F-coalgebra - F-coalgebra - Wikipedia

v matematika, konkrétně v teorie kategorií, an ${ displaystyle F}$ -coalgebra je struktura definováno podle a funktor ${ displaystyle F}$ , se specifickými vlastnostmi, jak jsou definovány níže. U algebry i uhlígebry^{[je zapotřebí objasnění ]} funktor je pohodlný a obecný způsob organizace a podpis. Toto má aplikace v počítačová věda: příklady uhelných uhlí zahrnují líný, nekonečný datové struktury, jako proudy, a také přechodové systémy.

${ displaystyle F}$ -coalgebry jsou dvojí na ${ displaystyle F}$ -algebry. Stejně jako třída všech algebry pro daný podpis a formu rovnice teorie a odrůda, stejně tak i třída všech ${ displaystyle F}$ -coalgebry splňující danou rovnicovou teorii tvoří společenství, kde podpis je dán ${ displaystyle F}$ .

Definice

Nechat

{ displaystyle F: { mathcal {C}} longrightarrow { mathcal {C}}}

být endofunctor na kategorii ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ .An ${ displaystyle F}$ -coalgebra je objekt ${ displaystyle A}$ z ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ společně s a morfismus

{ displaystyle alpha: A longrightarrow FA}

z ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ , obvykle psáno jako ${ displaystyle (A, alpha)}$ .

An ${ displaystyle F}$ -coalgebra homomorfismus z ${ displaystyle (A, alpha)}$ jinému ${ displaystyle F}$ -coalgebra ${ displaystyle (B, beta)}$ je morfismus

{ displaystyle f: A longrightarrow B}

v ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ takhle

{ displaystyle Ff circ alpha = beta circ f}

.

Tak ${ displaystyle F}$ -coalgebry pro daný funktor F tvoří kategorii.

Příklady

Zvažte endofunctor ${ displaystyle X mapsto X sqcup {* }: mathbf {Set} to mathbf {Set}}$ který pošle sadu do své disjunktní unie se sadou singletonů ${ displaystyle { ast }}$ . Coalgebra tohoto endofunktoru je dána ${ displaystyle ({ overline { mathbb {N}}}, alpha)}$ , kde ${ displaystyle { overline { mathbb {N}}} = {0,1,2, ldots } sqcup { infty }}$ je takzvaná konaturální čísla, skládající se z nezáporných celých čísel a také nekonečna, a funkce ${ displaystyle alpha}$ darováno ${ displaystyle alpha (0) = ast}$ , ${ displaystyle alpha (n) = n-1}$ pro ${ displaystyle n = 1,2, ldots}$ a ${ displaystyle alpha ( infty) = infty}$ . Ve skutečnosti, ${ displaystyle ({ overline { mathbb {N}}}, alpha)}$ je koncová uhelná uhlí tohoto endofunktoru.

Obecněji opravte nějakou sadu ${ displaystyle A}$ , a zvažte funktor ${ displaystyle F: mathbf {Set} longrightarrow mathbf {Set}}$ který posílá ${ displaystyle X}$ na ${ displaystyle (X krát A) pohár {1 }}$ . Pak ${ displaystyle F}$ -coalgebra ${ displaystyle alpha: X longrightarrow (X krát A) pohár {1 } = FX}$ je konečný nebo nekonečný proud přes abeceda ${ displaystyle A}$ , kde ${ displaystyle X}$ je množina států a ${ displaystyle alpha}$ je funkce přechodu stavu. Použití funkce přechodu stavu na stav může přinést dva možné výsledky: buď prvek ${ displaystyle A}$ společně s dalším stavem proudu nebo prvkem singletonové sady ${ displaystyle {1 }}$ jako samostatný „konečný stav“ označující, že v proudu nejsou žádné další hodnoty.

V mnoha praktických aplikacích může mít funkce přechodu stavu takového uhlígebraického objektu formu ${ displaystyle X rightarrow f_ {1} krát f_ {2} krát ldots krát f_ {n}}$ , který se snadno rozdělí na sbírku „selektorů“, „pozorovatelů“, „metod“ ${ displaystyle X rightarrow f_ {1}, , X rightarrow f_ {2} , ldots , X rightarrow f_ {n}}$ . Mezi speciální případy praktického zájmu patří pozorovatelé, kteří získávají hodnoty atributů, a mutační metody formuláře ${ displaystyle X rightarrow X ^ {A_ {1} times ldots times A_ {n}}}$ převzetí dalších parametrů a stavů poddajnosti. Tento rozklad je duální rozkladu počátečního ${ displaystyle F}$ -algebry do součtu 'konstruktorů'.

Nechat P být napájecí sada konstrukce kategorie kategorií, považovaná za kovariantní funktor. The P-coalgebry jsou v bijektivní korespondenci se sadami s binárním vztahem. Nyní opravte další sadu, A. Pak uhelné uhlí pro endofunktor P(A× (-)) jsou v bijektivní korespondenci s označené přechodové systémy a homomorfismy mezi uhlíkory odpovídají funkčnímu bisimulace mezi označenými přechodovými systémy.

Aplikace

v počítačová věda Uhlígebra se ukázala jako pohodlný a vhodně obecný způsob specifikace chování systémů a datových struktur, které jsou potenciálně nekonečné, například třídy v objektově orientované programování, proudy a přechodové systémy. Zatímco algebraická specifikace pojednává o funkčním chování, obvykle s využitím induktivních datových typů generovaných konstruktory, uhelnogebická specifikace se týká chování modelovaného koindukčními typy procesů, které jsou pozorovatelné selektory, hodně v duchu teorie automatů. Důležitou roli zde hraje konečné uhlí, což jsou úplné sady možná nekonečného chování, například streamů. Přirozená logika vyjadřující vlastnosti těchto systémů je uhelná modální logika.^{[Citace je zapotřebí ]}

F-coalgebra - F-coalgebra - Wikipedia

Obsah

Definice

Příklady

Aplikace

Viz také

Reference

externí odkazy