Kelvinova cirkulační věta - Kelvins circulation theorem - Wikipedia

v mechanika tekutin, Kelvinova cirkulační věta (pojmenoval podle William Thomson, 1. baron Kelvin který ji publikoval v roce 1869) uvádí V barotropní ideální tekutina s konzervativními silami těla, oběh kolem uzavřené křivky (která obklopuje stejné prvky tekutiny) pohybující se s tekutinou zůstává časem konstantní.^[1][2] Matematicky uvedeno:

${ displaystyle { frac { mathrm {D} Gamma} { mathrm {D} t}} = 0}$

kde ${ displaystyle Gamma}$ je oběh kolem kontury materiálu ${ displaystyle C (t)}$. Jednodušeji řečeno, tato věta říká, že pokud pozorujeme uzavřený obrys v jednom okamžiku a sledujeme obrys v čase (sledováním pohybu všech jeho fluidních prvků), je oběh na dvou místech tohoto obrysu stejný.

Tato věta neplatí v případech s viskózními napětími, nekonzervativními tělesnými silami (například a Coriolisova síla ) nebo nebarotropní vztahy hustoty a tlaku.

Matematický důkaz

Oběh ${ displaystyle Gamma}$ kolem uzavřeného obrysu materiálu ${ displaystyle C (t)}$ je definováno:

${ displaystyle Gamma (t) = mast _ {C} { boldsymbol {u}} cdot mathrm {d} { boldsymbol {s}}}$

kde u je vektor rychlosti a ds je prvek podél uzavřeného obrysu.

Řídící rovnice pro inviscidní tekutinu s konzervativní tělesnou silou je

${ displaystyle { frac { mathrm {D} { boldsymbol {u}}} { mathrm {D} t}} = - { frac {1} { rho}} { boldsymbol { nabla}} p + { boldsymbol { nabla}} Phi}$

kde D / Dt je konvektivní derivát, ρ je hustota tekutin, p je tlak a Φ je potenciál pro sílu těla. Jedná se o Eulerovy rovnice s tělesnou silou.

Podmínka barotropicity znamená, že hustota je funkcí pouze tlaku, tj. ${ displaystyle rho = rho (p)}$.

Užívání konvektivní derivace oběhu dává

${ displaystyle { frac { mathrm {D} Gamma} { mathrm {D} t}} = masti _ {C} { frac { mathrm {D} { boldsymbol {u}}} { mathrm {D} t}} cdot mathrm {d} { boldsymbol {s}} + mast _ {C} { boldsymbol {u}} cdot { frac { mathrm {D} mathrm {d } { boldsymbol {s}}} { mathrm {D} t}}.}$

U prvního členu dosadíme z řídící rovnice a poté použijeme Stokesova věta, tím pádem:

${ displaystyle mast _ {C} { frac { mathrm {D} { boldsymbol {u}}} { mathrm {D} t}} cdot mathrm {d} { boldsymbol {s}} = int _ {A} { boldsymbol { nabla}} times left (- { frac {1} { rho}} { boldsymbol { nabla}} p + { boldsymbol { nabla}} Phi right) cdot { boldsymbol {n}} , mathrm {d} S = int _ {A} { frac {1} { rho ^ {2}}} left ({ boldsymbol { nabla}} rho times { boldsymbol { nabla}} p right) cdot { boldsymbol {n}} , mathrm {d} S = 0.}$

Konečná rovnost vzniká od roku ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} rho times { boldsymbol { nabla}} p = 0}$ kvůli barotropicitě. Využili jsme také skutečnost, že zvlnění libovolného přechodu je nutně 0, nebo ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} krát { boldsymbol { nabla}} f = 0}$ pro jakoukoli funkci ${ displaystyle f}$.

U druhého členu si všimneme, že vývoj prvku hmotné čáry je dán vztahem

${ displaystyle { frac { mathrm {D} mathrm {d} { boldsymbol {s}}} { mathrm {D} t}} = left ( mathrm {d} { boldsymbol {s}} cdot { boldsymbol { nabla}} vpravo) { boldsymbol {u}}.}$

Proto

${ displaystyle mast _ {C} { boldsymbol {u}} cdot { frac { mathrm {D} mathrm {d} { boldsymbol {s}}} { mathrm {D} t}} = mast _ {C} { boldsymbol {u}} cdot left ( mathrm {d} { boldsymbol {s}} cdot { boldsymbol { nabla}} right) { boldsymbol {u}} = { frac {1} {2}} mast _ {C} { boldsymbol { nabla}} left (| { boldsymbol {u}} | ^ {2} right) cdot mathrm {d } { boldsymbol {s}} = 0.}$

Poslední rovnost se získá aplikací gradientní věta.

Protože oba termíny jsou nulové, získáme výsledek

${ displaystyle { frac { mathrm {D} Gamma} { mathrm {D} t}} = 0.}$

Poincaré – Bjerknesova cirkulační věta

Podobný princip, který zachovává kvantitu, lze získat také pro rotující rám, známý jako Poincaré – Bjerknesova věta, pojmenovaná po Henri Poincaré a Vilhelm Bjerknes, který odvodil invariant v roce 1893^[3][4] a 1898.^[5][6] Věta může být aplikována na rotující rám, který se otáčí konstantní úhlovou rychlostí danou vektorem ${ displaystyle { boldsymbol { Omega}}}$, pro upravený náklad

${ displaystyle Gamma (t) = mast _ {C} ({ boldsymbol {u}} + { boldsymbol { Omega}} times { boldsymbol {r}}) cdot mathrm {d} { boldsymbol {s}}}$

Tady ${ displaystyle { boldsymbol {r}}}$ je poloha oblasti tekutiny. Z Stokesova věta, tohle je:

${ displaystyle Gamma (t) = int _ {A} { boldsymbol { nabla}} krát ({ boldsymbol {u}} + { boldsymbol { Omega}} krát { boldsymbol {r} }) cdot { boldsymbol {n}} , mathrm {d} S = int _ {A} ({ boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol {u}} + 2 { boldsymbol { Omega}}) cdot { boldsymbol {n}} , mathrm {d} S}$

Viz také

• Bernoulliho princip
• Eulerovy rovnice (dynamika tekutin)
• Helmholtzovy věty
• Termomagnetická konvekce

Poznámky