Čtyři spirálová poloskupina - Four-spiral semigroup

v matematika, čtyřspirálová poloskupina je speciální poloskupina vygenerovaný čtyřmi idempotentní elementy. Tuto speciální poloskupinu nejprve studoval Karl Byleen v doktorské disertační práci předložené University of Nebraska v roce 1977.^[1][2] Má několik zajímavých vlastností: je to jeden z nejdůležitějších příkladů bi-simple, ale ne zcela jednoduchých semigroup;^[3] je to také důležitý příklad fundamentu pravidelná poloskupina;^[2] je nepostradatelným stavebním kamenem bisimple, idempotentně generovaných pravidelných semigroup.^[2] Určitá poloskupina, tzv dvojitá čtyřspirálová poloskupina, generované pěti idempotentními prvky, bylo také studováno spolu se čtyřspirálovou pologrupou.^[4][2]

Definice

Čtyřspirálová poloskupina, označená Sp₄, je bezplatná poloskupina generované čtyřmi prvky A, b, C, a d splňující následujících jedenáct podmínek:^[2]

• A² = A, b² = b, C² = C, d² = d.
• ab = b, ba = A, před naším letopočtem = b, cb = C, CD = d, DC = C.
• da = d.

První sada podmínek znamená, že prvky A, b, C, d jsou idempotenty. Druhá sada podmínek to naznačuje a R b L c R d kde R a L jsou Greenovy vztahy v poloskupině. Osamělou podmínku ve třetí sadě lze zapsat jako d ω^l A, kde ω^l je biologický vztah definován Nambooripad. Níže uvedený diagram shrnuje různé vztahy mezi A, b, C, d:

${ displaystyle { begin {matrix} && { mathcal {R}} && & a & longleftrightarrow & b & omega ^ {l} & { Big uparrow} && { Big updownarrow} & { mathcal {L}} & d & longleftrightarrow & c & && { mathcal {R}} && end {matrix}}}$

Prvky čtyřspirálové poloskupiny

Spirálová struktura idempotents ve čtyřspirálové poloskupině Sp4. V tomto diagramu jsou prvky ve stejné řadě Související s R., prvky ve stejném sloupci jsou Související s L a pořadí pokračuje dolů po čtyřech úhlopříčkách (od středu).

Struktura čtyřspirálové poloskupiny Sp4. Zobrazí se sada idempotentů (červeně zbarvené body) a podskupiny A, B, C, D, E.^[4]

Obecné prvky

Každý prvek Sp₄ lze napsat jednoznačně v jedné z následujících forem:^[2]

[C] (ac)^m [A]

[d] (bd)ⁿ [b]

[C] (ac)^m inzerát (bd)ⁿ [b]

kde m a n jsou nezáporná celá čísla a výrazy v hranatých závorkách mohou být vynechány, pokud zbývající produkt není prázdný. Formy těchto prvků to naznačují Sp₄ má rozdělit Sp₄ = A ∪ B ∪ C ∪ D ∪ E kde

A = { A(ca.)ⁿ, (bd)ⁿ⁺¹, A(ca.)^md(bd)ⁿ : m, n nezáporná celá čísla}

B = { (ac)ⁿ⁺¹, b(db)ⁿ, A(ca.)^m(db) ⁿ⁺¹ : m, n nezáporná celá čísla}

C = { C(ac)^m, (db)ⁿ⁺¹, (ca.)^m+1(db)ⁿ⁺¹ : m, n nezáporná celá čísla}

D = { d(bd)ⁿ, (ca.)^m+1(db)ⁿ⁺¹d : m, n nezáporná celá čísla}

E = { (ca.)^m : m kladné celé číslo}

Sady A, B, C, D jsou bicyklické poloskupiny, E je nekonečný cyklická poloskupina a podskupina D ∪ E je neregulérní poloskupina.

Idempotentní prvky

Sada idempotentů Sp₄,^[5] je {A_n, b_n, C_n, d_n : n = 0, 1, 2, ...} kde, A₀ = A, b₀ = b, C₀ = C, d₀ = d, a pro n = 0, 1, 2, ....,

A_n+1 = A(ca.)ⁿ(db)ⁿd

b_n+1 = A(ca.)ⁿ(db)ⁿ⁺¹

C_n+1 = (ca.)ⁿ⁺¹(db)ⁿ⁺¹

d_n+1 = (ca.)ⁿ⁺¹(db)^{n+ l}d

Sady idempotentů v podskupinách A, B, C, D (v podskupině nejsou žádní idempotenti E) jsou:

E_A = { A_n : n = 0,1,2, ... }

E_B = { b_n : n = 0,1,2, ... }

E_C = { C_n : n = 0,1,2, ... }

E_D = { d_n : n = 0,1,2, ... }

Čtyři spirální semigroup jako Rees-matrix semigroup

Nechat S být množinou všech čtyřnásobků (r, X, y, s) kde r, s, ∈ {0, 1} a X a y jsou nezáporná celá čísla a definují binární operaci v S podle

${ displaystyle (r, x, y, s) * (t, z, w, u) = { start {případů} (r, x-y + max (y, z + 1), max (y- 1, z) -z + w, u) & { text {if}} s = 0, t = 1 (r, x-y + max (y, z), max (y, z) - z + w, u) & { text {jinak.}} end {případy}}}$

Sada S s touto operací je a Reesova maticová poloskupina přes bicyklická poloskupina a čtyřspirálová poloskupina Sp₄ je izomorfní s S.^[2]

Vlastnosti

• Podle definice je čtyřspirálová poloskupina idempotentní generovaná semigroup (Sp₄ je generován čtyřmi idempotenty A, b. C, d.)
• Čtyřspirálová semigroup je základní semigroup, tj. Jediná kongruence Sp₄ který je obsažen ve vztahu Greena H v Sp₄ je vztah rovnosti.

Dvojitá čtyřspirálová poloskupina

The základní dvojitá čtyřspirálová poloskupina, označeno DSp₄, je poloskupina generovaná pěti prvky A, b, C, d, E splňující následující podmínky:^[2][4]

• A² = A, b² = b, C² = C, d² = d, E² = E
• ab = b, ba = A, před naším letopočtem = b, cb = C, CD = d, DC = C, de = d, vyd = E
• ae = E, ea = E

První sada podmínek znamená, že prvky A, b, C, d, E jsou idempotenty. Druhá sada podmínek uvádí vztahy Greena mezi těmito idempotenty, jmenovitě a R b L c R d L e. Dvě podmínky ve třetí sadě to naznačují E ω A kde ω je biologický vztah definováno jako ω = ω^l ∩ ω^r.

Reference