Četnost překročení - Frequency of exceedance - Wikipedia

The frekvence překročení, někdy nazývané roční míra překročení, je frekvence, s níž náhodný proces překročí určitou kritickou hodnotu. Kritická hodnota je obvykle daleko od průměru. Obvykle se definuje z hlediska počtu vrcholů náhodného procesu, které jsou mimo hranici. Má aplikace související s předpovídáním extrémních událostí, například velkých zemětřesení a povodně.

Definice

The frekvence překročení je počet opakování a stochastický proces překračuje určitou kritickou hodnotu, obvykle kritickou hodnotu daleko od průměru procesu, za jednotku času.^[1] Počítání překročení kritické hodnoty lze dosáhnout buď počítáním špiček procesu, které překračují kritickou hodnotu^[1] nebo počítáním upcrossings kritické hodnoty, kde an upcrossing je událost, kdy okamžitá hodnota procesu protíná kritickou hodnotu s kladným sklonem.^[1]^[2] Tento článek předpokládá, že dvě metody počítání překročení jsou ekvivalentní a že proces má jeden upcrossing a jeden vrchol na překročení. Procesy, zejména kontinuální procesy s vysokofrekvenčními složkami na jejich výkonové spektrální hustoty, však mohou mít několik upcrossingů nebo více vrcholů v rychlém sledu, než se proces vrátí ke svému průměru.^[3]

Četnost překročení Gaussova procesu

Uvažujme o skalárním nulovém průměru Gaussův proces $y (t)$ s rozptyl $σ y 2$ a výkonová spektrální hustota $Φ y (F)$ , kde $F$ je frekvence. V průběhu času má tento Gaussův proces vrcholy, které překračují určitou kritickou hodnotu $y max > 0$ . Počítám počet upcrossings z $y max$ , frekvence překročení z $y max$ darováno^[1]^[2]

{ displaystyle N (y _ { max}) = N_ {0} e ^ {- { tfrac {1} {2}} left ({ tfrac {y _ { max}} { sigma _ {y} }} vpravo) ^ {2}}.}

$N 0$ je frekvence upcrossings 0 a souvisí s výkonovou spektrální hustotou jako

{ displaystyle N_ {0} = { sqrt { frac { int _ {0} ^ { infty} {f ^ {2} Phi _ {y} (f) , df}} { int _ {0} ^ { infty} { Phi _ {y} (f) , df}}}}.}

U gaussovského procesu je dobré, že aproximace, že počet vrcholů nad kritickou hodnotou a počet vzájemných křížení kritické hodnoty je stejný, $y max / σ y > 2$ a pro úzkopásmový šum.^[1]

Pro výkonové spektrální hustoty, které se rozpadají méně strmě než $F -3$ tak jako $F \to\infty$ , integrál v čitateli $N 0$ nekonverguje. Hoblit uvádí metody aproximace $N 0$ v takových případech s aplikacemi zaměřenými na nepřetržité poryvy.^[4]

Čas a pravděpodobnost překročení

Jak se náhodný proces vyvíjí v čase, počet špiček, které překročily kritickou hodnotu $y max$ roste a je sám sebou proces počítání. U mnoha typů distribucí podkladového náhodného procesu, včetně Gaussových procesů, je počet vrcholů nad kritickou hodnotou $y max$ konverguje k a Poissonův proces protože kritická hodnota je libovolně velká. Interarrival časy tohoto Poissonova procesu jsou exponenciálně distribuováno s rychlostí rozpadu rovnou frekvenci překročení $N (y max)$ .^[5] Tedy průměrná doba mezi vrcholy, včetně doba pobytu nebo střední čas před prvním vrcholem, je inverzní k frekvenci překročení $N -1 (y max)$ .

Pokud počet vrcholů překročí $y max$ roste jako Poissonův proces, pak pravděpodobnost, že v čase $t$ dosud nebyl překročen žádný vrchol $y max$ je $E - N (y max) t$ .^[6] Jeho doplněk,

{ displaystyle p_ {ex} (t) = 1-e ^ {- N (y _ { max}) t},}

je pravděpodobnost překročení, pravděpodobnost, že $y max$ byl časem alespoň jednou překročen $t$ .^[7]^[8] Tato pravděpodobnost může být užitečná k odhadu, zda během zadaného časového období dojde k extrémní události, jako je například životnost struktury nebo doba trvání operace.

Li $N (y max) t$ je malá, například pro frekvenci vzácné události vyskytující se v krátkém časovém období

{ displaystyle p_ {ex} (t) přibližně N (y _ { max}) t.}

Za tohoto předpokladu se frekvence překročení rovná pravděpodobnost překročení za jednotku času, $str např / t$ a pravděpodobnost překročení lze vypočítat jednoduchým vynásobením frekvence překročení zadanou dobou.

Aplikace

Pravděpodobnost velkých zemětřesení^[9]
Předpověď počasí^[10]
Hydrologie a zatížení hydraulických konstrukcí^[11]
Nárazy větru na letadle^[12]

Viz také

Poznámky

^ ^A ^b ^C ^d ^E Hoblit 1988, str. 51–54.
^ ^A ^b Rýže 1945, str. 54–55.
^ Richardson 2014, str. 2029–2030.
^ Hoblit 1988, str. 229–235.
^ Leadbetter 1983, str. 176, 238, 260.
^ Feller 1968, str. 446–448.
^ Hoblit 1988, str. 65–66.
^ Richardson 2014, str. 2027.
^ Program Nebezpečí zemětřesení (2016). „Nebezpečí zemětřesení 101 - základy“. Americký geologický průzkum. Citováno 26. dubna 2016.
^ Centrum pro předpověď klimatu (2002). „Pochopení grafů prognózy teploty a srážek„ Pravděpodobnost překročení “. Národní meteorologická služba. Citováno 26. dubna 2016.
^ Garcia, René (2015). „Část 2: Pravděpodobnost překročení“. Hydraulický konstrukční manuál. Texaské ministerstvo dopravy. Citováno 26. dubna 2016.
^ Hoblit 1988, Kap. 4.

Reference

Hoblit, Frederic M. (1988). Nárazy větru na letadlech: koncepty a aplikace. Washington, DC: Americký letecký a astronautický institut, Inc. ISBN 0930403452.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Feller, William (1968). Úvod do teorie pravděpodobnosti a jejích aplikací. Sv. 1 (3. vyd.). New York: John Wiley and Sons. ISBN 9780471257080.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Leadbetter, M. R.; Lindgren, Georg; Rootzén, Holger (1983). Extrémy a související vlastnosti náhodných sekvencí a procesů. New York: Springer – Verlag. ISBN 9781461254515.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Rice, S. O. (1945). "Matematická analýza náhodného šumu: Část III Statistické vlastnosti proudů náhodného šumu". Technický deník Bell System. 24 (1): 46–156. doi:10.1002 / (ISSN) 1538-7305c.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
Richardson, Johnhenri R .; Atkins, Ella M .; Kabamba, Pierre T .; Girard, Anouck R. (2014). „Bezpečnostní hranice pro let stochastickými poryvy“. Journal of Guidance, Control, and Dynamics. AIAA. 37 (6): 2026–2030. doi:10,2514 / 1. G000299. hdl:2027.42/140648.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

[FOOTNOTEHoblit198851–54-1] A ^b ^C ^d ^E Hoblit 1988, str. 51–54.

[FOOTNOTERice194554–55-2] A ^b Rýže 1945, str. 54–55.

[FOOTNOTERichardson20142029–2030-3] Richardson 2014, str. 2029–2030.

[FOOTNOTEHoblit1988229–235-4] Hoblit 1988, str. 229–235.

[FOOTNOTELeadbetter1983176,_238,_260-5] Leadbetter 1983, str. 176, 238, 260.

[FOOTNOTEFeller1968446–448-6] Feller 1968, str. 446–448.

[FOOTNOTEHoblit198865–66-7] Hoblit 1988, str. 65–66.

[FOOTNOTERichardson20142027-8] Richardson 2014, str. 2027.

[9] Program Nebezpečí zemětřesení (2016). „Nebezpečí zemětřesení 101 - základy“. Americký geologický průzkum. Citováno 26. dubna 2016.

[10] Centrum pro předpověď klimatu (2002). „Pochopení grafů prognózy teploty a srážek„ Pravděpodobnost překročení “. Národní meteorologická služba. Citováno 26. dubna 2016.

[11] Garcia, René (2015). „Část 2: Pravděpodobnost překročení“. Hydraulický konstrukční manuál. Texaské ministerstvo dopravy. Citováno 26. dubna 2016.

[FOOTNOTEHoblit1988Chap._4-12] Hoblit 1988, Kap. 4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]