Cornish – Fisherova expanze - Cornish–Fisher expansion - Wikipedia

The Cornish – Fisherova expanze je asymptotická expanze slouží k přiblížení kvantily a rozdělení pravděpodobnosti na základě jeho kumulanty.^[1][2][3][4]

Je pojmenován po E. A. Cornish a R. A. Fisher, který tuto techniku ​​poprvé popsal v roce 1937.^[1]

Definice

Pro náhodnou proměnnou X s průměrem μ, rozptylem σ² a kumulanty κ_n, jeho hodnota y_p v kvantilu p lze odhadnout jako ${ displaystyle y_ {p} přibližně mu + sigma w}$ kde:^[3]

${ displaystyle { begin {aligned} w & = & x & + left [ gamma _ {1} h_ {1} (x) right] &&& + left [ gamma _ {2} h_ {2} ( x) + gamma _ {1} ^ {2} h_ {11} (x) right] &&& + left [ gamma _ {3} h_ {3} (x) + gamma _ {1} gamma _ {2} h_ {12} (x) + gamma _ {1} ^ {3} h_ {111} (x) right] &&& + cdots end {zarovnáno}}}$

${ displaystyle { begin {aligned} x & = Phi ^ {- 1} (p) gamma _ {r-2} & = { frac { kappa _ {r}} { kappa _ {2 } ^ {r / 2}}}; ; r in {3,4, ldots } h_ {1} (x) & = { frac { mathrm {He} _ {2} ( x)} {6}} h_ {2} (x) & = { frac { mathrm {He} _ {3} (x)} {24}} h_ {11} (x) & = - { frac { left [2 mathrm {He} _ {3} (x) + mathrm {He} _ {1} (x) right]} {36}} h_ {3} (x ) & = { frac { mathrm {He} _ {4} (x)} {120}} h_ {12} (x) & = - { frac { left [ mathrm {He} _ { 4} (x) + mathrm {He} _ {2} (x) right]} {24}} h_ {111} (x) & = { frac { left [12 mathrm {He} _ {4} (x) +19 mathrm {He} _ {2} (x) right]} {324}} end {zarovnáno}}}$

kde on_n je n^th pravděpodobnostní Poustevnický polynom. Hodnoty y₁ a y₂ jsou náhodné proměnné šikmost a (přebytek) špičatost resp. Hodnoty v každé sadě závorek jsou výrazy pro danou úroveň polynomiálního odhadu a všechny musí být vypočítány a zkombinovány, aby byla platnost expanze Cornish-Fisher na této úrovni platná.

Příklad

Nechat X být náhodná proměnná s průměrem 10, rozptylem 25, šikmým sklonem 5 a nadměrnou špičatostí 2. K odhadu kvantilů této náhodné proměnné můžeme použít první dva závorky uvedené výše, které závisí pouze na šikmosti a špičatosti. Pro 95. percentil je hodnota, pro kterou je standardní funkce normálního kumulativního rozdělení 0,95, 1,644854, což budeX. The w hmotnost lze vypočítat jako:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} 1,644854 & + 5 cdot { frac {1,644854 ^ {2} -1} {6}} & + 2 cdot { frac {1,644854 ^ {3} -3 cdot 1.644854} {24}} - 5 ^ {2} { frac {2 cdot 1.644854 ^ {3} -5 cdot 1.644854} {36}} end {zarovnáno}}}$

nebo přibližně 2,55621. Odhadovaný 95. percentil z X je 10 + 5 × 2,55621 nebo přibližně 22,781. Pro srovnání by 95. percentil normální náhodné proměnné s průměrem 10 a rozptylem 25 byl asi 18 224; dává smysl, že normální náhodná proměnná má nižší hodnotu 95. percentilu, protože normální rozdělení nemá žádné zkosení ani nadměrnou špičatost, a má tedy tenčí ocas než náhodná proměnnáX.

Reference