Esenciální supremum a esenciální infimum - Essential supremum and essential infimum
v matematika, pojmy základní supremum a zásadní infimum souvisí s pojmy supremum a infimum, ale přizpůsoben teorie míry a funkční analýza, kde se často jedná o výroky, které nejsou platné Všechno prvky v a soubor, ale raději téměř všude, tj. s výjimkou a sada nulové míry.
I když přesná definice není okamžitě přímočará, intuitivně je základním prvkem funkce nejmenší hodnota, která je větší nebo rovna hodnotám funkcí všude, když je možné ignorovat, co funkce dělá v sadě nulových bodů. Například pokud někdo vezme funkci to se rovná nule všude kromě at kde , pak se supremum funkce rovná jedné. Jeho základní supremum je však nula, protože nám je dovoleno ignorovat, co funkce dělá v jediném bodě, kde je zvláštní. Základní infimum je definováno podobným způsobem.
Definice
Jak často bývá u teoretických otázek míry, definice esenciálního suprema a infimu nezačíná otázkou, jaká funkce F dělá v bodech X (tj obraz z F), ale spíše žádáním o sadu bodů X kde F se rovná konkrétní hodnotě y (tj preimage z y pod F).
Nechat F : X → R být nemovitý oceňují funkce definované na množině X. Skutečné číslo A se nazývá horní hranice pro F -li F(X) ≤ A pro všechny X v X, tj. pokud je sada
je prázdný. Nechat
být množinou horních mezí F. Pak nadřazenost F je definováno
pokud je sada horních mezí je neprázdné a v opačném případě.
Alternativně, pokud pro některé my máme pro Všechno pak .
Nyní předpokládejme, že navíc je opatření prostor a pro zjednodušení předpokládejme, že funkce je měřitelný. Číslo se nazývá základní horní mez z F pokud je měřitelná množina je sada míry nula,[A] tj. pokud pro téměř všechny v . Nechat
být souborem základních horních mezí. Pak je esenciální supremum definováno podobně jako
-li , a v opačném případě.
Alternativně, pokud pro některé my máme pro téměř všechny pak .
Přesně stejným způsobem se definuje zásadní infimum jako nadřazenost základní dolní meze, to znamená,
pokud je sada základních dolních mezí neprázdná a jako v opačném případě.
Příklady
Na skutečné linii zvažte Lebesgueovo opatření a jeho odpovídající σ-algebra Σ. Definujte funkci F podle vzorce
Supremum této funkce (největší hodnota) je 5 a infimum (nejmenší hodnota) je −4. Funkce však přijímá tyto hodnoty pouze u množin {1} a {−1}, které jsou nulové míry. Všude jinde má funkce hodnotu 2. Tedy, esenciální supremum a esenciální infimum této funkce jsou oba 2.
Jako další příklad zvažte funkci
kde Q označuje racionální čísla. Tato funkce je neomezená jak shora, tak zdola, takže její supremum a infimum jsou ∞ a −∞. Z pohledu Lebesgueovy míry je však množina racionálních čísel nulové míry; ve skutečnosti tedy záleží na tom, co se stane v doplňku této sady, kde je funkce dána jako arktanX. Z toho vyplývá, že základní supremum je π/ 2 zatímco základní infimum je -π/2.
Na druhou stranu zvažte funkci F(X) = X3 definováno pro všechny skutečné X. Jeho základní supremum je a jeho základní infimum je .
Nakonec zvažte funkci