Nakonec (matematika) - Eventually (mathematics)
![]() | Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace.Července 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
V matematický oblasti teorie čísel a analýza, nekonečný sekvence nebo a funkce říká se nakonec mít jistotu vlastnictví, pokud nemá uvedenou vlastnost ve všech svých seřazených instancích, ale bude po uplynutí několika instancí.[1] Použití termínu „nakonec“ lze často přeformulovat jako „pro dostatečně velké počty“,[2] a lze je také rozšířit na třídu vlastností, které platí pro prvky libovolného objednaná sada (jako jsou sekvence a podmnožiny ).
Zápis
Obecná forma fráze nakonec (nebo dostatečně velký) Nalezeno se zobrazí takto:
- je nakonec platí pro platí pro dostatečně velký )
což je vlastně zkratka pro:
- takhle je pravda
nebo o něco formálnější:
To nemusí nutně znamenat, že nějaká konkrétní hodnota pro je známo, ale pouze to, že takový existuje.[1] Fráze „dostatečně velká“ by neměla být zaměňována s frázemi.libovolně velké „nebo“nekonečně velký ". Více viz Libovolně velké # Libovolně velké vs. dostatečně velké vs. nekonečně velké.
Motivace a definice
Pro nekonečnou sekvenci se člověk často více zajímá o dlouhodobé chování sekvence než o chování, které vykazuje brzy. V takovém případě je jedním ze způsobů, jak formálně zachytit tento koncept, říci, že posloupnost má určitou vlastnost nakonec, nebo ekvivalentně, že vlastnost je uspokojena jedním z jejích podsekvence.[3]
Například definice posloupnosti reálných čísel konvergující k některým omezit je:
- Pro každé kladné číslo , existuje kladné číslo takové, že pro všechny , .
Když termín „nakonec" se používá jako zkratka pro „existuje kladné číslo takové, že pro všechny „, definici konvergence lze přepracovat jednodušeji jako:
- Pro každé kladné číslo , nakonec .[1]
Zde si všimněte, že množina celých čísel, která nesplňují tuto vlastnost, je konečná množina; to znamená, že sada je prázdný nebo má maximální prvek. Výsledkem je, že použití „nakonec“ je v tomto případě synonymem výrazu „pro všechny termíny kromě konečného počtu“ - a speciální případ výrazu „pro téměř všechny výrazy „(i když„ téměř všechny “lze použít i pro nekonečně mnoho výjimek).
Na základní úrovni lze posloupnost považovat za funkci s přirozená čísla jako jeho doména, a pojem „nakonec“ se vztahuje i na funkce na obecnějších množinách - zejména na ty, které mají pořadí bez největší prvek.
Přesněji řečeno, pokud je taková množina a existuje prvek v taková, že funkce je definován pro všechny prvky větší než , pak říká se, že nakonec má nějakou vlastnost, pokud existuje prvek tak, že kdykoli , má uvedenou vlastnost. Tento pojem se používá například při studiu Odolná pole, což jsou pole tvořená skutečnými funkcemi, z nichž každé má nakonec určité vlastnosti.
Příklady
- „Všechna prvočísla nad 2 jsou lichá“ lze zapsat jako „Nakonec jsou všechna prvočísla lichá.“
- Nakonec jsou všechna prvočísla shodná s ± 1 mod 6.
- Čtverec prvočísla je nakonec shodný s 1 modem 24 (vzhledem k tomu, že prvočíslo je nad 3).
- The faktoriál celého čísla nakonec končí 0 (vzhledem k tomu, že celé číslo je nad 4).
Důsledky
Když posloupnost nebo funkce má vlastnost nakonec, může mít užitečné důsledky v kontextu dokazování něčeho ve vztahu k této posloupnosti. Například v souvislosti s asymptotickým chováním určitých funkcí může být užitečné vědět, zda se nakonec chová jinak, než by bylo nebo mohlo být pozorováno výpočetně, protože jinak by si toho nebylo možné všimnout.[Citace je zapotřebí ]
Termín „nakonec“ lze také začlenit do mnoha matematických definic, aby byly stručnější. Patří mezi ně definice některých typů limity (nakonec platí libovolná vazba) a Velká O notace pro popis asymptotického chování.[1]
Jiná použití v matematice
- A 3-potrubí se nazývá dostatečně velký, pokud obsahuje správně vložený 2stranný nestlačitelný povrch. Tato vlastnost je hlavním požadavkem, aby se 3-variátor nazýval a Haken potrubí.
Viz také
Reference
- ^ A b C d „Definitivní glosář vyššího matematického žargonu - nakonec“. Matematický trezor. 2019-08-01. Citováno 2019-11-20.
- ^ Weisstein, Eric W. „Dostatečně velký“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2019-11-20.
- ^ Weisstein, Eric W. "Nakonec". mathworld.wolfram.com. Citováno 2019-11-20.