Ohniskové kuželosečky - Focal conics
v geometrie, ohniskové kuželosečky jsou dvojice křivek sestávající z[1][2] buď
- an elipsa a a hyperbola, kde je hyperbola obsažena v rovině, která je kolmá k rovině obsahující elipsu. Vrcholy hyperboly jsou ohniska elipsy a jeho ohniska jsou vrcholy elipsy (viz obrázek).
nebo
- dva paraboly, které jsou obsaženy ve dvou ortogonálních rovinách a vrchol jedné paraboly je ohniskem druhé a naopak.
Ohniskové kuželosečky hrají zásadní roli při zodpovězení otázky: „Které pravé kruhové kužele obsahují danou elipsu nebo hyperbolu nebo parabolu (viz níže)“.
Fokální kuželosečky se používají jako adresáře pro generování Dupin cyklidy tak jako povrchy kanálů dvěma způsoby.[3][4]
Ohniskové kuželosečky lze považovat za zdegenerované ohniskové plochy: Dupinovy cyklidy jsou jediné povrchy, kde se ohniskové plochy zhroutí do dvojice křivek, konkrétně ohniskových kuželoseček.[5]
v Fyzikální chemie fokální kuželosečky se používají pro popis geometrických vlastností tekuté krystaly.[6]
Jeden by neměl míchat ohniskové kužely s konfokální kuželosečky. Ty druhé mají všechna stejná ohniska.
Rovnice a parametrické reprezentace
Elipsa a hyperbola
- Rovnice
Pokud někdo popisuje elipsu v rovině x-y běžným způsobem pomocí rovnice
pak odpovídající ohnisková hyperbola v rovině x-z má rovnici
kde je lineární výstřednost elipsy s
- Parametrické reprezentace
- elipsa: a
- hyperbola:
Dvě paraboly
Dvě paraboly v rovině x-y a v rovině x-z:
- 1. parabola: a
- 2. parabola:
s the semi-latus rectum obou paraboly.
Pravé kruhové kužele elipsou
- Vrcholy pravých kruhových kuželů skrz danou elipsu leží na ohniskové hyperbole patřící k elipsě.
- Důkaz
Dáno: Elipsa s vrcholy a ohniska a pravý kruhový kužel s vrcholem obsahující elipsu (viz obrázek).
Kvůli symetrii musí být osa kužele obsažena v rovině procházející ohnisky, která je kolmá k rovině elipsy. Existuje a Pampeliška koule , který se dotkne roviny elipsy v ohnisku a kužel v kruhu. Z diagramu a skutečnosti, že všechny tangenciální vzdálenosti bodu ke kouli jsou stejné, získáme:
Proto:
- konst.
a množina všech možných vrcholů leží na hyperbole s vrcholy a ohniska .
Analogicky se dokážou případy, kdy kužele obsahují hyperbolu nebo parabolu.[7]
Reference
- ^ Müller- Kruppa, S. 104
- ^ Glaeser-Stachel-Odehnal, str. 137
- ^ Felix Klein: Vorlesungen Über Höhere Geometrie, Herausgeber: W. Blaschke, Richard Courant, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3642498485, S. 58.
- ^ Glaeser-Stachel-Odehnal: str. 147
- ^ D. Hilbert, S. Cohn-Vossen:Geometrie a představivost, Chelsea Publishing Company, 1952, s. 218.
- ^ Thomas Andrew Waigh: Fyzika živých procesů, Verlag John Wiley & Sons, 2014, ISBN 1118698274, str. 128.
- ^ Glaeser-Stachel-Odehnal str. 139