Doba pobytu (statistika) - Residence time (statistics)

Ve statistikách doba pobytu je průměrná doba, kterou trvá a náhodný proces dosáhnout určité mezní hodnoty, obvykle hranice daleko od průměru.

Definice

Předpokládat y(t) je skutečný, skalární stochastický proces s počáteční hodnotou y(t₀) = y₀, znamenat y_prům a dvě kritické hodnoty {y_prům − y_min, y_prům + y_max}, kde y_min > 0 a y_max > 0. Definujte první doba průchodu z y(t) zevnitř interval (−y_min, y_max) tak jako

${ displaystyle tau (y_ {0}) = inf {t geq t_ {0}: y (t) in {y _ { operatorname {avg}} -y _ { min}, y_ { operatorname {avg}} + y _ { max} } },}$

kde "inf" je infimum. Toto je nejmenší čas po počátečním čase t₀ že y(t) se rovná jedné z kritických hodnot tvořících hranici intervalu za předpokladu y₀ je v intervalu.

Protože y(t) postupuje náhodně od své počáteční hodnoty k hranici, τ (y₀) je sám o sobě náhodná proměnná. Průměr τ (y₀) je doba pobytu,^[1][2]

${ displaystyle { bar { tau}} (y_ {0}) = E [ tau (y_ {0}) uprostřed y_ {0}].}$

Pro Gaussův proces a hranice daleko od průměru se doba pobytu rovná inverzní hodnotě k frekvence překročení menší kritické hodnoty,^[2]

${ displaystyle { bar { tau}} = N ^ {- 1} ( min (y _ { min}, y _ { max}))}}$

kde frekvence překročení N je

${ displaystyle N (y _ { max}) = N_ {0} e ^ {- y _ { max} ^ {2} / 2 sigma _ {y} ^ {2}},}$

(1)

σ_y² je rozptyl Gaussova rozdělení,

${ displaystyle N_ {0} = { sqrt { frac { int _ {0} ^ { infty} {f ^ {2} Phi _ {y} (f) , df}} { int _ {0} ^ { infty} { Phi _ {y} (f) , df}}}},}$

a Φ_y(F) je výkonová spektrální hustota Gaussova rozdělení na frekvenci F.

Zobecnění na více dimenzí

Předpokládejme, že místo skalárního y(t) má rozměr pnebo y(t) ∈ ℝ^p. Definujte doménu Ψ ⊂ ℝ^p který obsahuje y_prům a má hladkou hranici ∂Ψ. V tomto případě definujte první čas průchodu y(t) z domény Ψ tak jako

${ displaystyle tau (y_ {0}) = inf {t geq t_ {0}: y (t) v částečné Psi střední y_ {0} v Psi }.}$

V tomto případě je toto infimum nejmenší dobou y(t) je na hranici Ψ spíše než se rovnat jedné ze dvou diskrétních hodnot, za předpokladu y₀ je uvnitř Ψ. Průměr této doby je doba pobytu,^[3][4]

${ displaystyle { bar { tau}} (y_ {0}) = operatorname {E} [ tau (y_ {0}) uprostřed y_ {0}].}$

Logaritmická doba pobytu

Logaritmická doba pobytu je a bezrozměrný změna doby pobytu. Je úměrná přirozené logaritmické hodnotě normalizované doby pobytu. Zaznamenáním exponenciálu v rovnici (1), logaritmická doba pobytu Gaussova procesu je definována jako^[5][6]

${ displaystyle { hat { mu}} = ln left (N_ {0} { bar { tau}} right) = { frac { min (y _ { min}, y _ { max}) ^ {2}} {2 sigma _ {y} ^ {2}}}.}$

To úzce souvisí s dalším bezrozměrným deskriptorem tohoto systému, počtem směrodatných odchylek mezi hranicí a průměrem, min (y_min, y_max)/σ_y.

Obecně platí, že normalizační faktor N₀ může být obtížné nebo nemožné vypočítat, takže bezrozměrné veličiny mohou být v aplikacích užitečnější.

Viz také

• Kumulativní frekvenční analýza
• Teorie extrémní hodnoty
• Model prvního zásahu
• Četnost překročení
• Střední doba mezi poruchami

Poznámky

Reference

• Meerkov, S. M .; Runolfsson, T. (1986). Kontrola míření. Sborník příspěvků z 25. konference o rozhodování a kontrole. Athény: IEEE. 494–498.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Meerkov, S. M .; Runolfsson, T. (1987). Řízení zaměřeného výstupu. Sborník z 26. konference o rozhodování a kontrole. Los Angeles: IEEE. 1734–1739.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Richardson, Johnhenri R .; Atkins, Ella M .; Kabamba, Pierre T .; Girard, Anouck R. (2014). "Bezpečnostní hranice pro let stochastickými poryvy". Journal of Guidance, Control, and Dynamics. AIAA. 37 (6): 2026–2030. doi:10,2514 / 1. G000299. hdl:2027.42/140648.CS1 maint: ref = harv (odkaz)