The Frank – Tammův vzorec získá částku Čerenkovovo záření emitované na dané frekvenci, když se nabitá částice pohybuje médiem superluminální rychlostí. Je pojmenován pro ruské fyziky Ilya Frank a Igor Tamm kteří v roce 1937 vyvinuli teorii Čerenkovova efektu, za což jim byla udělena a Nobelova cena za fyziku v roce 1958.
Když se nabitá částice pohybuje rychleji než rychlost fáze světla v médiu mohou elektrony interagující s částicemi vyzařovat koherentně fotony při zachování energie a hybnost. Na tento proces lze pohlížet jako na úpadek. Vidět Čerenkovovo záření a neozářený stav pro vysvětlení tohoto účinku.
Rovnice
The energie
emitované na jednotku délky procházející částice na jednotku frekvence
je:
![{displaystyle {frac {d ^ {2} E} {dx, domega}} = {frac {q ^ {2}} {4pi}} mu (omega) omega {left (1- {frac {c ^ {2} } {v ^ {2} n ^ {2} (omega)}} hned)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fad75897691866f3969bd76e3123cddf5912131)
pokud
. Tady
a
jsou závislé na frekvenci propustnost a index lomu média
je elektrický náboj částice,
je rychlost částice a
je rychlost světla ve vakuu.
Čerenkovovo záření nemá charakteristické spektrální vrcholy, jak je typické pro fluorescence nebo emisní spektra. Relativní intenzita jedné frekvence je přibližně úměrná frekvenci. To znamená, že vyšší frekvence (kratší vlnové délky) jsou v čerenkovském záření intenzivnější. Z tohoto důvodu je viditelné Čerenkovovo záření pozorováno jako zářivě modré. Ve skutečnosti je většina Čerenkovova záření v ultrafialovém spektru; citlivost lidského oka vrcholí zeleně a ve fialové části spektra je velmi nízká.
Celkové množství energie vyzařované na jednotku délky je:
![{frac {dE} {dx}} = {frac {q ^ {2}} {4pi}} int _ {{v> {frac {c} {n (omega)}}}} mu (omega) omega {left (1- {frac {c ^ {2}} {v ^ {2} n ^ {2} (omega)}} ight)} domega](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55285c293f246ab4ce2f4db3567c91253f089405)
Tento integrál se děje přes frekvence
pro kterou je rychlost částice
je větší než rychlost světla média
. Integrál je konvergentní (konečný), protože při vysokých frekvencích se index lomu stává menším než jednota a pro extrémně vysoké frekvence se stává jednotou.[1][2]
Odvození vzorce Frank – Tamm
Uvažujme nabitou částici pohybující se relativisticky podél
- osa v médiu s indexem lomu
[3] s konstantní rychlostí
. Začít s Maxwellovy rovnice (v Gaussovy jednotky ) ve vlnových formách (také známých jako Stav měřidla Lorenz ) a vezměte Fourierovu transformaci:
![{displaystyle {igg (} k ^ {2} - {frac {omega ^ {2}} {c ^ {2}}} epsilon (omega) {igg)} Phi ({vec {k}}, omega) = { frac {4pi} {epsilon (omega)}} ho ({vec {k}}, omega)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc240436bca1a66045b433681325533c3bebd7d6)
![{displaystyle {igg (} k ^ {2} - {frac {omega ^ {2}} {c ^ {2}}} epsilon (omega) {igg)} {vec {A}} ({vec {k}} , omega) = {frac {4pi} {c}} {vec {J}} ({vec {k}}, omega)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afd5d7afabb5b071be2ca8927c51f172502cc6ba)
Za poplatek
(kde
je základní náboj ) pohybující se rychlostí
, hustotu a hustotu náboje lze vyjádřit jako
a
, přičemž Fourierova transformace [4] dává:
![{displaystyle ho ({vec {k}}, omega) = {frac {ze} {2pi}} delta (omega - {vec {k}} cdot {vec {v}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2496f8a270d9f52506b1d8c2719d76721c19e003)
![{displaystyle {vec {J}} ({vec {k}}, omega) = {vec {v}} ho ({vec {k}}, omega)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a18c6e1105d55bbfb49e4589dc449df2a768ba9f)
Dosazením této hustoty a nabíjecího proudu do vlnové rovnice můžeme vyřešit potenciály Fourierovy formy:
a ![{displaystyle {vec {A}} ({vec {k}}, omega) = epsilon (omega) {frac {vec {v}} {c}} Phi ({vec {k}}, omega)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba2886c9a594601ed15f42d5286c79a1d0dbd91)
Pomocí definice elektromagnetických polí z hlediska potenciálů pak máme Fourierovu formu elektrického a magnetického pole:
a ![{displaystyle {vec {B}} ({vec {k}}, omega) = iepsilon (omega) {vec {k}} imes {frac {vec {v}} {c}} Phi ({vec {k}} , omega)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/882aeeedc4476febf34e1f0ed75383b99c1d38fd)
Abychom našli vyzařovanou energii, považujeme elektrické pole za funkci frekvence v nějaké kolmé vzdálenosti od trajektorie částic, řekněme, v
, kde
je parametr nárazu. Je to dáno inverzní Fourierovou transformací:
![{displaystyle {vec {E}} (omega) = {frac {1} {(2pi) ^ {3/2}}} int d ^ {3} k {vec {E}} ({vec {k}}, omega) e ^ {ibk_ {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d984643aa8f5ea97a6c03062f36d377d6ab43e6)
Nejprve spočítáme
-součástka
elektrického pole (rovnoběžně s
):
![{displaystyle E_ {1} (omega) = {frac {2ize} {epsilon (omega) (2pi) ^ {3/2}}} int d ^ {3} ke ^ {ibk_ {2}} {igg (} { frac {omega epsilon (omega) v} {c ^ {2}}} - k_ {1} {igg)} {frac {delta (omega -vk_ {1})} {k ^ {2} - {frac {omega ^ {2}} {c ^ {2}}} epsilon (omega)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18f1ff95dc109fa2a8aba64d5b6ad96a651fc8ac)
Pro stručnost definujeme
. Rozdělení integrálu na
,
integrál lze okamžitě integrovat podle definice Dirac Delta:
![{displaystyle E_ {1} (omega) = - {frac {2izeomega} {v ^ {2} (2pi) ^ {3/2}}} {igg (} {frac {1} {epsilon (omega)}} - eta ^ {2} {igg)} int _ {- infty} ^ {infty} dk_ {2} e ^ {ibk_ {2}} int _ {- infty} ^ {infty} {frac {dk_ {3}} { k_ {2} ^ {2} + k_ {3} ^ {2} + lambda ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a3dec76971c01f17f535d619a7dff062e8cceb8)
Integrál skončil
má hodnotu
, dávat:
![{displaystyle E_ {1} (omega) = - {frac {izeomega} {v ^ {2} {sqrt {2pi}}}} {igg (} {frac {1} {epsilon (omega)}} - eta ^ { 2} {igg)} int _ {- infty} ^ {infty} dk_ {2} {frac {e ^ {ibk_ {2}}} {(lambda ^ {2} + k_ {2} ^ {2}) ^ {1/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d386a0a5264c6ca2effa39fc8b739f77b2a1f43)
Poslední integrál skončil
je ve formě upravené (Macdonald) Besselova funkce, což dává hodnocené paralelní složce ve formě:
![{displaystyle E_ {1} (omega) = - {frac {izeomega} {v ^ {2}}} vlevo ({frac {2} {pi}} ight) ^ {1/2} {igg (} {frac { 1} {epsilon (omega)}} - eta ^ {2} {igg)} K_ {0} (lambda b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9afc44f22d62c4bd6782270dfc90c6c0fdc5757f)
Jeden může sledovat podobný vzor výpočtu pro ostatní součásti polí, které přicházejí na:
a ![{displaystyle quad B_ {1} = B_ {2} = 0, quad B_ {3} (omega) = epsilon (omega) eta E_ {2} (omega)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6937feb3f11d04e5ebf6463b058d31209620c927)
Nyní můžeme uvažovat vyzařovanou energii
na ujetou vzdálenost částic
. To lze vyjádřit prostřednictvím toku elektromagnetické energie
skrz povrch nekonečného válce o poloměru
kolem dráhy pohybující se částice, která je dána integrálem Poyntingův vektor
přes povrch válce:
![{displaystyle {igg (} {frac {dE} {dx_ {ext {particle}}}} {igg)} _ {ext {rad}} = {frac {1} {v}} P_ {a} = - {frac {c} {4pi v}} int _ {- infty} ^ {infty} 2pi aB_ {3} E_ {1} dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/371a4f96db4b830d18ad5ed3a628bfe4df24810f)
Integrál skončil
v jednom okamžiku se rovná integrálu v jednom bodě po celou dobu. Použitím
:
![{displaystyle {igg (} {frac {dE} {dx_ {ext {particle}}}} {igg)} _ {ext {rad}} = - {frac {ca} {2}} int _ {- infty} ^ {infty} B_ {3} (t) E_ {1} (t) dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd12bcb2506865fe628413b277648674385e321a)
Převod na frekvenční doménu:
![{displaystyle {igg (} {frac {dE} {dx_ {ext {particle}}}} {igg)} _ {ext {rad}} = - ca, {ext {Re}} {igg (} int _ {0 } ^ {infty} B_ {3} ^ {*} (omega) E_ {1} (omega) domega {igg)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a01228082d95e3c66f7e378ed66de2be7cf8c950)
Abychom se dostali do oblasti Čerenkovova záření, uvažujeme nyní kolmou vzdálenost
mnohem větší než atomové vzdálenosti v médiu, tj.
. S tímto předpokladem můžeme rozšířit Besselovy funkce do jejich asymptotické formy:
![{displaystyle E_ {1} (omega) ightarrow {frac {izeomega} {c ^ {2}}} {igg (} 1- {frac {1} {eta ^ {2} epsilon (omega)}} {igg)} {frac {e ^ {- lambda b}} {sqrt {lambda b}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43513d73281521132694f5c442edf336b781df41)
a ![{displaystyle B_ {3} (omega) = epsilon (omega) eta E_ {2} (omega)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7de108b4c7e708e3fdae1eacc2c2ac5b551c973)
Tím pádem:
![{displaystyle {igg (} {frac {dE} {dx_ {ext {particle}}}} {igg)} _ {ext {rad}} = {ext {Re}} {igg (} int _ {0} ^ { infty} {frac {z ^ {2} e ^ {2}} {c ^ {2}}} {igg (} -i {sqrt {frac {lambda ^ {*}} {lambda}}} {igg)} omega {igg (} 1- {frac {1} {eta ^ {2} epsilon (omega)}} {igg)} e ^ {- (lambda + lambda ^ {*}) a} domega {igg)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01ebdf7c8a83973ade70c910ad5c2d0e3ac2fbb0)
Li
má kladnou skutečnou část (obvykle platí), exponenciální způsobí, že výraz rychle zmizí na velké vzdálenosti, což znamená, že veškerá energie je uložena v blízkosti dráhy. To však není pravda, když
je čistě imaginární - to místo toho způsobí, že exponenciální hodnota se stane 1 a poté je nezávislá na
, což znamená, že část energie uniká do nekonečna jako záření - to je Čerenkovovo záření.
je čistě imaginární, pokud
je skutečný a
. To je, když
je skutečné, Čerenkovovo záření má podmínku, že
. Toto je tvrzení, že rychlost částice musí být větší než fázová rychlost elektromagnetických polí v médiu při frekvenci
aby bylo možné čerenkovské záření. S tímto čistě imaginárním
stav,
a integrál lze zjednodušit na:
![{displaystyle {igg (} {frac {dE} {dx_ {ext {particle}}}} {igg)} _ {ext {rad}} = {frac {z ^ {2} e ^ {2}} {c ^ {2}}} int _ {epsilon (omega)> {frac {1} {eta ^ {2}}}} omega {igg (} 1- {frac {1} {eta ^ {2} epsilon (omega)} } {igg)} domega = {frac {z ^ {2} e ^ {2}} {c ^ {2}}} int _ {v> {frac {c} {n (omega)}}} omega {igg (} 1- {frac {c ^ {2}} {v ^ {2} n ^ {2} (omega)}} {igg)} domega}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9d1c4a7f8525c07fc55016aa0a3f8dbaff27558)
Toto je Frank – Tammova rovnice v Gaussových jednotkách. Tento původ vychází z Jacksona 3. vydání[5]
Poznámky
- ^ Index lomu n je definován jako poměr rychlosti elektromagnetického záření ve vakuu a rychlost fáze elektromagnetických vln v médiu a za určitých okolností se může stát méně než jedním. Vidět index lomu pro další informace.
- ^ Index lomu se může stát méně než jednota blízko rezonanční frekvence, ale při extrémně vysokých frekvencích se index lomu stává jednotou.
- ^ Pro jednoduchost uvažujeme magnetickou permeabilitu
. - ^ Používáme „inženýrskou“ notaci pro Fourierovu transformaci, kde
faktory se objevují jak v přímé, tak v inverzní transformaci. - ^ Jackson, John (1999). Klasická elektrodynamika. John Wiley & Sons, Inc. str.646 –654. ISBN 978-0-471-30932-1.
Reference
externí odkazy