Komplex volného faktoru - Free factor complex - Wikipedia

V matematice je komplex volných faktorů (někdy také nazývaný komplex volných faktorů) je volná skupina protějšek pojmu křivkový komplex komplex konečných typů. Komplex volných faktorů byl původně představen v článku Hatchera a Vogtmanna z roku 1998.^[1] Stejně jako komplex křivky je známo, že je komplex volných faktorů Gromov-hyperbolický. Komplex volných faktorů hraje významnou roli při studiu geometrie ve velkém měřítku ${ displaystyle operatorname {Out} (F_ {n})}$ .

Formální definice

Pro skupinu zdarma ${ displaystyle G}$ A správný volný faktor z ${ displaystyle G}$ je podskupina ${ displaystyle A leq G}$ takhle ${ displaystyle A neq {1 }, A neq G}$ a že existuje podskupina ${ displaystyle B leq G}$ takhle ${ displaystyle G = A ast B}$ .

Nechat ${ displaystyle n geq 3}$ být celé číslo a nechat ${ displaystyle F_ {n}}$ být volná skupina hodnosti ${ displaystyle n}$ . The komplex volných faktorů ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {n}}$ pro ${ displaystyle F_ {n}}$ je zjednodušený komplex kde:

(1) 0-buňky jsou třídy konjugace v ${ displaystyle F_ {n}}$ řádných volných faktorů ${ displaystyle F_ {n}}$ , to je

{ displaystyle { mathcal {F}} _ {n} ^ {(0)} = {[A] | A leq F_ {n} { text {je správný volný faktor}} F_ {n} }.}

(2) Pro ${ displaystyle k geq 1}$ , a ${ displaystyle k}$ -simplex in ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {n}}$ je sbírka ${ displaystyle k + 1}$ odlišné 0 buňky ${ displaystyle {v_ {0}, v_ {1}, tečky, v_ {k} } podmnožina { mathcal {F}} _ {n} ^ {(0)}}$ takové, že existují volné faktory ${ displaystyle A_ {0}, A_ {1}, tečky, A_ {k}}$ z ${ displaystyle F_ {n}}$ takhle ${ displaystyle v_ {i} = A_ {i}}$ pro ${ displaystyle i = 0,1, tečky, k}$ , a to ${ displaystyle A_ {0} leq A_ {1} leq dots leq A_ {k}}$ . [Předpoklad, že tyto 0-buňky jsou odlišné, to naznačuje ${ displaystyle A_ {i} neq A_ {i + 1}}$ pro ${ displaystyle i = 0,1, tečky, k-1}$ ]. Zejména 1-buňka je kolekce ${ displaystyle {[A], [B] }}$ dvou odlišných 0 buněk, kde ${ displaystyle A, B leq F_ {n}}$ jsou správné volné faktory ${ displaystyle F_ {n}}$ takhle ${ displaystyle A lneq B}$ .

Pro ${ displaystyle n = 2}$ výše uvedená definice vytváří komplex s ne ${ displaystyle k}$ -články dimenze ${ displaystyle k geq 1}$ . Proto, ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {2}}$ je definována mírně odlišně. Jeden stále definuje ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {2} ^ {(0)}}$ být souborem tříd konjugace správných volných faktorů ${ displaystyle F_ {2}}$ ; (takové volné faktory jsou nutně nekonečné cyklické). Dva odlišné 0-jednoduchosti ${ displaystyle {v_ {0}, v_ {1} } podmnožina { mathcal {F}} _ {2} ^ {(0)}}$ určit 1-simplex v ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {2}}$ jen tehdy, pokud existuje bezplatná základna ${ displaystyle a, b}$ z ${ displaystyle F_ {2}}$ takhle ${ displaystyle v_ {0} = [ langle a rangle], v_ {1} = [ langle b rangle]}$ .Komplex ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {2}}$ nemá žádný ${ displaystyle k}$ - buňky dimenze ${ displaystyle k geq 2}$ .

Pro ${ displaystyle n geq 2}$ 1-kostra ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {n} ^ {(1)}}$ se nazývá graf volného faktoru pro ${ displaystyle F_ {n}}$ .

Hlavní vlastnosti

Pro každé celé číslo ${ displaystyle n geq 3}$ komplex ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {n}}$ je propojený, místně nekonečný a má rozměr ${ displaystyle n-2}$ . Komplex ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {2}}$ je propojený, místně nekonečný a má dimenzi 1.
Pro ${ displaystyle n = 2}$ , graf ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {2}}$ je isomorfní s Farey graf.
Existuje přírodní akce z ${ displaystyle operatorname {Out} (F_ {n})}$ na ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {n}}$ zjednodušenými automatickými způsoby. Pro k-jednodušší ${ displaystyle Delta = {[A_ {0}], tečky, [A_ {k}] }}$ a ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ jeden má ${ displaystyle varphi Delta: = {[ varphi (A_ {0})], tečky, [ varphi (A_ {k})] }}$ .
Pro ${ displaystyle n geq 3}$ komplex ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {n}}$ má homotopický typ klínu sféry dimenze ${ displaystyle n-2}$ .^[1]
Pro každé celé číslo ${ displaystyle n geq 2}$ , graf volného faktoru ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {n} ^ {(1)}}$ , který je vybaven zjednodušenou metrikou (kde každá hrana má délku 1), je připojený graf nekonečného průměru.^[2]^[3]
Pro každé celé číslo ${ displaystyle n geq 2}$ , graf volného faktoru ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {n} ^ {(1)}}$ , vybavený zjednodušenou metrikou, je Gromov-hyperbolický. Tento výsledek původně stanovili Bestvina a Feighn;^[4] viz také ^[5]^[6] pro další alternativní důkazy.
Prvek ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ působí jako loxodromická izometrie ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {n} ^ {(1)}}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle varphi}$ je plně neredukovatelné.^[4]
Existuje hrubě Lipschitz hrubě ${ displaystyle operatorname {Out} (F_ {n})}$ - ekvivariantní hrubě surjektivní mapa ${ displaystyle { mathcal {FS}} _ {n} až { mathcal {F}} _ {n} ^ {(1)}}$ , kde ${ displaystyle { mathcal {FS}} _ {n}}$ je bezplatný štípací komplex. Tato mapa však není a kvazi-izometrie. Je také známo, že jde o bezplatný štěpící komplex Gromov-hyperbolický, jak prokázali Handel a Mosher. ^[7]
Podobně existuje přirozeně hrubě Lipschitz hrubě ${ displaystyle operatorname {Out} (F_ {n})}$ -ekvivariant hrubě surjektivní mapa ${ displaystyle CV_ {n} až { mathcal {F}} _ {n} ^ {(1)}}$ , kde ${ displaystyle CV_ {n}}$ je (objemově normalizované) Culler – Vogtmann Vesmír, vybavené symetrickou Lipschitzovou metrikou. Mapa ${ displaystyle pi}$ vezme geodetickou cestu dovnitř ${ displaystyle CV_ {n}}$ na cestu dovnitř ${ displaystyle { mathcal {F}} F_ {n}}$ obsažené v jednotném Hausdorffově sousedství geodetické se stejnými koncovými body.^[4]
Hyperbolická hranice ${ displaystyle částečné { mathcal {F}} _ {n} ^ {(1)}}$ grafu volného faktoru lze identifikovat sadou tříd ekvivalence „arational“ ${ displaystyle F_ {n}}$ -stromy na hranici ${ displaystyle částečné CV_ {n}}$ vesmíru ${ displaystyle CV_ {n}}$ .^[8]
Komplex volných faktorů je klíčovým nástrojem při studiu chování náhodné procházky na ${ displaystyle operatorname {Out} (F_ {n})}$ a při identifikaci Poissonova hranice z ${ displaystyle operatorname {Out} (F_ {n})}$ .^[9]

Ostatní modely

Existuje několik dalších modelů, které vytvářejí grafy hrubě ${ displaystyle operatorname {Out} (F_ {n})}$ - ekvivariantně kvazi-izometrický na ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {n} ^ {(1)}}$ . Mezi tyto modely patří:

Graf, jehož množina vrcholů je ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {n} ^ {0}}$ a kde dva odlišné vrcholy ${ displaystyle v_ {0}, v_ {1}}$ sousedí tehdy a jen tehdy, pokud existuje volný rozklad produktu ${ displaystyle F_ {n} = A ast B ast C}$ takhle ${ displaystyle v_ {0} = [A]}$ a ${ displaystyle v_ {1} = [B]}$ .
The graf volných bází jehož vrcholová množina je množina ${ displaystyle F_ {n}}$ -konjugační třídy volných základen ${ displaystyle F_ {n}}$ , a kde dva vrcholy ${ displaystyle v_ {0}, v_ {1}}$ sousedí tehdy a jen tehdy, pokud existují volné základny ${ displaystyle { mathcal {A}}, { mathcal {B}}}$ z ${ displaystyle F_ {n}}$ takhle ${ displaystyle v_ {0} = [{ mathcal {A}}], v_ {1} = [{ mathcal {B}}]}$ a ${ displaystyle { mathcal {A}} cap { mathcal {B}} neq varnothing}$ .^[5]

Reference

^ ^A ^b Allen Hatcher a Karen Vogtmann, Komplex volných faktorů volné skupiny. Quarterly Journal of Mathematics, Oxford Ser. (2) 49 (1998), č. 196, str. 459–468
^ Ilya Kapovich a Martin Lustig, Číslo geometrického průniku a analogy komplexu křivek pro volné skupiny. Geometrie a topologie 13 (2009), č. 3, s. 1805–1833
^ Jason Behrstock, Mladen Bestvina a Matt Clay, Růst počtu křižovatek pro volné skupinové automorfismy. Časopis topologie 3 (2010), č. 2, s. 280–310
^ ^A ^b ^C Mladen Bestvina a Mark Feighn, Hyperbolicita komplexu volných faktorů. Pokroky v matematice 256 (2014), s. 104–155
^ ^A ^b Ilya Kapovich a Kasra Rafi, O hyperboličnosti volného štěpení a komplexů volných faktorů. Skupiny, geometrie a dynamika 8 (2014), č. 2, s. 391–414
^ Arnaud Hilion a Camille Horbez, Hyperbolicita sférického komplexu chirurgickými cestami, Journal für die reine und angewandte Mathematik 730 (2017), 135–161
^ Michael Handel a Lee Mosher, Komplex volného rozdělení volné skupiny, I: hyperbolicita. Geometrie a topologie, 17 (2013), č. 3, 1581-1672. PAN 3073931 doi:10.2140 / gt.2013.17.1581
^ Mladen Bestvina a Patrick Reynolds, Hranice komplexu volných faktorů. Duke Mathematical Journal 164 (2015), č. 11, s. 2213–2251
^ Camille Horbez, Poissonova hranice ${ displaystyle operatorname {Out} (F_ {N})}$ . Duke Mathematical Journal 165 (2016), č. 2, s. 341–369

Viz také

Mapování skupiny tříd

[HV-1] A ^b Allen Hatcher a Karen Vogtmann, Komplex volných faktorů volné skupiny. Quarterly Journal of Mathematics, Oxford Ser. (2) 49 (1998), č. 196, str. 459–468

[2] Ilya Kapovich a Martin Lustig, Číslo geometrického průniku a analogy komplexu křivek pro volné skupiny. Geometrie a topologie 13 (2009), č. 3, s. 1805–1833

[3] Jason Behrstock, Mladen Bestvina a Matt Clay, Růst počtu křižovatek pro volné skupinové automorfismy. Časopis topologie 3 (2010), č. 2, s. 280–310

[BF14-4] A ^b ^C Mladen Bestvina a Mark Feighn, Hyperbolicita komplexu volných faktorů. Pokroky v matematice 256 (2014), s. 104–155

[KR-5] A ^b Ilya Kapovich a Kasra Rafi, O hyperboličnosti volného štěpení a komplexů volných faktorů. Skupiny, geometrie a dynamika 8 (2014), č. 2, s. 391–414

[6] Arnaud Hilion a Camille Horbez, Hyperbolicita sférického komplexu chirurgickými cestami, Journal für die reine und angewandte Mathematik 730 (2017), 135–161

[7] Michael Handel a Lee Mosher, Komplex volného rozdělení volné skupiny, I: hyperbolicita. Geometrie a topologie, 17 (2013), č. 3, 1581-1672. PAN 3073931 doi:10.2140 / gt.2013.17.1581

[8] Mladen Bestvina a Patrick Reynolds, Hranice komplexu volných faktorů. Duke Mathematical Journal 164 (2015), č. 11, s. 2213–2251

[9] Camille Horbez, Poissonova hranice ${ displaystyle operatorname {Out} (F_ {N})}$ . Duke Mathematical Journal 165 (2016), č. 2, s. 341–369

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]