q-diferenční polynom - q-difference polynomial - Wikipedia

v kombinační matematika, q-diferenční polynomy nebo q-harmonické polynomy plocha polynomiální sekvence definováno z hlediska q-derivát. Jsou zobecněným typem Brenkeho polynom a zobecnit Appell polynomy. Viz také Shefferova sekvence.

Definice

Polynomy Q-rozdílu uspokojují vztah

{ displaystyle left ({ frac {d} {dz}} right) _ {q} p_ {n} (z) = { frac {p_ {n} (qz) -p_ {n} (z) } {qz-z}} = { frac {q ^ {n} -1} {q-1}} p_ {n-1} (z) = [n] _ {q} p_ {n-1} ( z)}

kde derivační symbol vlevo je q-derivace. V limitu ${ displaystyle q až 1}$ , toto se stane definicí Appellových polynomů:

{ displaystyle { frac {d} {dz}} p_ {n} (z) = np_ {n-1} (z).}

Zobecněný generující funkce pro tyto polynomy je typ funkce generování pro Brenkeovy polynomy, jmenovitě

{ displaystyle A (w) e_ {q} (zw) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {p_ {n} (z)} {[n] _ {q}!} } w ^ {n}}

kde ${ displaystyle e_ {q} (t)}$ je q-exponenciální:

{ displaystyle e_ {q} (t) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {t ^ {n}} {[n] _ {q}!}} = součet _ { n = 0} ^ { infty} { frac {t ^ {n} (1-q) ^ {n}} {(q; q) _ {n}}}.}

Tady, ${ displaystyle [n] _ {q}!}$ je q-faktoriál a

{ displaystyle (q; q) _ {n} = (1-q ^ {n}) (1-q ^ {n-1}) cdots (1-q)}

je q-Pochhammerův symbol. Funkce ${ displaystyle A (w)}$ je libovolný, ale předpokládá se jeho expanze

{ displaystyle A (w) = součet _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} w ^ {n} { mbox {with}} a_ {0} neq 0.}

Jakýkoli takový ${ displaystyle A (w)}$ dává posloupnost polynomů s rozdílem q.

A. Sharma a A. M. Chak, „Základní analoga třídy polynomů“, Riv. Rohož. Univ. Parma, 5 (1954) 325-337.
Ralph P. Boas, Jr. a R. Creighton Buck, Polynomiální rozšíření analytických funkcí (opraven druhý tisk)(1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlín. Library of Congress Card Number 63-23263. (Poskytuje velmi krátkou diskusi o konvergenci.)