Gauss – Jacobiho kvadratura - Gauss–Jacobi quadrature

v numerická analýza, Gauss – Jacobiho kvadratura (pojmenoval podle Carl Friedrich Gauss a Carl Gustav Jacob Jacobi ) je metoda numerická kvadratura na základě Gaussova kvadratura. Gauss – Jacobiho kvadraturu lze použít k aproximaci integrálů formy

${displaystyle int _ {- 1} ^ {1} f (x) (1-x) ^ {alpha} (1 + x) ^ {eta}, dx}$

kde ƒ je plynulá funkce [−1, 1] a α, β > −1. Interval [−1, 1] lze nahradit jakýmkoli jiným intervalem lineární transformací. Gauss – Jacobiho kvadraturu lze tedy použít k aproximaci integrálů se singularitami v koncových bodech. Gauss – Legendrova kvadratura je speciální případ Gauss – Jacobiho kvadratury s α = β = 0. Podobně Čebyšev – Gaussova kvadratura prvního (druhého) druhu vznikne, když člověk vezme α = β = −0.5 (+0.5). Obecněji zvláštní případ α = β přemění Jacobiho polynomy na Gegenbauerovy polynomy, v takovém případě se tato technika někdy nazývá Gauss – Gegenbauerova kvadratura.

Kvadraturní použití Gauss – Jacobi ω(X) = (1 − X)^α (1 + X)^β jako váhová funkce. Odpovídající sekvence ortogonální polynomy skládá se z Jacobiho polynomy. Kvadraturní Gauss – Jacobi tedy vládne dál n body mají formu

${displaystyle int _ {- 1} ^ {1} f (x) (1-x) ^ {alpha} (1 + x) ^ {eta}, dxaptx lambda _ {1} f (x_ {1}) + lambda _ {2} f (x_ {2}) + ldots + lambda _ {n} f (x_ {n}),}$

kde X₁, …, X_n jsou kořeny Jacobiho polynomu stupně n. Váhy λ₁, …, λ_n jsou dány vzorcem

${displaystyle lambda _ {i} = - {frac {2n + alpha + eta +2} {n + alpha + eta +1}}, {frac {Gamma (n + alpha +1) gama (n + eta +1)} {Gamma (n + alpha + eta +1) (n + 1)!}}, {Frac {2 ^ {alpha + eta}} {P_ {n} ^ {(alpha, eta), prime} (x_ {i }) P_ {n + 1} ^ {(alfa, eta)} (x_ {i})}},}$

kde Γ označuje Funkce gama a P^{(α, β)}
_n(X) Jacobiho polynom stupně n.

Chybový termín (rozdíl mezi přibližnou a přesnou hodnotou) je:

${displaystyle E_ {n} = {frac {Gamma (n + alfa +1) gama (n + eta +1) gama (n + alfa + eta +1)} {{2n + alfa + eta +1) [gama (2n + alpha + eta +1)] ^ {2}}} {frac {2 ^ {2 + alpha + eta +1}} {(2n)!}} f ^ {(2n)} (xi),}$

kde ${displaystyle -1$.

Reference

• Rabinowitz, Philip (2001), „§4.8-1: Gauss – Jacobiho kvadratura“, První kurz numerické analýzy (2. vyd.), New York: Dover Publications, ISBN  978-0-486-41454-6.

externí odkazy

• Jacobi vládne - svobodný software (Matlab, C ++ a Fortran) k vyhodnocení integrálů podle Gauss-Jacobiho kvadraturních pravidel.
• Gegenbauerovo pravidlo - bezplatný software (Matlab, C ++ a Fortran) pro Gauss – Gegenbauerovu kvadraturu