Efektivní rozdělení bez závisti - Efficient envy-free division

Efektivita a spravedlnost jsou dva hlavní cíle ekonomie blahobytu. Vzhledem k sadě zdrojů a sadě agentů je cílem rozdělit zdroje mezi agenty způsobem, který je obojí Pareto efektivní (PE) a bez závisti (EF). Cíl byl poprvé definován David Schmeidler a Menahem Yaari.^[1] Později byla existence takových alokací prokázána za různých podmínek.

Existence přidělování PEEF

Předpokládáme, že každý agent má preferenční vztah na množině všech balíčků komodit. Předvolby jsou úplné, přechodné a uzavřené. Ekvivalentně může být každý preferenční vztah reprezentován funkcí nepřetržitého užitku.^[2]:79

Slabě konvexní preference

Věta 1 (Varian):^[2]:68 Pokud jsou předvolby všech agentů konvexní a silně monotónní, pak existují přidělení PEEF.

Důkaz: Důkaz se opírá o existenci a konkurenční rovnováha se stejnými příjmy. Předpokládejme, že všechny zdroje v ekonomice jsou rovnoměrně rozděleny mezi agenty. Tj. Pokud je celková dotace ekonomiky ${ displaystyle E}$, pak každý agent ${ displaystyle i v 1, tečky, n:}$ obdrží počáteční dotaci ${ displaystyle E_ {i} = E / n}$.

Protože předvolby jsou konvexní, Šipka – Debreuův model znamená, že existuje konkurenční rovnováha. Tj. Existuje cenový vektor ${ displaystyle P}$ a oddíl ${ displaystyle X}$ takové, že:

• (CE) Všichni agenti maximalizují své služby vzhledem k jejich rozpočtu. Tj. Pokud ${ displaystyle P cdot Y leq P cdot X_ {i}}$ pak ${ displaystyle Y preceq _ {i} X_ {i}}$.
• (EI) Všichni agenti mají v rovnovážných cenách stejný příjem: pro všechny ${ displaystyle i, j: P cdot X_ {i} = P cdot X_ {j}}$.

Taková alokace je vždy EF. Důkaz: podle (EI) podmínky, pro každého ${ displaystyle i, j: P cdot X_ {j} leq P cdot X_ {i}}$. Z tohoto důvodu (CE) podmínkou, ${ displaystyle X_ {j} preceq _ {i} X_ {i}}$.

Protože předvolby jsou monotóní, jakákoli taková alokace je také PE, protože z toho vyplývá monotónnost místní nesatiace. Vidět základní věty ekonomiky blahobytu.

Příklady

Všechny příklady zahrnují ekonomiku se dvěma zboží, x a y, a dva agenti, Alice a Bob. Ve všech příkladech jsou nástroje slabě konvexní a spojité.

A. Mnoho přídělů PEEF: Celková dotace je (4,4). Alice a Bob ano lineární nástroje, zastupující náhradní zboží:

${ displaystyle u_ {A} (x, y) = 2x + y}$,

${ displaystyle u_ {B} (x, y) = x + 2y}$.

Nástroje jsou slabě konvexní a silně monotónní. Existuje mnoho alokací PEEF. Pokud Alice obdrží alespoň 3 jednotky x, pak je její užitečnost 6 a ona Bobovi nezávidí. Podobně, pokud Bob obdrží alespoň 3 jednotky y, nezávidí Alici. Alokace [(3,0); (1,4)] je PEEF s nástroji (6,9). Podobně alokace [(4,0); (0,4)] a [(4,0,5); (0,3,5)] jsou PEEF. Na druhou stranu, alokace [(0,0); (4,4)] je PE, ale ne EF (Alice závidí Bobovi); alokace [(2,2); (2,2)] je EF, ale ne PE (nástroje jsou (6,6), ale lze je vylepšit např. na (8,8)).

B. V zásadě jediná alokace PEEF: Celková dotace je (4,2). Alice a Bob ano Nástroje Leontief, zastupující doplňkové zboží:

${ displaystyle u_ {A} (x, y) = u_ {B} (x, y) = min (x, y)}$.

Všimněte si, že nástroje jsou slabě konvexní a pouze slabě monotónní. Stále existuje alokace PEEF. Rovná alokace [(2,1); (2,1)] je PEEF s užitným vektorem (1,1). EF je zřejmý (každá stejná alokace je EF). Pokud jde o PE, všimněte si, že oba agenti nyní chtějí pouze y, takže jediným způsobem, jak zvýšit užitečnost agenta, je odebrat nějaké y od druhého agenta, ale tím se sníží užitečnost druhého agenta. I když existují další alokace PEEF, např. [(1.5,1); (2.5,1)], všechny mají stejný užitný vektor z (1,1), protože není možné dát oběma látkám více než 1.^[3]

Topologické podmínky v prostoru efektivních alokací

Přidělení PEEF existuje, i když preference agentů nejsou konvexní. Existuje několik dostatečných podmínek, které souvisejí s tvarem množiny alokací odpovídajícím konkrétnímu efektivnímu profilu užitku. GIven a utility-vector u, define A (u) = the set of all allocations for which the utility-profile is u. Následující postupně obecnější věty byly prokázány různými autory:

Věta 2 (Varian):^[2]:69 Předpokládejme, že preference všech agentů jsou silně monotónní. Pokud pro každého Slabě Pareto efektivní utility-profil u, množina A (u) je singleton (tj. neexistují žádná dvě přidělení WPE tak, aby byli všichni agenti mezi nimi lhostejní), pak existují přidělení PEEF.

Důkaz používá Lema Knaster – Kuratowski – Mazurkiewicz.

Poznámka: Podmínky ve větě 1 a ve větě 2 jsou nezávislé - žádný z nich neznamená druhou. Nicméně, přísná konvexnost preferencí znamená oba. Je zřejmé, že striktní konvexnost implikuje slabou konvexnost (věta 1). Chcete-li vidět, že to znamená podmínku věty 2, předpokládejme, že existují dvě různá alokace x, y se stejným užitným profilem u. Definujte z = x / 2 + y / 2. Díky přísné konvexitě všichni agenti striktně upřednostňují z na x a na y. Proto x a y nemohou být slabě PE.

Věta 3 (Svensson):^[4] Pokud jsou preference všech agentů silné monotónní, a pro každý PE obslužný profil u je množina A (u) konvexní, pak existují přidělení PEEF.

Důkaz používá Kakutaniho věta o pevném bodě.

Poznámka: pokud jsou preference všech agentů konvexní (jako ve větě 1), pak A (u) je samozřejmě také konvexní. Navíc, pokud A (u) je singleton (jako ve větě 2), pak je také zjevně konvexní. Svenssonova věta je tedy obecnější než obě Varianovy věty.

Věta 4 (Diamantaras):^[5] Pokud jsou preference všech agentů silné monotónní a pro každý obslužný profil PE u je množina A (u) a smluvní prostor (lze průběžně zmenšovat na bod v tomto prostoru), pak existují přidělení PEEF.

Důkaz používá teorém s pevným bodem od Eilenberga a Montgomeryho.^[6]

Poznámka: Každá konvexní množina je kontrakční, takže Diamantarasova věta je obecnější než předchozí tři.

Sigma-optimálnost

Svensson prokázal další dostatečnou podmínku pro existenci alokací PEEF. Všechny předvolby jsou opět reprezentovány nepřetržitými obslužnými funkcemi. Kromě toho jsou všechny užitné funkce ve vnitřním prostoru spotřeby neustále diferencovatelné.

Hlavní koncept je sigma-optimálnost. Předpokládejme, že pro každého agenta vytvoříme k kopií se stejnými preferencemi. Nechat X být alokací v původní ekonomice. Nechat Xk být přidělením v k-replikované ekonomice, kde všechny kopie stejného agenta obdrží stejný balíček jako původní agent v X. X je nazýván sigma-optimální pokud pro každého k, alokace Xk je Pareto-optimální.

Lemma:^[7]:528 Alokace je sigma-optimální, pokud a pouze, pokud je a konkurenční rovnováha.

Věta 5 (Svensson):^[7]:531 pokud jsou všechny Pareto-optimální alokace sigma-optimální, pak existují PEEF alokace.

Zvyšování mezních výnosů

Přidělení PEEF nemusí existovat, i když jsou všechny preference konvexní, pokud existuje produkce a technologie má rostoucí-marginální návratnost.

Tvrzení 6 (Vohra):^[8] Tzde existují ekonomiky, ve kterých jsou všechny preference nepřetržitě silně monotónní a konvexní, jediným zdrojem nekonvexnosti v technologii jsou fixní náklady a neexistuje žádná alokace PEEF.

Přítomnost zvyšujících se výnosů tedy zavádí zásadní konflikt mezi efektivitou a spravedlností.

Závistivost lze však oslabit následujícím způsobem. Alokace X je definována jako v podstatě bez závisti (EEF) pokud pro každého agenta i, existuje proveditelná alokace Yi se stejným profilem obsluhy (všichni agenti jsou mezi X a Yi lhostejní), ve kterém agent i nikomu nezávidí. Je zřejmé, že každá EF alokace je EEF, protože můžeme vzít Yi jako X pro všechna i.

Věta 7 (Vohra):^[8] Předpokládejme, že preference všech agentů jsou silně monotónní, a reprezentované nepřetržitými funkcemi obslužného programu. Pak existují Pareto-efektivní alokace EEF.

Neexistence přidělování PEEF

Konvexní preference

Přidělení PEEF nemusí existovat ani bez produkce, pokud jsou předvolby nekonvexní.

Jako příklad předpokládejme, že celková dotace je (4,2) a Alice a Bob mají stejné konkávní nástroje:

${ displaystyle u_ {A} (x, y) = u_ {B} (x, y) = max (x, y)}$.

Rovná alokace [(2,1); (2,1)] je EF s užitným vektorem (2,2). Navíc, každý Přidělení EF musí dát oběma agentům stejnou užitečnost (protože mají stejnou užitnou funkci) a tato utilita může být nanejvýš 2. Žádná taková alokace však není PE, protože v ní Pareto dominuje alokace [(4,0); (0,2)] jehož užitný vektor je (4,2).

Neexistence přetrvává, i když oslabujeme závistlivost žádná nadvláda - žádný agent nezíská z každého zboží více než jiný agent.

Tvrzení 8 (Maniquet):^[9] Existují 2-dobré ekonomiky dělení na 3 agenty s přísně monotónními, kontinuálními a dokonce diferencovatelnými preferencemi, kde dominuje každá Pareto efektivní alokace.

Nalezení alokace PEEF

U dvou agentů upravený postup výherce je jednoduchý postup, který najde přidělení PEEF se dvěma dalšími vlastnostmi: přidělení je také spravedlivé a mezi dvěma agenty je sdílen nanejvýš jeden statek.

Pro tři nebo více agentů s lineárními obslužnými nástroji libovolní Nashově optimální alokace je PEEF. Nash-optimální alokace je alokace, která maximalizuje produkt utilit agentů nebo ekvivalentně součet logaritmů utilit. Nalezení takové alokace je a konvexní optimalizace problém:

${ displaystyle { text {maximize}} sum _ {i = 1} ^ {n} log (u_ {i} (X_ {i})) ~~~ { text {takový, že}} ~~~ (X_ {1}, ldots, X_ {n}) ~~~ { text {je oddíl}} ~~~}$.

a proto jej lze najít efektivně. Skutečnost, že každá Nashova optimální alokace je PEEF, platí i v obecnějším nastavení spravedlivé krájení dortu.^[10]

Důkaz: Zvažte nekonečně malý kousek dortu, Z. Pro každého agenta i, nekonečně malý příspěvek Z na ${ displaystyle log (u_ {i} (X_ {i}))}$je

${ displaystyle u_ {i} (Z) cdot {d log (u_ {i} (X_ {i})) nad d (u_ {i} (X_ {i}))} = {u_ {i} (Z) nad u_ {i} (X_ {i})}}$.

Proto pravidlo Nashova optima dává každému takovému dílu Z agentovi j pro které je tento výraz největší:

${ displaystyle forall j in [n]: Z subseteq X_ {j} iff forall i in [n]: {u_ {j} (Z) over u_ {j} (X_ {j}) } geq {u_ {i} (Z) nad u_ {i} (X_ {i})}}$

Součet všech nekonečně malých podskupin X_j, dostaneme:

${ displaystyle forall i, j in [n]: {u_ {j} (X_ {j}) over u_ {j} (X_ {j})} geq {u_ {i} (X_ {j} ) přes u_ {i} (X_ {i})}}$

Z toho vyplývá definice alokace bez závisti:

${ displaystyle forall i, j in [n]: {u_ {i} (X_ {i})} geq {u_ {i} (X_ {j})}}$

Viz také

• Wellerova věta - o existenci přidělování PEEF při krájení dortů.
• Další související věty od Hal Varian najdete v.^[11]
• Věty o alokacích PEEF v ekonomikách s produkcí lze najít v.^[12]

Reference