Eckhausova rovnice - Eckhaus equation - Wikipedia

v matematická fyzika, Eckhausova rovnice - nebo Kundu – Eckhausova rovnice - je nelineární parciální diferenciální rovnice v rámci nelineární Schrödinger třída:^[1]

${ displaystyle i psi _ {t} + psi _ {xx} +2 vlevo (| psi | ^ {2} vpravo) _ {x} , psi + | psi | ^ {4} , psi = 0.}$

Rovnici nezávisle zavedl Wiktor Eckhaus a Anjan Kundu k modelování šíření vlny v disperzní média.^[2][3]

Linearizace

Animace a vlnový paket řešení Eckhausovy rovnice. Modrá čára je skutečná část řešení je červená čára imaginární část a černá čára je vlnová obálka (absolutní hodnota ). Všimněte si asymetrie v obálce ${ displaystyle | psi (x, t) |}$ pro Eckhausovu rovnici, zatímco obálka ${ displaystyle | varphi (x, t) |}$ - odpovídajícího řešení lineární Schrödingerovy rovnice - je symetrický (v ${ displaystyle x}$). Krátké vlny v paketu se šíří rychleji než dlouhé vlny.

Animace vlnový paket řešení lineární Schrödingerova rovnice - odpovídá výše uvedené animaci pro Eckhausovu rovnici. Modrá čára je skutečná část řešení, červená čára je imaginární část, černá čára je vlnová obálka (absolutní hodnota ) a zelená čára je těžiště obálky vlnového paketu.

Eckhausova rovnice může být linearizovaný do lineární Schrödingerova rovnice:^[4]

${ displaystyle i varphi _ {t} + varphi _ {xx} = 0,}$

prostřednictvím nelineární transformace:^[5]

${ displaystyle varphi (x, t) = psi (x, t) , exp vlevo ( int _ {- infty} ^ {x} | psi (x ^ { prime}, t) | ^ {2} ; { text {d}} x ^ { prime} right).}$

Inverzní transformace je:

${ displaystyle psi (x, t) = { frac { varphi (x, t)} { displaystyle left (1 + 2 , int _ {- infty} ^ {x} | varphi ( x ^ { prime}, t) | ^ {2} ; { text {d}} x ^ { prime} right) ^ {1/2}}}.}$

Tato linearizace také naznačuje, že Eckhausova rovnice je integrovatelný.

Poznámky

Reference

• Ablowitz, M.J.; Ahrens, C.D .; De Lillo, S. (2005), „O„ kvazi “integrovatelné diskrétní Eckhausově rovnici“, Časopis nelineární matematické fyziky, 12 (Dodatek 1): 1–12, Bibcode:2005JNMP ... 12S ... 1A, doi:10.2991 / jnmp.2005.12.s1.1
• Calogero, F.; De Lillo, S. (1987), „The Eckhaus PDE iψ_t + ψ_xx+ 2 (| ψ |²)_X ψ + | ψ |⁴ ψ = 0 ", Inverzní problémy, 3 (4): 633–682, Bibcode:1987InvPr ... 3..633C, doi:10.1088/0266-5611/3/4/012
• Eckhaus, W. (1985), Dlouhodobé chování narušených vlnových rovnic a souvisejících problémů, Katedra matematiky, Univerzita v Utrechtu, Předtisk č. 404.
  Publikováno částečně v: Eckhaus, W. (1986), „The long-time behavior for perturbed wave-equations and related problems“, in Kröner, E .; Kirchgässner, K. (eds.), Trendy v aplikacích čisté matematiky na mechaniku, Přednášky z fyziky, 249, Berlín: Springer, s. 168–194, doi:10.1007 / BFb0016391, ISBN  978-3-540-16467-8
• Kundu, A. (1984), „Landau – Lifshitz a měřidlo nelineárních systémů vyššího řádu generované z nelineárních rovnic Schrödingerova typu“, Journal of Mathematical Physics, 25: 3433–3438, Bibcode:1984JMP .... 25,3433 tis, doi:10.1063/1.526113
• Taghizadeh, N .; Mirzazadeh, M .; Tascan, F. (2012), „První integrální metoda aplikovaná na Eckhausovu rovnici“, Aplikovaná matematická písmena, 25 (5): 798–802, doi:10.1016 / j.aml.2011.10.021
• Zwillinger, D. (1998), Příručka diferenciálních rovnic (3. vydání), Academic Press, ISBN  978 0 12 784396 4