Fano povrch - Fano surface

Pro Odrůdy Fano dimenze 2, viz povrch del Pezzo. Projekční rovinu nad polem se 2 prvky viz Fano letadlo.

V algebraické geometrii, a Fano povrch je povrch obecného typu (zejména, ne A Odrůda Fano ), jehož body indexují řádky na ne singulárním kubický trojnásobek. Nejprve je studoval Fano  (1904 ).

Hodge diamant:

1
55
102510
55
1

Fano povrchy jsou možná nejjednodušší a nejvíce studované příklady nepravidelných povrchů obecného typu, které nesouvisejí s produktem dvou křivek a nejsou úplným průsečíkem dělitelů v abelianské odrůdě.

Fano povrch S hladkého kubického trojnásobku F do P4 nese mnoho pozoruhodných geometrických vlastností. Povrch S je přirozeně zapuštěn do grassmannovské linie G (2,5) P4. Nechť U je omezení na S svazku univerzálního pořadí 2 na G. Máme:

Věta tečného svazku (Fano, Clemens -Griffithové, Tyurin): Tečný svazek S je izomorfní s U.

To je docela zajímavý výsledek, protože a priori by mezi těmito dvěma svazky neměla být žádná vazba. Má mnoho výkonných aplikací. Například lze obnovit skutečnost, že kotangensní prostor S je generován globálními řezy. Tento prostor globálních 1 forem lze identifikovat s prostorem globálních sekcí svazku tautologických linií O (1) omezeným na kubický F a navíc:

Věta Torelliho typu: Nechť g je přirozený morfismus od S po grassmannovský G (2,5) definovaný kotangensovým svazkem S generovaným jeho 5-dimenzionálním prostorem globálních řezů. Nechť F 'je spojení přímek odpovídajících g' (S). Trojnásobek F 'je izomorfní s F.

Známe-li povrch Fano S, můžeme obnovit trojnásobné F. Teorémem tangensového svazku můžeme také geometricky pochopit invarianty S:

a) Připomeňme, že druhé Chernovo číslo vektorového svazku 2. úrovně na povrchu je počet nul obecné sekce. Pro povrch Fano S definuje 1-tvar w také sekci nadroviny {w = 0} do P4 kubického F. Nuly obecného w na S bijektivně odpovídají počtu řádků do křižovatky hladkého kubického povrchu {w = 0} a F, proto zjistíme, že druhá Chernova třída S se rovná 27.

b) Nechte w1, w2 být dvě 1-formy na S. Kanonický dělitel K na S spojený s kanonickou formou w1 ∧ w2 parametrizuje čáry na F, které řezají rovinu P = {w1=w2= 0} do P4. Použitím w1 a w2 takže průsečík P a F je spojením 3 linií, lze obnovit skutečnost, že K2= 45. Uveďme několik podrobností tohoto výpočtu: Obecným bodem kubické F jde 6 řádků. Nechť s je bodem S a nechme Ls být odpovídající řádek na kubickém F. Nechť Cs být dělitelem na S parametrizujících řádcích, které řezají čáru Ls. Průnik sebe sama Cs se rovná průsečíku počtu Cs a Ct pro t obecný bod. Křižovatka Cs a Ct je sada čar na F, která odděluje nesouvislé čáry Ls a L.t. Uvažujme lineární rozpětí Ls a L.t : je to hyperplán do P4 který rozřezá F na hladký kubický povrch. Podle dobře známých výsledků na kubickém povrchu je počet řádků, které proříznou dvě nesouvislé čáry, 5, a tak získáme (Cs) 2 =Cs Ct= 5. As K je číselně ekvivalentní 3Cs, získáme K. 2 =45.

c) Přírodní složená mapa: S -> G (2,5) -> P9 je kanonická mapa S. Je to vložení.

Viz také

Reference

  • Bombieri, Enrico; Swinnerton-Dyer, H. P. F. (1967), „K místní funkci zeta trojnásobného krychlového“, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3), 21: 1–29, PAN  0212019
  • Clemens, C. Herbert; Griffiths, Phillip A. (1972), „Meziprodukt Jacobian of the cubic threefold“, Annals of Mathematics, Druhá série, 95 (2): 281–356, CiteSeerX  10.1.1.401.4550, doi:10.2307/1970801, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970801, PAN  0302652
  • Fano, G. (1904), „Sul sisteme ∞2 di rette contenuto in une varietà cubica generale dello spacio a quattro dimensioni ", Atti R. Accad. Sci. Turín, 39: 778–792
  • Kulikov, Vik.S. (2001) [1994], "Povrch Fano", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
  • Murre, J. P. (1972), „Algebraická ekvivalence modulo racionální ekvivalence na kubickém trojnásobku“, Compositio Mathematica, 25: 161–206, ISSN  0010-437X, PAN  0352088