Topologie rozšíření - Extension topology - Wikipedia

v topologie, obor matematiky, an topologie rozšíření je topologie umístěn na disjunktní unie a topologický prostor a další soubor. V různých částech jsou popsány různé typy topologie rozšíření.

Topologie rozšíření

Nechat X být topologickým prostorem a P množina disjunktu z X. Zvažte v X ∪ P topologie, jejíž otevřené množiny mají tvar A ∪ Q, kde A je otevřená sada X a Q je podmnožinou P.

Uzavřené sady X ∪ P jsou ve formě B ∪ Q, kde B je uzavřená sada X a Q je podmnožinou P.

Z těchto důvodů se tato topologie nazývá topologie rozšíření z X Plus P, kterým se rozšiřuje na X ∪ P otevřené a uzavřené sady X. Jako podmnožiny X ∪ P the topologie podprostoru z X je původní topologie X, zatímco subprostorová topologie P je diskrétní topologie. Jako topologický prostor X ∪ P je homeomorfní vůči topologický součet z X a P, a X je zavřít podmnožinu z X ∪ P.

Li Y je topologický prostor a R je podmnožinou Y, dalo by se zeptat, zda rozšíření topologie Y - R Plus R je stejná jako původní topologie Ya odpověď je obecně ne.

Všimněte si podobnosti této konstrukce topologie rozšíření a Alexandroffova jednobodová zhutnění, v takovém případě s topologickým prostorem X který si přejeme zhutnit přidáním bodu ∞ v nekonečnu, vezmeme v úvahu uzavřené množiny X ∪ {∞} jsou množiny formuláře K., kde K. je uzavřená kompaktní sada Xnebo B ∪ {∞}, kde B je uzavřená sada X.

Otevřená topologie topologie

Nechat X být topologickým prostorem a P množina disjunktu z X. Zvažte v X ∪ P topologie, jejíž otevřené množiny mají tvar X ∪ Q, kde Q je podmnožinou Pnebo A, kde A je otevřená sada X.

Z tohoto důvodu se tato topologie nazývá otevřená topologie topologie z X Plus P, kterým se rozšiřuje na X ∪ P otevřené sady X. Jako podmnožiny X ∪ P topologie podprostoru X je původní topologie X, zatímco subprostorová topologie P je diskrétní topologie.

Uzavřené sady X ∪ P jsou ve tvaru: Q, kde Q je podmnožinou Pnebo B ∪ P, kde B je uzavřená sada X. Všimněte si, že P je uzavřen X ∪ P a X je otevřená a hustá X ∪ P.

Li Y topologický prostor a R je podmnožinou Y, dalo by se zeptat, zda otevřená přípona topologie Y - R Plus R je stejná jako původní topologie Ya odpověď je obecně ne.

Všimněte si, že topologie otevřené přípony X ∪ P je menší než topologie rozšíření X ∪ P.

Za předpokladu X a P nejsou prázdné, aby se zabránilo trivialitám, zde je několik obecných vlastností topologie otevřené rozšíření:^[1]

• Li P je konečný, X ∪ P je kompaktní. Tak X ∪ P je zhutnění z X v tom případě.
• X ∪ P je připojeno.
• Li P má jediný bod, X ∪ P je ultra propojeno.

Pro sadu Z a bod str v Z, jeden získá topologie vyloučeného bodu výstavba uvažováním v Z diskrétní topologie a použití konstrukce topologie otevřené rozšíření na Z - {str} Plus str.

Topologie uzavřeného rozšíření

Nechat X být topologickým prostorem a P množina disjunktu z X. Zvažte v X ∪ P topologie, jejíž uzavřené množiny mají tvar X ∪ Q, kde Q je podmnožinou Pnebo B, kde B je uzavřená sada X.

Z tohoto důvodu se tato topologie nazývá topologie uzavřeného rozšíření z X Plus P, kterým se rozšiřuje na X ∪ P uzavřené sady X. Jako podmnožiny X ∪ P topologie podprostoru X je původní topologie X, zatímco subprostorová topologie P je diskrétní topologie.

Otevřené sady X ∪ P jsou ve formě Q, kde Q je podmnožinou Pnebo A ∪ P, kde A je otevřená sada X. Všimněte si, že P je otevřen v X ∪ P a X je uzavřen X ∪ P.

Li Y je topologický prostor a R je podmnožinou Y, dalo by se zeptat, zda topologie uzavřeného rozšíření Y - R Plus R je stejná jako původní topologie Ya odpověď je obecně ne.

Všimněte si, že topologie uzavřeného rozšíření X ∪ P je menší než topologie rozšíření X ∪ P.

Pro sadu Z a bod str v Z, jeden získá konkrétní topologie bodu výstavba uvažováním v Z diskrétní topologie a použití konstrukce topologie uzavřené rozšíření na Z - {str} Plus str.

Poznámky

Reference

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Protiklady v topologii (Doveru dotisk z roku 1978 vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-486-68735-3, PAN  0507446