Faktorový systém - Factor system

v matematika, a faktorový systém (někdy nazývané sada faktorů) je základním nástrojem Otto Schreier Klasická teorie pro problém s rozšířením skupiny.^[1][2] Skládá se ze sady automorfismů a binární funkce na a skupina splnění určité podmínky (tzv podmínka cocycle). Faktorový systém ve skutečnosti představuje realizaci cyklů ve druhém kohomologická skupina v skupinová kohomologie.^[3]

Úvod

Předpokládat G je skupina a A je abelianská skupina. Pro rozšíření skupiny

${ Displaystyle 1 až A až X až G až 1,}$

existuje faktorový systém, který se skládá z funkce F : G × G → A a homomorfismus σ: G → Aut (A) tak, že tvoří kartézský součin G × A skupina X tak jako

${ displaystyle (g, a) * (h, b): = (gh, f (g, h) a ^ { sigma (h)} b).}$

Tak F musí být „skupina 2-kolečka“ (symbolicky, Ext (G, A) ≅ H²(G, A)). Ve skutečnosti, A nemusí být abelian, ale pro neabelovské skupiny je situace komplikovanější^[4]

Li F je triviální a σ dává vnitřní automorfismy, pak je toto rozšíření skupiny rozděleno, takže X stát se polopřímý produkt z G s A.

Pokud skupinová algebra je uveden faktorový systém F upraví tuto algebru na a algebra skupiny zešikmení úpravou skupinové operace xy na F(X, y)xy.

Aplikace: pro rozšíření Abelian pole

Nechat G být skupinou a L pole, na kterém G působí jako automorfismy. A cocycle nebo (Noether) faktorový systém^[5]:31 je mapa C:G × G → L^* uspokojující

${ displaystyle c (h, k) ^ {g} c (hk, g) = c (h, kg) c (k, g).}$

Cykly jsou ekvivalent pokud existuje nějaký systém prvků A : G → L^* s

${ displaystyle c '(g, h) = c (g, h) (a_ {g} ^ {h} a_ {h} a_ {gh} ^ {- 1}).}$

Cykly formy

${ displaystyle c (g, h) = a_ {g} ^ {h} a_ {h} a_ {gh} ^ {- 1}}$

se nazývají rozdělit. Cykly pod multiplikačním modulo rozdělené cykly tvoří skupinu, druhou kohomologickou skupinu H²(G,L^*).

Překřížené algebry produktů

Vezměme si tento případ G je Galoisova skupina a rozšíření pole L/K.. Faktorový systém C v H²(G,L^*) vede k a zkřížená produktová algebra^[5]:31 A, což je K.-algebra obsahující L jako podpole generované prvky λ v L a u_G s množením

${ displaystyle lambda u_ {g} = u_ {g} lambda ^ {g},}$

${ displaystyle u_ {g} u_ {h} = u_ {gh} c (g, h).}$

Systémy ekvivalentních faktorů odpovídají změně základny v A přes K.. Můžeme psát

${ displaystyle A = (L, G, c).}$

Překřížená produktová algebra A je centrální jednoduchá algebra stupně rovného [L: K].^[6] Konverzace platí: každý centrální jednoduchá algebra přes K. který se rozdělí L a takhle stupeň A = [L: K] vzniká tímto způsobem.^[6] Tenzorový produkt algeber odpovídá násobení odpovídajících prvků v H². Získáváme tak identifikaci Brauerova skupina, kde prvky jsou třídami CSA K., s H.².^[7][8]

Cyklická algebra

Dále se omezme na tento případ L/K. je cyklický se skupinou Galois G řádu n generováno uživatelem t. Nechat A být zkříženým produktem (L,G,C) se sadou faktorů C. Nechat u = u_t být generátorem v A souhlasí s t. Můžeme definovat další generátory

${ displaystyle u_ {t ^ {i}} = u ^ {i} ,}$

a pak máme uⁿ = A v K.. Tento prvek A specifikuje cocycle C podle^[5]:33

${ displaystyle c (t ^ {i}, t ^ {j}) = { začít {případy} 1 & { text {if}} i + j$

Má tedy smysl naznačovat A jednoduše (L,t,A). nicméně A není jednoznačně specifikován A protože se můžeme množit u jakýmkoli prvkem λ z L^* a pak A se vynásobí součinem konjugátů λ. Proto A odpovídá prvku skupiny zbytků normy K.^*/ N_L/K.L^*. Získáváme izomorfismy

${ displaystyle operatorname {Br} (L / K) equiv K ^ {*} / N_ {L / K} L ^ {*} equiv H ^ {2} (G, L ^ {*}).}$

Reference

• Lorenz, Falko (2008). Algebra. Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics. Universitext. Z němčiny přeložil Silvio Levy. Ve spolupráci s překladatelem. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-72487-4. Zbl  1130.12001.
• Jacobson, Nathan (1996). Konečně-dimenzionální dělení algeber na pole. Berlín: Springer-Verlag. ISBN  3-540-57029-2. Zbl  0874.16002.
• Reiner, I. (2003). Maximální objednávky. Monografie London Mathematical Society. Nová řada. 28. Oxford University Press. ISBN  0-19-852673-3. Zbl  1024.16008.
• Saltman, David J. (1999). Přednášky o divizních algebrách. Regionální konferenční seriál z matematiky. 94. Providence, RI: Americká matematická společnost. ISBN  0-8218-0979-2. Zbl  0934.16013.