Přesná diagonalizace - Exact diagonalization

Přesná diagonalizace (ED) je numerická technika používaná v fyzika určit vlastní státy a energie vlastní čísla kvanta Hamiltonian. V této technice je Hamiltonián pro diskrétní konečný systém vyjádřen v maticové formě a diagonalizováno používat počítač. Přesná úhlopříčka je možná pouze u systémů s několika desítkami částic, kvůli exponenciálnímu nárůstu Hilbertův prostor rozměr s velikostí kvantového systému. Často se používá ke studiu příhradových modelů, včetně Hubbardův model, Isingův model, Heisenbergův model, t-J Modelka, a SYK model.^[1][2]

Očekávané hodnoty od přesné diagonalizace

Po určení vlastních čísel ${ displaystyle | n rangle}$ a energie ${ displaystyle epsilon _ {n}}$ daného hamiltoniánu lze k získání očekávaných hodnot pozorovatelnosti použít přesnou diagonalizaci. Například pokud ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ je pozorovatelný hodnota tepelného očekávání je

${ displaystyle langle { mathcal {O}} rangle = { frac {1} {Z}} sum _ {n} e ^ {- beta epsilon _ {n}} langle n | { mathcal {O}} | n rangle,}$

kde ${ displaystyle Z = sum _ {n} e ^ {- beta epsilon _ {n}}}$ je funkce oddílu. Pokud lze pozorovatelné zapsat v počátečním základě problému, lze tento součet vyhodnotit po transformaci na základ vlastních stavů.

Greenovy funkce lze hodnotit podobně. Například funkce retardovaného Greena ${ displaystyle G ^ {R} (t) = - i theta (t) langle [A (t), B (0)] rangle}$ lze psát

${ displaystyle G ^ {R} (t) = - { frac {i theta (t)} {Z}} součet _ {n, m} vlevo (e ^ {- beta epsilon _ {n }} - e ^ {- beta epsilon _ {m}} vpravo) langle n | A (0) | m rangle langle m | B (0) | n rangle e ^ {- i ( epsilon _ {m} - epsilon _ {n}) t / hbar}.}$

Přesnou diagonalizaci lze také použít k určení časového vývoje systému po ukončení činnosti. Předpokládejme, že systém byl připraven v počátečním stavu ${ displaystyle | psi rangle}$, a pak na čas ${ displaystyle t> 0}$ se vyvíjí pod novým Hamiltonianem, ${ displaystyle { mathcal {H}}}$. Stát v čase ${ displaystyle t}$ je

${ displaystyle | psi (t) rangle = sum _ {n} e ^ {- i epsilon _ {n} t / hbar} langle n | psi (0) rangle | n rangle. }$

Požadavky na paměť

Dimenze Hilbertova prostoru popisující kvantový systém se exponenciálně mění s velikostí systému. Zvažte například systém ${ displaystyle N}$ otočení lokalizovaná na pevných místech mřížky. Rozměr základny na místě je 2, protože stav každé rotace lze popsat jako superpozici roztočení a roztočení, označenou ${ displaystyle left | uparrow right rangle}$ a ${ displaystyle left | downarrow right rangle}$. Celý systém má rozměr ${ displaystyle 2 ^ {N}}$a Hamiltonián reprezentovaný jako matice má velikost ${ displaystyle 2 ^ {N} krát 2 ^ {N}}$. To znamená, že požadavky na výpočetní čas a paměť se při přesné úhlopříčce velmi nepříznivě zvětšují. V praxi lze požadavky na paměť snížit využitím symetrie problému, zavedením zákonů zachování a spoluprací řídké matice nebo pomocí jiných technik.

Srovnání s jinými technikami

Přesná diagonalizace je užitečná pro extrakci přesných informací o konečných systémech. Často se však studují malé systémy, aby získaly vhled do nekonečných příhradových systémů. Pokud je diagonalizovaný systém příliš malý, jeho vlastnosti nebudou odrážet vlastnosti systému v systému termodynamický limit a říká se, že simulace trpí efekty konečné velikosti.

Na rozdíl od některých jiných přesných teoretických technik, jako je Pomocné pole Monte Carlo, přesná diagonalizace získá Greenovy funkce přímo v reálném čase, na rozdíl od imaginární čas. Na rozdíl od těchto jiných technik nemusí být přesné výsledky diagonalizace číselné analyticky pokračovalo. To je výhoda, protože numerické analytické pokračování je špatně položený a obtížný optimalizační problém.^[3]

Aplikace

• Lze použít jako řešení nečistot pro Dynamická teorie středního pole techniky.^[4]

• V kombinaci s měřítkem konečné velikosti, odhadem základní stav energie a kritické exponenty 1D model Ising v příčném poli.^[5]

• Studium různých vlastností 2D Heisenbergův model v magnetickém poli, včetně antiferromagnetismu a rychlosti spinových vln.^[6]

• Studium hmotnosti Drude 2D Hubbardova modelu.^[7]

• Studium korelací v čase (OTOC) a kódování v modelu SYK.^[8]

• Simulace rezonančních rentgenových spekter silně korelovaných materiálů.^[9]

Implementace

Existuje mnoho softwarových balíčků implementujících přesnou diagonalizaci kvantových Hamiltoniánů. Tyto zahrnují QuSpin, ALPY, DoQo, EdLib, edrixs, a mnoho dalších.

Zobecnění

Přesné výsledky diagonalizace z mnoha malých shluků lze kombinovat a získat tak přesnější informace o systémech v termodynamickém limitu pomocí numerické propojené rozšíření clusteru.^[10]

Viz také

• Lanczosův algoritmus

Reference

Externí odkazy

• Kvantová simulace / přesná diagonalizace
• Výukový program plné diagonalizace ALPS

Tento fyzika související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.