Obecný maticový kruh - Generic matrix ring

v algebra, a obecný maticový kruh je jakousi univerzálkou maticový prsten.

Definice

Označujeme ${ displaystyle F_ {n}}$ obecný maticový kruh velikosti n s proměnnými ${ displaystyle X_ {1}, tečky X_ {m}}$. Vyznačuje se univerzální vlastností: danou a komutativní prsten R a n-podle-n matice ${ displaystyle A_ {1}, tečky, A_ {m}}$ přes R, jakékoli mapování ${ displaystyle X_ {i} mapsto A_ {i}}$ sahá do kruhový homomorfismus (zvané hodnocení) ${ displaystyle F_ {n} až M_ {n} (R)}$.

Výslovně, vzhledem k pole k, to je subalgebra ${ displaystyle F_ {n}}$ maticového kruhu ${ displaystyle M_ {n} (k [(X_ {l}) _ {ij} střední 1 leq l leq m, 1 leq i, j leq n])}$ generováno uživatelem n-podle-n matice ${ displaystyle X_ {1}, tečky, X_ {m}}$, kde ${ displaystyle (X_ {l}) _ {ij}}$ jsou maticové záznamy a dojíždění podle definice. Například pokud m = 1 tedy ${ displaystyle F_ {1}}$ je polynomiální kruh v jedné proměnné.

Například a centrální polynom je prvek prstenu ${ displaystyle F_ {n}}$ který bude mapován na ústřední prvek v rámci hodnocení. (Ve skutečnosti je to v invariantní prsten ${ displaystyle k [(X_ {l}) _ {ij}] ^ { operatorname {GL} _ {n} (k)}}$ protože je centrální a neměnný.^[1])

Podle definice, ${ displaystyle F_ {n}}$ je kvocient z zdarma vyzvánění ${ displaystyle k langle t_ {1}, dots, t_ {m} rangle}$ s ${ displaystyle t_ {i} mapsto X_ {i}}$ podle ideál skládající se ze všech str že zmizí stejně na všech n-podle-n matice přes k.

Geometrická perspektiva

Univerzální vlastnost znamená, že jakýkoli kruhový homomorfismus z ${ displaystyle k langle t_ {1}, dots, t_ {m} rangle}$ k faktorům maticového kruhu ${ displaystyle F_ {n}}$. To má následující geometrický význam. v algebraická geometrie, polynomický kruh ${ displaystyle k [t, tečky, t_ {m}]}$ je souřadnicový kruh afinního prostoru ${ displaystyle k ^ {m}}$, a dát bod z ${ displaystyle k ^ {m}}$ je dát prstenový homomorfismus (hodnocení) ${ displaystyle k [t, tečky, t_ {m}] až k}$ (buď u Hilbert nullstellensatz nebo teorie schémat ). Volný prsten ${ displaystyle k langle t_ {1}, dots, t_ {m} rangle}$ hraje roli souřadnicového prstence afinního prostoru v nekomutativní algebraická geometrie (tj. nevyžadujeme volné proměnné pro dojíždění) a tedy obecný maticový kruh velikosti n je souřadnicový kruh nekomutativní afinní odrůdy, jejíž body jsou Spec maticových kruhů velikosti n (konkrétnější diskuse viz níže.)

Maximální spektrum obecného maticového kruhu

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Červen 2014)

Pro jednoduchost předpokládejme k je algebraicky uzavřeno. Nechat A být algebra přes k a nechte ${ displaystyle operatorname {Spec} _ {n} (A)}$ označit soubor ze všech maximální ideály ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$ v A takhle ${ displaystyle A / { mathfrak {m}} přibližně M_ {n} (k)}$. Li A je tedy komutativní ${ displaystyle operatorname {Spec} _ {1} (A)}$ je maximální spektrum z A a ${ displaystyle operatorname {Spec} _ {n} (A)}$ je prázdný pro všechny ${ displaystyle n> 1}$.

Reference

• Artin, Michael (1999). „Nekomutativní prsteny“ (PDF).
• Cohn, Paul M. (2003). Další algebra a aplikace (Přepracované vydání Algebry, 2. vydání.). Londýn: Springer-Verlag. ISBN  1-85233-667-6. Zbl  1006.00001.