Flip (matematika) - Flip (mathematics)
v algebraická geometrie, převrátí a propadne jsou codimension-2 chirurgická operace operace vznikající v minimální modelový program, dána vyhodit do vzduchu podél a relativní kanonický kruh. V dimenzi 3 se flipy používají ke konstrukci minimálních modelů a jakékoli dva biracionálně ekvivalentní minimální modely jsou spojeny posloupností flopů. Předpokládá se, že totéž platí pro vyšší dimenze.
Minimální modelový program
Minimální modelový program lze shrnout velmi stručně takto: vzhledem k rozmanitosti , vytvoříme posloupnost kontrakce , z nichž každá smršťuje některé křivky, na nichž kanonický dělitel je negativní. Nakonec, by se mělo stát nef (alespoň v případě nezáporných údajů Dimenze Kodaira ), což je požadovaný výsledek. Hlavním technickým problémem je to, že v určité fázi je rozmanitost se může stát „příliš singulárním“ v tom smyslu, že kanonický dělitel již není Cartier dělitel, takže číslo křižovatky s křivkou není ani definován.
(Domněnkovým) řešením tohoto problému je převrátit. Vzhledem k tomu, problematické jak je uvedeno výše, otočení je birational mapa (ve skutečnosti izomorfismus v codimension 1) k odrůdě, jejíž singularity jsou „lepší“ než u singularity . Takže můžeme dát a pokračujte v procesu.[1]
Dva hlavní problémy týkající se převrácení jsou ukázat, že existují, a ukázat, že jeden nemůže mít nekonečnou sekvenci převrácení. Pokud lze oba tyto problémy vyřešit, lze provést minimální modelový program. Existenci třikrát otočených karet dokázala Mori (1988). Existenci log flipů, obecnějšího druhu flipu, v dimenzi tři a čtyři prokázal Shokurov (1993, 2003 ), jehož práce byla zásadní pro řešení existence převrácení logu a dalších problémů ve vyšší dimenzi. Existenci převrácení kmene ve vyšších dimenzích urovnali (Caucher Birkar, Paolo Cascini a Christopher D. Hacon a kol.2010 ). Na druhou stranu, problém ukončení - dokazující, že nemůže existovat nekonečná sekvence převrácení - je stále otevřený v dimenzích větších než 3.
Definice
Li je morfismus a K. je kanonický svazek X, pak relativní kanonický kruh z F je
a je svazkem odstupňovaných algeber přes svazek pravidelných funkcí na Y. Nafouknutí
z Y podél relativního kanonického kruhu je morfismus Y. Pokud je relativní kanonický kruh definitivně vygenerován (jako algebra přes ) pak morfismus se nazývá převrátit z -li je poměrně dost, a flop z -li K. je relativně triviální. (Někdy indukovaný biracní morfismus z na se nazývá flip nebo flop.)
V aplikacích je často a malá kontrakce extremálního paprsku, což implikuje několik dalších vlastností:
- Výjimečné sady obou map a mít codimension alespoň 2,
- a mají pouze mírné singularity, jako např terminální singularity.
- a jsou biracní morfismy Y, což je normální a projektivní.
- Všechny křivky ve vláknech a jsou numericky proporcionální.
Příklady
První příklad flopu, známý jako Atiyah flop, byl nalezen v (Atiyah 1958 ).Nechat Y být nuly v a nechte PROTI být výbuchem Y na počátku. Výjimečné místo tohoto výbuchu je izomorfní , a může být sražen k dvěma různými způsoby, dávat odrůdy a . Přirozená biracní mapa z na je flop Atiyah.
Reid (1983) představen Reidova pagoda, generalizace nahrazení flopu Atiyah Y nulami .
Reference
- ^ Přesněji řečeno, existuje domněnka, že každá sekvence ⇢ ⇢ ⇢ ⇢ flips odrůd s Kawamata log terminální singularity, projektivní přes pevnou normální odrůdu končí po konečně mnoha krocích.
- Atiyah, Michael Francis (1958), "Na analytických plochách s dvojitými body", Sborník královské společnosti v Londýně. Řada A: Matematické, fyzikální a technické vědy, 247 (1249): 237–244, Bibcode:1958RSPSA.247..237A, doi:10.1098 / rspa.1958.0181, PAN 0095974
- Birkar, Caucher; Cascini, Paolo; Hacon, Christopher D.; McKernan, James (2010), „Existence minimálních modelů pro odrůdy obecného typu log“, Journal of the American Mathematical Society, 23 (2): 405–468, arXiv:math.AG/0610203, Bibcode:2010JAMS ... 23..405B, doi:10.1090 / S0894-0347-09-00649-3, ISSN 0894-0347, PAN 2601039
- Corti, Alessio (Prosinec 2004), „Co je ... Flip?“ (PDF ), Oznámení Americké matematické společnosti, 51 (11): 1350–1351, vyvoláno 2008-01-17
- Kollár, János (1991), „Flip and Flop“, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I, II (Kjóto, 1990), Tokio: Matematika. Soc. Japonsko, str. 709–714, PAN 1159257
- Kollár, János (1991), „Flips, flops, minimal models, etc“, Průzkumy v diferenciální geometrii (Cambridge, MA, 1990)„Bethlehem, PA: Lehigh Univ., S. 113–199, PAN 1144527
- Kollár, János; Mori, Shigefumi (1998), Birational Geometry algebraických odrůd, Cambridge University Press, ISBN 0-521-63277-3
- Matsuki, Kenji (2002), Úvod do programu MoriUniversitext, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98465-0, PAN 1875410
- Mori, Shigefumi (1988), „Flip theorem and the existence of minimal models for 3-folds“, Journal of the American Mathematical Society, 1 (1): 117–253, doi:10.1090 / s0894-0347-1988-0924704-x, JSTOR 1990969, PAN 0924704
- Morrison, David (2005), Flopy, flipy a maticová faktorizace (PDF), Algebraická geometrie a další, RIMS, Kjótská univerzita
- Reide, Milesi (1983), „Minimální modely kanonických $ 3 $ složek“, Algebraické odrůdy a analytické odrůdy (Tokio, 1981)Adv. Stud. Čistá matematika., 1, Amsterdam: Severní Holandsko, s. 131–180, PAN 0715649
- Shokurov, Vyacheslav V. (1993), Trojrozměrné převrácení protokolu. S přílohou v angličtině Yujiro Kawamata, 1, Russian Acad. Sci. Izv. Matematika. 40, str. 95–202.
- Shokurov, Vyacheslav V. (2003), Prelimiting flips, Proc. Steklov Inst. Matematika. 240, s. 75–213.