všechny ostatní prvky S.

Definice

Po celou dobu, pojďme (P, ≤) být částečně objednaná sada a nechte S ⊆ P.

Definice: Prvek G podmnožiny S z P se říká, že je největší prvek S pokud to vyhovuje

s ≤ G, pro všechny s ∈ S.

Li S má největší prvek, pak je nutně jedinečný, takže o něm můžeme mluvit the největší prvek S.

Používáním ≥ namísto ≤ ve výše uvedené definici je definován nejméně prvek S.

Kontrast k maximálním prvkům, horním mezím a místním / absolutním maximům

Největší prvek částečně uspořádané podmnožiny nesmí být zaměňován maximální prvky sady, což jsou prvky, které nejsou menší než kterýkoli jiný prvek v sadě. Sada může mít několik maximálních prvků, aniž by měla největší prvek. Stejně jako horní hranice a maximální prvky nemusí existovat největší prvky.

Definice:

1. Prvek m ∈ S se říká, že je maximální prvek z S pokud ano ne existují s ∈ S takhle m ≤ s a s ≠ m.
2. An horní hranice z S v P je prvek u takhle u ∈ P a s ≤ u pro všechny s ∈ S.

V konkrétním případě, kdy P = S, definice „u je horní hranice S v S„stává se: u je prvek takový, že u ∈ S a s ≤ u pro všechny s ∈ S, který je zcela identické k definici největšího prvku uvedenému dříve. Tím pádem G je největším prvkem S kdyby a jen kdyby G je horní hranice S v S.

Li u je horní hranice S v P to není horní hranice S v S (což se může stát právě tehdy u ∉ S) pak u umět ne být největším prvkem S (je však možné, že nějaký další prvek je největší prvek S). Zejména je možné pro S současně ne mít největší prvek a aby existovala nějaká horní hranice S v P.

I když má sada nějaké horní hranice, nemusí mít největší prvek, jak ukazuje příklad záporného reálná čísla. Tento příklad také ukazuje, že existence a nejmenší horní mez (v tomto případě číslo 0) neznamená ani existenci největšího prvku.

V úplně objednaná sada maximální prvek a největší prvek se shodují; a také se tomu říká maximum; v případě funkčních hodnot se také nazývá absolutní maximum, aby nedošlo k záměně s a místní maximum.^[1] Duální podmínky jsou minimální a absolutní minimum. Společně se jim říká absolutní extrémy.

Podobné závěry platí pro nejméně prvků.

Vlastnosti

Po celou dobu, pojďme (P, ≤) být částečně objednaná sada a nechte S ⊆ P.

• Sada S může mít maximálně jeden největší prvek.^{[poznámka 1]} Pokud má tedy množina největší prvek, je nutně jedinečná.
• Pokud existuje, pak největší prvek S je horní hranice z S který je také obsažen v S.
• Li G je největším prvkem S pak G je také maximálním prvkem S^{[poznámka 2]} a navíc jakýkoli další maximální prvek S bude nutně rovna G.^{[Poznámka 3]}
  • Tedy pokud množina S má několik maximálních prvků, pak nemůže mít největší prvek.
• Li P uspokojuje vzestupný stav řetězu podmnožina S z P má největší prvek pokud, a pouze pokud, má jeden maximální prvek.^{[poznámka 4]}
• Když omezení ≤ na S je celková objednávka (S = { 1, 2, 4  } na horním obrázku je příklad), pak se pojmy maximálního prvku a největšího prvku shodují.^{[poznámka 5]}
  • To však není nutná podmínka pro kdykoli S má největší prvek, pojmy se také shodují, jak je uvedeno výše.
• Pokud se představy o maximálním prvku a největším prvku shodují u každé podmnožiny dvou prvků S z P, pak ≤ je celková objednávka dne P.^{[poznámka 6]}

Dostatečné podmínky

• Konečný řetěz vždy má největší a nejméně prvek.

Vrch a spodek

Nejmenší a největší prvek z celé částečně uspořádané množiny hraje zvláštní roli a je také nazýván dno a hornínebo nula (0) a jednotka (1) nebo ⊥ a ⊤. Pokud oba existují, poset se nazývá a ohraničená poseta. Zápis 0 a 1 se používá přednostně, když je poset sudý a doplněná mříž, a když není pravděpodobná žádná záměna, tj. když nemluvíme o dílčích řadách čísel, která již obsahují prvky 0 a 1 odlišné od spodního a horního. Existence nejmenších a největších prvků je zvláštní vlastnost úplnosti částečné objednávky.

Další úvodní informace najdete v článku o teorie objednávek.

Příklady

Hasseův diagram příkladu 2

• Podmnožina celá čísla nemá v sadě horní mez ℝ z reálná čísla.
• Nechť vztah ≤ na { A, b, C, d  } být dán A ≤ C, A ≤ d, b ≤ C, b ≤ d. Sada { A, b  } má horní hranice C a d, ale v neposlední řadě horní mez a žádný největší prvek (viz obrázek).
• V racionální čísla, sada čísel s jejich čtvercem menším než 2 má horní hranice, ale žádný největší prvek a nejméně horní hranici.
• v ℝ, sada čísel menších než 1 má nejmenší horní mez, viz. 1, ale žádný největší prvek.
• v ℝ, sada čísel menších nebo rovných 1 má největší prvek, viz. 1, což je také jeho nejmenší horní mez.
• v ℝ² s objednávka produktu, sada párů (X, y) s 0 < X < 1 nemá horní mez.
• v ℝ² s lexikografický řád, tato sada má horní hranice, např. (1, 0). Nemá nejmenší horní mez.

Viz také

• Esenciální supremum a esenciální infimum
• Počáteční a terminálové objekty
• Maximální a minimální prvky
• Limit superior a limit inferior (minimální limit)
• Horní a dolní mez

Poznámky

Reference

• Davey, B. A .; Priestley, H. A. (2002). Úvod do mřížek a řádu (2. vyd.). Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-78451-1.