Plně neredukovatelný automorfismus - Fully irreducible automorphism

V matematickém předmětu teorie geometrických skupin, a plně neredukovatelný automorfismus z volná skupina F_n je prvek Ven(F_n) který nemá žádné periodické třídy konjugace správných volných faktorů v F_n (kde n > 1). Plně neredukovatelné automorfismy se také označují jako „neredukovatelné s neredukovatelnými schopnostmi“ nebo „iwip“ automorfismy. Pojem plně neredukovatelný poskytuje klíč Out (F_n) protějšek pojmu a pseudo-anosovský prvek z skupina tříd mapování povrchu konečného typu. Plně neredukovatelné látky hrají důležitou roli při studiu strukturních vlastností jednotlivých prvků a podskupin Out (F_n).

Formální definice

Nechat ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ kde ${ displaystyle n geq 2}$ . Pak ${ displaystyle varphi}$ je nazýván plně neredukovatelné^[1] pokud neexistuje celé číslo ${ displaystyle p neq 0}$ a správný volný faktor ${ displaystyle A}$ z ${ displaystyle F_ {n}}$ takhle ${ displaystyle varphi ^ {p} ([A]) = [A]}$ , kde ${ displaystyle [A]}$ je třída konjugace ${ displaystyle A}$ v ${ displaystyle F_ {n}}$ . Tady to říkáš ${ displaystyle A}$ je správný volný faktor ${ displaystyle F_ {n}}$ znamená, že ${ displaystyle A neq 1}$ a existuje a podskupina ${ displaystyle B leq F_ {n}, B neq 1}$ takhle ${ displaystyle F_ {n} = A ast B}$ .

Taky, ${ displaystyle Phi in operatorname {Aut} (F_ {n})}$ je nazýván plně neredukovatelné pokud vnější třída automorfismu ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ z ${ displaystyle Phi}$ je plně neredukovatelný.

Dva plně neredukovatelné ${ displaystyle varphi, psi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ jsou nazývány nezávislý -li ${ displaystyle langle varphi rangle cap langle psi rangle = {1 }}$ .

Vztah k neredukovatelným automorfismům

Představa o úplném neredukovatelnosti vyrostla ze starší představy o „neredukovatelném“ vnějším automorfismu ${ displaystyle F_ {n}}$ původně představen v.^[2] Prvek ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ , kde ${ displaystyle n geq 2}$ , je nazýván neredukovatelné pokud neexistuje volný rozklad produktu

{ displaystyle F_ {n} = A_ {1} ast tečky ast A_ {k} ast C}

s ${ displaystyle k geq 1}$ , a s ${ displaystyle A_ {i} neq 1, i = 1, tečky k}$ být správnými volnými faktory ${ displaystyle F_ {n}}$ , takový, že ${ displaystyle varphi}$ permutuje třídy konjugace ${ displaystyle [A_ {1}], tečky, [A_ {k}]}$ .

Pak ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ je plně neredukovatelný ve smyslu výše uvedené definice, pokud a pouze pokud pro každého ${ displaystyle p neq 0}$ ${ displaystyle varphi ^ {p}}$ je neredukovatelný.

Je známo, že pro všechny atoroidní ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ (tj. bez pravidelných tříd konjugace netriviálních prvků z ${ displaystyle F_ {n}}$ ), být neredukovatelný se rovná tomu být plně neredukovatelný.^[3] Pro neatoroidní automorfismy Bestvina a Handel^[2] vytvořit příklad neredukovatelného, ale ne zcela neredukovatelného prvku ${ displaystyle operatorname {Out} (F_ {n})}$ vyvolané vhodně zvoleným pseudoanosovským homeomorfismem povrchu s více než jednou hraniční složkou.

Vlastnosti

Li ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ a ${ displaystyle p neq 0}$ pak ${ displaystyle varphi}$ je plně neredukovatelný právě tehdy ${ displaystyle varphi ^ {p}}$ je plně neredukovatelný.
Každý plně neredukovatelný ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ může být reprezentován rozšiřující se neredukovatelnou mapa železniční trati.^[2]
Každý plně neredukovatelný ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ má exponenciální růst v ${ displaystyle F_ {n}}$ dané a napínací faktor ${ displaystyle lambda = lambda ( varphi)> 1}$ . Tento faktor roztažení má tu vlastnost, že pro každý bezplatný základ ${ displaystyle X}$ z ${ displaystyle F_ {n}}$ (a obecněji pro každý bod Culler – Vogtmann Vesmír ${ displaystyle X v cv_ {n}}$ ) a pro všechny ${ displaystyle 1 neq g in F_ {n}}$ jeden má:

{ displaystyle lim _ {k to infty} { sqrt [{k}] { | varphi ^ {k} (g) | _ {X}}} = lambda.}

Navíc, ${ displaystyle lambda = lambda ( varphi)}$ se rovná Perron – Frobenius vlastní hodnota přechodové matice jakékoli vlakové koleje představující ${ displaystyle varphi}$ .^[2]^[4]

Na rozdíl od napínacích faktorů pseudoanosovských povrchových homeomorfismů se může stát, že za plně neredukovatelné ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ jeden má ${ displaystyle lambda ( varphi) neq lambda ( varphi ^ {- 1})}$ ^[5] a toto chování je považováno za obecné. Nicméně, Handel a Mosher^[6] dokázal, že pro každého ${ displaystyle n geq 2}$ existuje konečná konstanta ${ displaystyle 0$ takové, že pro každého plně neredukovatelné ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$

{ displaystyle { frac { log lambda ( varphi)} { log lambda ( varphi ^ {- 1})}} leq C_ {n}.}

Plně neredukovatelný ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ je neatoroidní, to znamená, že má periodickou třídu konjugace netriviálního prvku ${ displaystyle F_ {n}}$ , právě když ${ displaystyle varphi}$ je indukován pseudo-anosovským homeomorfismem kompaktního spojeného povrchu s jednou hraniční složkou a se základní skupinou izomorfní k ${ displaystyle F_ {n}}$ .^[2]
Plně neredukovatelný prvek ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ má přesně dva pevné body v Thurstonově zhutnění ${ displaystyle { overline {CV}} _ {n}}$ projektovaného Vesmíru ${ displaystyle CV_ {n}}$ , a ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ jedná ${ displaystyle { overline {CV}} _ {n}}$ s dynamikou „sever-jih“.^[7]
Pro plně neredukovatelný prvek ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ , jeho pevné body v ${ displaystyle { overline {CV}} _ {n}}$ jsou projektivizovány ${ displaystyle mathbb {R}}$ -stromy ${ displaystyle [T _ {+} ( varphi)], [T _ {-} ( varphi)]}$ , kde ${ displaystyle T _ {+} ( varphi), T _ {-} ( varphi) in { overline {cv}} _ {n}}$ , uspokojující vlastnost, že ${ displaystyle T _ {+} ( varphi) varphi = lambda ( varphi) T _ {+} ( varphi)}$ a ${ displaystyle T _ {-} ( varphi) varphi ^ {- 1} = lambda ( varphi ^ {- 1}) T _ {-} ( varphi)}$ .^[8]
Plně neredukovatelný prvek ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ působí na prostor projektovaných geodetických proudů ${ displaystyle mathbb {P} Curr (F_ {n})}$ s dynamikou „sever-jih“ nebo „zobecněný sever-jih“, podle toho, zda ${ displaystyle varphi}$ je atoroidní nebo neatoroidní.^[9]^[10]
Li ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ je plně neredukovatelná, pak kompenzátor ${ displaystyle Comm ( langle varphi rangle) leq operatorname {Out} (F_ {n})}$ je prakticky cyklický.^[11] Zejména centralizátor a normalizátor z ${ displaystyle langle varphi rangle}$ v ${ displaystyle operatorname {Out} (F_ {n})}$ jsou prakticky cyklické.
Li ${ displaystyle varphi, psi v operatorname {Out} (F_ {n})}$ jsou tedy nezávislé, zcela neredukovatelné ${ displaystyle [T _ { pm} ( varphi)], [T _ { pm} ( psi)] v { overline {CV}} _ {n}}$ jsou čtyři odlišné body a existují ${ displaystyle M geq 1}$ tak, že pro každého ${ displaystyle p, q geq M}$ podskupina ${ displaystyle langle varphi ^ {p}, psi ^ {q} rangle leq operatorname {Out} (F_ {n})}$ je izomorfní s ${ displaystyle F_ {2}}$ .^[8]
Li ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ je plně neredukovatelný a ${ displaystyle varphi v H leq operatorname {Out} (F_ {n})}$ , pak buď ${ displaystyle H}$ je prakticky cyklický nebo ${ displaystyle H}$ obsahuje podskupinu isomorfní s ${ displaystyle F_ {2}}$ .^[8] [Toto prohlášení poskytuje silnou formu Prsa alternativa pro podskupiny ${ displaystyle operatorname {Out} (F_ {n})}$ obsahující plně neredukovatelné.]
Li ${ displaystyle H leq operatorname {Out} (F_ {n})}$ je libovolná podskupina, pak buď ${ displaystyle H}$ obsahuje plně neredukovatelný prvek nebo existuje podskupina konečných indexů ${ displaystyle H_ {0} leq H}$ a správný volný faktor ${ displaystyle A}$ z ${ displaystyle F_ {n}}$ takhle ${ displaystyle H_ {0} [A] = [A]}$ .^[12]
Prvek ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ působí jako loxodromická izometrie na komplex volných faktorů ${ displaystyle { mathcal {FF}} _ {n}}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle varphi}$ je plně neredukovatelný.^[13]
Je známo, že „náhodné“ prvky (ve smyslu náhodných procházek) prvků ${ displaystyle operatorname {Out} (F_ {n})}$ jsou plně neredukovatelné. Přesněji řečeno, pokud ${ displaystyle mu}$ je opatření na ${ displaystyle operatorname {Out} (F_ {n})}$ jehož podpora generuje v systému poloskupinu ${ displaystyle operatorname {Out} (F_ {n})}$ obsahující asi dvě nezávislé plně neredukovatelné. Pak na náhodnou procházku délky ${ displaystyle k}$ na ${ displaystyle operatorname {Out} (F_ {n})}$ určeno ${ displaystyle mu}$ , pravděpodobnost, že získáme plně neredukovatelný prvek, konverguje k 1 jako ${ displaystyle k to infty}$ .^[14]
Plně neredukovatelný prvek ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ připouští (obecně nejedinečné) periodikum osa v normalizovaném vnějším prostoru prvního svazku ${ displaystyle X_ {n}}$ , která je geodetická s ohledem na asymetrickou Lipschitzovu metriku ${ displaystyle X_ {n}}$ a má silné vlastnosti typu „kontrakce“.^[15] Související objekt definovaný pro atoroidní plně neredukovatelný ${ displaystyle varphi in operatorname {Out} (F_ {n})}$ , je svazek os ${ displaystyle A _ { varphi} subseteq X_ {n}}$ , což je jisté ${ displaystyle varphi}$ -invariantní uzavřená podmnožina správná homotopie ekvivalentní řádku.^[16]

Reference

^ Thierry Coulbois a Arnaud Hilion, Botanika neredukovatelných automorfismů volných skupin, Pacific Journal of Mathematics 256 (2012), 291–307
^ ^A ^b ^C ^d ^E Mladen Bestvina a Michael Handel, Trénujte tratě a automorfismy volných skupin. Annals of Mathematics (2), sv. 135 (1992), č. 1. 1, s. 1–51
^ Ilya Kapovich, Algoritmická detekovatelnost automorfismů iwip. Bulletin of London Mathematical Society 46 (2014), č. 2, 279–290.
^ Oleg Bogopolski. Úvod do teorie grup. Učebnice EMS z matematiky. Evropská matematická společnost, Zürich, 2008. ISBN 978-3-03719-041-8
^ Michael Handel a Lee Mosher, Parageometrické vnější automorfismy volných skupin. Transakce Americké matematické společnosti 359 (2007), č. 7, 3153–3183
^ Michael Handel, Lee Mosher, Expanzní faktory vnějšího automorfismu a jeho inverze. Transakce Americké matematické společnosti 359 (2007), č. 7, 3185–3208
^ Gilbert Levitt a Martin Lustig, Automorfismy volných skupin mají asymptoticky periodickou dynamiku.^{[trvalý mrtvý odkaz ]} Crelle's Journal, sv. 619 (2008), s. 1–36
^ ^A ^b ^C Mladen Bestvina, Mark Feighn a Michael Handel, Laminace, stromy a neredukovatelné automorfismy volných skupin. Geometrická a funkční analýza (GAFA) 7 (1997), 215–244.
^ Caglar Uyanik, Dynamika hyperbolických iwipů. Konformní geometrie a dynamika 18 (2014), 192–216.
^ Caglar Uyanik, Zobecněná dynamika sever-jih v prostoru geodetických proudů. Geometriae Dedicata 177 (2015), 129–148.
^ Ilya Kapovich a Martin Lustig, Stabilizátory ℝ-stromy s volnými izometrickými akcemi F_N. Journal of Group Theory 14 (2011), č. 5, 673–694.
^ Camille Horbez, Krátký důkaz alternativy Händela a Moshera pro podskupiny z Ven(F_N). Skupiny, geometrie a dynamika 10 (2016), č. 2, 709–721.
^ Mladen Bestvina a Mark Feighn, Hyperbolicita komplexu volných faktorů. Pokroky v matematice 256 (2014), 104–155.
^ Joseph Maher a Giulio Tiozzo, Náhodné procházky po slabě hyperbolických skupinách, Journal für die reine und angewandte Mathematik „Před tiskem (leden 2016); srov. Věta 1.4
^ Yael Algom-Kfir,Silně se stahující geodetika ve vesmíru. Geometrie a topologie 15 (2011), č. 4, 2181–2233.
^ Michael Handel a Lee Mosher,Osy ve vesmíru. Monografie Americké matematické společnosti 213 (2011), č. 1004; ISBN 978-0-8218-6927-7.

Další čtení

Thierry Coulbois a Arnaud Hilion, Botanika neredukovatelných automorfismů volných skupin, Pacific Journal of Mathematics 256 (2012), 291–307.
Karen Vogtmann, Na geometrii vesmíru. Bulletin of the American Mathematical Society 52 (2015), č. 1, 27–46.

[1] Thierry Coulbois a Arnaud Hilion, Botanika neredukovatelných automorfismů volných skupin, Pacific Journal of Mathematics 256 (2012), 291–307

[BH92-2] A ^b ^C ^d ^E Mladen Bestvina a Michael Handel, Trénujte tratě a automorfismy volných skupin. Annals of Mathematics (2), sv. 135 (1992), č. 1. 1, s. 1–51

[3] Ilya Kapovich, Algoritmická detekovatelnost automorfismů iwip. Bulletin of London Mathematical Society 46 (2014), č. 2, 279–290.

[4] Oleg Bogopolski. Úvod do teorie grup. Učebnice EMS z matematiky. Evropská matematická společnost, Zürich, 2008. ISBN 978-3-03719-041-8

[5] Michael Handel a Lee Mosher, Parageometrické vnější automorfismy volných skupin. Transakce Americké matematické společnosti 359 (2007), č. 7, 3153–3183

[6] Michael Handel, Lee Mosher, Expanzní faktory vnějšího automorfismu a jeho inverze. Transakce Americké matematické společnosti 359 (2007), č. 7, 3185–3208

[7] Gilbert Levitt a Martin Lustig, Automorfismy volných skupin mají asymptoticky periodickou dynamiku.^{[trvalý mrtvý odkaz ]} Crelle's Journal, sv. 619 (2008), s. 1–36

[BFH97-8] A ^b ^C Mladen Bestvina, Mark Feighn a Michael Handel, Laminace, stromy a neredukovatelné automorfismy volných skupin. Geometrická a funkční analýza (GAFA) 7 (1997), 215–244.

[9] Caglar Uyanik, Dynamika hyperbolických iwipů. Konformní geometrie a dynamika 18 (2014), 192–216.

[10] Caglar Uyanik, Zobecněná dynamika sever-jih v prostoru geodetických proudů. Geometriae Dedicata 177 (2015), 129–148.

[11] Ilya Kapovich a Martin Lustig, Stabilizátory ℝ-stromy s volnými izometrickými akcemi F_N. Journal of Group Theory 14 (2011), č. 5, 673–694.

[12] Camille Horbez, Krátký důkaz alternativy Händela a Moshera pro podskupiny z Ven(F_N). Skupiny, geometrie a dynamika 10 (2016), č. 2, 709–721.

[13] Mladen Bestvina a Mark Feighn, Hyperbolicita komplexu volných faktorů. Pokroky v matematice 256 (2014), 104–155.

[14] Joseph Maher a Giulio Tiozzo, Náhodné procházky po slabě hyperbolických skupinách, Journal für die reine und angewandte Mathematik „Před tiskem (leden 2016); srov. Věta 1.4

[15] Yael Algom-Kfir,Silně se stahující geodetika ve vesmíru. Geometrie a topologie 15 (2011), č. 4, 2181–2233.

[16] Michael Handel a Lee Mosher,Osy ve vesmíru. Monografie Americké matematické společnosti 213 (2011), č. 1004; ISBN 978-0-8218-6927-7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]