Cesty zemského řezu - Earth section paths

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto problémech na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) Téma tohoto článku nemusí splňovat požadavky Wikipedie obecný pokyn k notabilitě. Pomozte prosím určit notabilitu citováním spolehlivé sekundární zdroje to jsou nezávislý tématu a poskytnout jeho významné pokrytí nad rámec pouhé triviální zmínky. Pokud nelze určit významnost, je pravděpodobné, že článek bude sloučeny, přesměrovánnebo smazáno. Najít zdroje: "Cesty zemského řezu"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Únor 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Cesty zemského řezu"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Leden 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) tento článek případně obsahuje původní výzkum. Prosím vylepši to podle ověřování vznesené nároky a přidání vložené citace. Výroky sestávající pouze z původního výzkumu by měly být odstraněny. (Leden 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Cesty zemského řezu jsou cesty na Zemi definované křižovatkou a referenční elipsoid a letadlo. Mezi běžné příklady pozemských řezů patří velká elipsa a normální řezy. Tato stránka poskytuje sjednocující přístup ke všem zemským sekcím a jejich přidruženým geodetické problémy.

Nepřímý problém

Nepřímým problémem pro zemské úseky je: daný dvěma body ${ displaystyle P_ {1}}$ a ${ displaystyle P_ {2}}$ na povrchu referenčního elipsoidu najděte délku, ${ displaystyle s_ {12}}$, krátkého oblouku sféroidního úseku z ${ displaystyle P_ {1}}$ na ${ displaystyle P_ {2}}$ a také najít odjezd a příjezd (odkaz na skutečný sever) azimuty té křivky, ${ displaystyle alpha _ {1}}$ a ${ displaystyle alpha _ {2}}$. Nechat ${ displaystyle P_ {k}}$ mít geodetickou šířku ${ displaystyle phi _ {k}}$ a zeměpisná délka ${ displaystyle lambda _ {k}}$ (k = 1,2). Tento problém je nejlépe vyřešit pomocí analytická geometrie v ECEF souřadnice ${ displaystyle R_ {1} = ECEF (P_ {1})}$ a ${ displaystyle R_ {2} = ECEF (P_ {2})}$ být souřadnice ECEF dvou bodů, vypočítané pomocí diskutovaných geodetických transformací ECEF tady.

Rovina řezu

Chcete-li definovat rovinu řezu, vyberte libovolný třetí bod ${ displaystyle R_ {0}}$ není na řádku z ${ displaystyle R_ {1}}$ na ${ displaystyle R_ {2}}$. Výběr ${ displaystyle R_ {0}}$ být na povrchu normální v ${ displaystyle P_ {1}}$ definuje normální sekci na ${ displaystyle P_ {1}}$. Li ${ displaystyle R_ {0}}$ je původ, pak zemská část je velká elipsa. (Počátek by byl kolineární se 2 antipodálními body, takže v takovém případě musí být použit jiný bod). Protože existuje nekonečně mnoho možností ${ displaystyle R_ {0}}$, výše uvedený problém je ve skutečnosti třídou problémů (jeden pro každé letadlo). Nechat ${ displaystyle R_ {0}}$ být dán. Chcete-li dát rovnici roviny do standardního tvaru, ${ displaystyle lx + my + nz = d}$, kde ${ displaystyle l ^ {2} + m ^ {2} + n ^ {2} = 1}$, vyžaduje komponenty a jednotkový vektor, ${ displaystyle { hat {N}} = (l, m, n)}$, kolmé k rovině řezu. Tyto komponenty lze vypočítat následovně: Vektor z ${ displaystyle R_ {0}}$ na ${ displaystyle R_ {1}}$ má komponenty ${ displaystyle V_ {0} = R_ {1} -R_ {0}}$a vektor z ${ displaystyle R_ {1}}$ na ${ displaystyle R_ {2}}$ má komponenty ${ displaystyle V_ {1} = R_ {2} -R_ {1}}$. Proto, ${ displaystyle { hat {N}}}$ = ${ displaystyle jednotka (V_ {0}}$×${ displaystyle V_ {1}}$), kde ${ displaystyle jednotka (V)}$ je jednotkový vektor ve směru ${ displaystyle V}$. Zde je použita orientační konvence ${ displaystyle { hat {N}}}$ ukazuje nalevo od cesty. Pokud tomu tak není, předefinujte ${ displaystyle V_ {0}}$ = -${ displaystyle V_ {0}}$. Nakonec lze parametr d pro rovinu vypočítat pomocí Tečkovaný produkt z ${ displaystyle { hat {N}}}$ s vektorem od počátku do libovolného bodu v rovině, například ${ displaystyle R_ {1}}$, tj. d = ${ displaystyle { hat {N}} cdot {R_ {1}}}$. Rovnice roviny (ve vektorové podobě) je tedy ${ displaystyle { hat {N}}}$ ⋅ ${ displaystyle R}$ = d, kde ${ displaystyle R}$ je vektor polohy z (x, y, z).

Azimut

Zkoumání transformace ENU na ECEF ukazuje, že souřadnice ECEF jednotkového vektoru směřujícího na východ v kterémkoli bodě elipsoidu jsou: ${ displaystyle mathbf { hat {e}}}$=${ displaystyle (- sin lambda, cos lambda, 0)}$, jednotkový vektor směřující na sever je ${ displaystyle mathbf { hat {n}}}$=${ displaystyle (- sin phi cos lambda, - sin phi sin lambda, cos phi)}$a jednotkový vektor směřující nahoru je ${ displaystyle mathbf { hat {u}}}$=${ displaystyle ( cos phi cos lambda, cos phi sin lambda, sin phi)}$. Vektor tangenta k cestě je:${ displaystyle mathbf {t} = { hat {N}} krát mathbf { hat {u}}}$ takže východní složka ${ displaystyle mathbf {t}}$ je ${ displaystyle mathbf {t} cdot mathbf { hat {e}}}$a severní složka je ${ displaystyle mathbf {t} cdot mathbf { hat {n}}}$. Azimut lze proto získat z a dvou argumentová arkustangensová funkce, ${ displaystyle alpha}$=${ displaystyle operatorname {atan2} ( mathbf {t} cdot mathbf { hat {e}}, mathbf {t} cdot mathbf { hat {n}})}$. Tuto metodu použijte u obou ${ displaystyle P_ {1}}$ a ${ displaystyle P_ {2}}$ dostat ${ displaystyle alpha _ {1}}$ a ${ displaystyle alpha _ {2}}$.

Sekce elipsa

(Netriviální) průsečík roviny a elipsoidu je elipsa. Proto délka oblouku, ${ displaystyle s_ {12}}$, na úseku cesty z ${ displaystyle P_ {1}}$ na ${ displaystyle P_ {2}}$ je eliptický integrál které lze vypočítat s jakoukoli požadovanou přesností pomocí zkrácené řady. Než to lze provést, musí být definována elipsa a vypočítány limity integrace. ${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {z ^ {2} } {b ^ {2}}} = 1}$a nechte ${ displaystyle p = { sqrt {l ^ {2} + m ^ {2}}}}$.Je-li p = 0, pak je řez vodorovným poloměrem ${ displaystyle a { sqrt {1 - { frac {d ^ {2}} {b ^ {2}}}}}}$, který nemá řešení, pokud ${ displaystyle | d |> b}$.

Pokud p> 0, pak Gilbertson^[1] ukázaly, že souřadnice ECEF středu elipsy jsou ${ displaystyle {R_ {c}} = { frac {d} {C}} (la ^ {2}, ma ^ {2}, nb ^ {2})}$, kde ${ displaystyle C = a ^ {2} p ^ {2} + b ^ {2} n ^ {2}}$,

poloviční hlavní osa je ${ displaystyle a ^ {*} = a { sqrt {1 - { frac {d ^ {2}} {C}}}}}$, ve směru ${ displaystyle mathbf { hat {i ^ {*}}} = ({ frac {m} {p}}, { frac {-l} {p}}, 0)}$, a poloviční vedlejší osa je ${ displaystyle b ^ {*} = { frac {b} { sqrt {C}}} a ^ {*}}$, ve směru ${ displaystyle mathbf { hat {j ^ {*}}} = ({ frac {ln} {p}}, { frac {mn} {p}}, - p)}$, který nemá řešení, pokud ${ displaystyle | d |> { sqrt {C}}}$.

Délka oblouku

Polární forma vzhledem ke středu pro rovnici elipsy je ${ displaystyle R ( theta) = { frac {b ^ {*}} { sqrt {1-e ^ {2} cos ^ {2} theta}}}}$, kde ${ displaystyle e ^ {2} = 1 - { frac {(b ^ {*}) ^ {2}} {(a ^ {*}) ^ {2}}}}$, se týká excentricity elipsy, nikoli excentricity sféroidu (viz elipsa ). Nechť P je bod na elipsě a ${ displaystyle R = ECEF (P)}$, pak vektor z ${ displaystyle {R_ {c}}}$ na ${ displaystyle R}$ má komponenty ${ displaystyle R-R_ {c}}$. Pomocí argumentu podobného tomu pro azimut výše, pojďme ${ displaystyle mathbf { hat {w}} = jednotka (R-R_ {c})}$, pak ${ displaystyle cos theta = mathbf { hat {w}} cdot mathbf { hat {i ^ {*}}}}$, a ${ displaystyle sin theta = mathbf { hat {w}} cdot mathbf { hat {j ^ {*}}}}$, a ${ displaystyle theta = operatorname {atan2} ( sin theta, cos theta)}$. Tímto způsobem získáme středové úhly ${ displaystyle theta _ {1}}$ a ${ displaystyle theta _ {2}}$ souhlasí s ${ displaystyle P_ {1}}$ a ${ displaystyle P_ {2}}$ resp. Je třeba dbát na to, aby to bylo zajištěno ${ displaystyle theta _ {1}}$ ≤ ${ displaystyle theta _ {2}}$ ≤ ${ displaystyle theta _ {1} + pi}$. Pak délka oblouku podél elipsy je dán vztahem ${ displaystyle s_ {12}}$ =${ displaystyle int _ { theta _ {1}} ^ { theta _ {2}} { sqrt {R ^ {2} + (R ^ {'}) ^ {2}}} d theta. }$ Střídání ${ displaystyle R ( theta)}$ výše do tohoto vzorce, provedení označených operací, za použití jednoho dalšího výrazu než Gilbertsonova vyjádření a přeskupení, má za následek ${ displaystyle s_ {12} = ArcLength ( theta _ {1}, theta _ {2}) = b ^ {*} ({c_ {0}} Delta theta + {c_ {1}} Delta s2 + {c_ {2}} Delta s4 + {c_ {3}} Delta s6)}$, kde

${ displaystyle { begin {aligned} Delta theta & = theta _ {2} - theta _ {1}, [6pt] Delta s2 & = sin (2 theta _ {2}) - sin (2 theta _ {1}), [6pt] Delta s4 & = sin (4 theta _ {2}) - sin (4 theta _ {1}), [6pt] Delta s6 & = sin (6 theta _ {2}) - sin (6 theta _ {1}), [6pt] {c_ {0}} & = 1 + e ^ {2} (4096 + 3328e ^ {2} + 2880e ^ {4}) / 16384, [6pt] {c_ {1}} & = e ^ {2} (512 + 384e ^ {2} + 380e ^ {4}) / 4096, [6pt] {c_ {2}} & = - e ^ {4} (64 + 80e ^ {2}) / 16384, [6pt] {c_ {3}} & = - 60e ^ { 6} / 12288. [6pt] end {zarovnáno}}}$

Případně rozšíření pro Poledníkový oblouk lze zde použít nahrazením excentricity sféroidu excentricitou elipsy řezu.

Přímý problém

Přímý problém je uveden ${ displaystyle {P_ {1}}}$, vzdálenost, ${ displaystyle delta}$a odchodový azimut, ${ displaystyle alpha _ {1}}$, najít ${ displaystyle {P_ {2}}}$ a příjezdový azimut, ${ displaystyle alpha _ {2}}$.

Rovina řezu

Vytvořte tečný vektor v ${ displaystyle {P_ {1}}}$, ${ displaystyle mathbf { hat {t_ {1}}} = mathbf { hat {n_ {1}}} cos { alpha _ {1}} + mathbf { hat {e_ {1}} } sin { alpha _ {1}}}$, kde ${ displaystyle mathbf { hat {n_ {1}}}}$ a ${ displaystyle mathbf { hat {e_ {1}}}}$ jsou jednotkové vektory směřující na sever a na východ ${ displaystyle {P_ {1}}}$. Vyberte vektor, ${ displaystyle V_ {0}}$, definovat rovinu řezu, věnovat pozornost orientaci. Dodržujte to ${ displaystyle V_ {0}}$ nesmí být v rozsahu {${ displaystyle mathbf { hat {n_ {1}}}, mathbf { hat {e_ {1}}}}$} (jinak by letadlo bylo tečné k Zemi v ${ displaystyle {P_ {1}}}$, takže by nevznikla žádná cesta). Normální vektor ${ displaystyle { hat {N}}}$ = ${ displaystyle jednotka (V_ {0}}$×${ displaystyle mathbf { hat {t_ {1}}}}$), dohromady s ${ displaystyle {P_ {1}}}$ definuje rovinu.

Lokalizovat ${ displaystyle {P_ {2}}}$

Toto je 2-d problém v rozpětí {${ displaystyle mathbf { hat {i ^ {*}}}, mathbf { hat {j ^ {*}}}}$}, který bude vyřešen pomocí výše uvedeného vzorce délky oblouku. Základním přístupem je použití Newton-Raphsonovy iterace k dosažení ${ displaystyle {P_ {2}}}$. Základem odhadu je, že vektor polohy libovolného bodu na elipsě řezu lze vyjádřit pomocí vektoru polohy středu a středového úhlu jako ${ displaystyle V = {V_ {c}} + {r ( theta)} ( mathbf { hat {i ^ {*}}} cos theta + mathbf { hat {j ^ {*}} } sin theta)}$Chcete-li získat počáteční odhad ${ displaystyle { theta _ {2}}}$, nechť ${ displaystyle {V_ {1}} = {R_ {1}} - R {_ {c}}}$, ${ displaystyle { theta _ {1}}}$= Central_Angle${ displaystyle ({V_ {1}})}$ (viz část délky oblouku výše),${ displaystyle {r_ {1}} = r ({ theta _ {1}})}$, ${ displaystyle Delta theta = { frac { delta} {r_ {1}}}}$.

Nyní inicializujte ${ displaystyle theta _ {2}}$ = ${ displaystyle theta _ {1} + Delta theta}$a opakujte následující kroky:

${ displaystyle { begin {aligned} s & = ArcLength ({ theta _ {1}}, { theta _ {2}}), [6pt] Err & = delta -s, [6pt] s '({ theta}) & = { frac {b ^ {*}} {(1-e ^ {2} cos ^ {2} theta)}} { sqrt { frac {(1- ( 2-e ^ {2}) e ​​^ {2} cos ^ {2} theta} {1-e ^ {2} cos ^ {2} theta}}}, [6pt] Delta theta & = { frac {Err} {s '({ theta _ {2}})}}, [6pt] theta _ {2} & = theta _ {2} + Delta theta, [6pt] end {zarovnáno}}}$

odejít, když ${ displaystyle abs ( Delta theta) <10 ^ {- 12}}$

Obvykle nejsou nutné více než tři iterace, i když téměř antipodální případy mohou být problematické. Nakonec ${ displaystyle {V_ {2}} = {V_ {c}} + {r ( theta _ {2})} ( mathbf { hat {i ^ {*}}} cos theta _ {2} + mathbf { hat {j ^ {*}}} sin theta _ {2})}$, a ${ displaystyle {P_ {2}}}$ = ECEF_to_Geo${ displaystyle ({V_ {2}})}$ pomocí Bowringova algoritmu z roku 1985,^[2] nebo algoritmus tady.

Alternativně lze použít inverzi řady délky oblouku, aby se zabránilo iteracím.

Azimut

Azimut lze získat stejnou metodou jako nepřímý problém: ${ displaystyle { alpha _ {2}}}$=${ displaystyle operatorname {atan2} ( mathbf {t_ {2}} cdot mathbf { hat {e_ {2}}}, mathbf {t_ {2}} cdot mathbf { hat {n_ { 2}}})}$, kde dolní index 2 označuje vyhodnocení přidruženého množství při ${ displaystyle P_ {2}}$.

Příklady

Velká elipsa

Nechat ${ displaystyle R_ {0}}$ být původ, takže ${ displaystyle {V_ {0}}}$ = vektor polohy ${ displaystyle R_ {1}}$. Výše uvedený přístup poskytuje alternativu k přístupu ostatních, jako je Bowring.^[3]

Normální sekce

Normální část v ${ displaystyle P_ {1}}$ je určeno nájmem ${ displaystyle {V_ {0}}}$ = ${ displaystyle mathbf { hat {u_ {1}}}}$ (povrch normální v ${ displaystyle P_ {1}}$). Výše uvedený přístup poskytuje alternativu k přístupu ostatních, jako je Bowring.^[4]

Střední normální část

Střední normální část z ${ displaystyle P_ {1}}$ na ${ displaystyle P_ {2}}$ je určeno pronajmutím ${ displaystyle {V_ {0}}}$ = ${ displaystyle 0.5 ( mathbf { hat {u_ {1}}} + mathbf { hat {u_ {2}}})}$. To je dobrá aproximace geodetické z ${ displaystyle P_ {1}}$ na ${ displaystyle P_ {2}}$ pro letectví nebo plachtění.

Třída sekcí

Třídu sekcí lze představit otáčením ${ displaystyle mathbf { hat {u_ {1}}}}$ o spojování akordů ${ displaystyle P_ {1}}$ a ${ displaystyle P_ {2}.}$ To vše lze vyřešit výše uvedeným jediným přístupem.

Křižovatky

Nechť jsou uvedeny dvě roviny řezu: ${ displaystyle { hat {N_ {1}}}}$⋅${ displaystyle R}$ = ${ displaystyle d_ {1}}$, a ${ displaystyle { hat {N_ {2}}}}$⋅${ displaystyle R}$ = ${ displaystyle d_ {2}}$. Za předpokladu, že dvě roviny nejsou rovnoběžné, je průsečík na obou rovinách. Proto ortogonální k oběma normálům, tj. Ve směru ${ displaystyle { hat {N_ {3}}} = { hat {N_ {1}}} krát { hat {N_ {2}}}}$.

Od té doby ${ displaystyle { hat {N_ {1}}}}$ a ${ displaystyle { hat {N_ {2}}}}$ nejsou kolineární ${ displaystyle { hat {N_ {1}}}}$, ${ displaystyle { hat {N_ {2}}}}$, ${ displaystyle { hat {N_ {3}}}}$ je základem pro ${ displaystyle R ^ {3}}$. Proto existují konstanty ${ displaystyle C_ {1}}$ a ${ displaystyle C_ {2}}$ tak, že přímka dvou rovin je dána vztahem ${ displaystyle R}$ = ${ displaystyle C_ {1} { hat {N_ {1}}}}$ + ${ displaystyle C_ {2} { hat {N_ {2}}}}$ + t${ displaystyle { hat {N_ {3}}}}$, kde t je nezávislý parametr.

Jelikož je tato čára v obou rovinách řezu, vyhovuje oběma: ${ displaystyle C_ {1}}$ + ${ displaystyle C_ {2}}$(${ displaystyle { hat {N_ {1}}}}$·${ displaystyle { hat {N_ {2}}}}$) = ${ displaystyle d_ {1}}$, a ${ displaystyle C_ {1}}$(${ displaystyle { hat {N_ {1}}}}$·${ displaystyle { hat {N_ {2}}}}$) + ${ displaystyle C_ {2}}$ = ${ displaystyle d_ {2}}$.

Řešení těchto rovnic pro ${ displaystyle {C_ {1}}}$ a ${ displaystyle {C_ {2}}}$ dává ${ displaystyle C_ {1}}$ [1 - (${ displaystyle { hat {N_ {1}}} { hat {N_ {2}}}) ^ {2}}$ ] = ${ displaystyle d_ {1}}$ - ${ displaystyle d_ {2}}$(${ displaystyle { hat {N_ {1}}}}$·${ displaystyle { hat {N_ {2}}}}$), a ${ displaystyle C_ {2}}$ [1 - (${ displaystyle { hat {N_ {1}}} { hat {N_ {2}}}) ^ {2}}$ ] = ${ displaystyle d_ {2}}$ - ${ displaystyle d_ {1}}$(${ displaystyle { hat {N_ {1}}}}$·${ displaystyle { hat {N_ {2}}}}$).

Definujte "úhel vzepětí", ${ displaystyle alpha}$tím, že ${ displaystyle cos alpha}$ = ${ displaystyle { hat {N_ {1}}}}$·${ displaystyle { hat {N_ {2}}}}$.Pak ${ displaystyle C_ {1}}$ = ${ displaystyle { frac {(d_ {1} -d_ {2} cos alpha)} { sin ^ {2} alpha}}}$ , a ${ displaystyle C_ {2}}$ = ${ displaystyle { frac {(d_ {2} -d_ {1} cos alpha)} { sin ^ {2} alpha}}}$.

Na křižovatce, kterou máme ${ displaystyle R}$ = ${ displaystyle R_ {0}}$ + t${ displaystyle { hat {N_ {3}}}}$, kde ${ displaystyle R_ {0}}$ = ${ displaystyle C_ {1} { hat {N_ {1}}}}$ + ${ displaystyle C_ {2} { hat {N_ {2}}}}$.Proto: ${ displaystyle x}$ = ${ displaystyle x_ {0}}$ + t${ displaystyle l_ {3}}$, ${ displaystyle y}$ = ${ displaystyle y_ {0}}$ + t${ displaystyle m_ {3}}$, a ${ displaystyle z}$ = ${ displaystyle z_ {0}}$ + t${ displaystyle n_ {3}}$, kde${ displaystyle x_ {0}}$= ${ displaystyle C_ {1} l_ {1}}$ + ${ displaystyle C_ {2} l_ {2}}$, ${ displaystyle y_ {0}}$ = ${ displaystyle C_ {1} m_ {1}}$ + ${ displaystyle C_ {2} m_ {2}}$, a ${ displaystyle z_ {0}}$ = ${ displaystyle C_ {1} n_ {1}}$ +${ displaystyle C_ {2} n_ {2}}$.a ${ displaystyle { hat {N_ {i}}}}$=(${ displaystyle l_ {i}}$,${ displaystyle m_ {i}}$,${ displaystyle n_ {i}}$), pro i = 1,2,3.

Chcete-li najít průsečík této přímky se zemí, zapojte rovnice přímky ${ displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {z ^ {2} } {b ^ {2}}} = 1}$, dostat${ displaystyle At ^ {2} + 2Bt + C = 0}$, kde ${ displaystyle A}$ = ${ displaystyle l_ {3} ^ {2} + m_ {3} ^ {2} + { frac {a ^ {2}} {b ^ {2}}} n_ {3} ^ {2}}$, ${ displaystyle B}$ = ${ displaystyle x_ {0} l_ {3} + y_ {0} m_ {3} + { frac {a ^ {2}} {b ^ {2}}} z_ {0} n_ {3}}$,${ displaystyle C}$ = ${ displaystyle x_ {0} ^ {2} + y_ {0} ^ {2} + { frac {a ^ {2}} {b ^ {2}}} z_ {0} ^ {2} -a ^ {2}}$.

Proto linka protíná Zemi v ${ displaystyle t = { frac {-B pm { sqrt {{B} ^ {2} -AC}}} {A}}}$. Li ${ displaystyle B ^ {2}$, pak neexistuje žádná křižovatka. Li ${ displaystyle B ^ {2} = AC}$, pak je čára tečná k Zemi v ${ displaystyle t = -B / A}$ (tj. řezy se protínají v tomto jediném bodě).

Dodržujte to ${ displaystyle A neq 0}$ od té doby ${ displaystyle { hat {N_ {1}}}}$ a ${ displaystyle { hat {N_ {2}}}}$nejsou kolineární. Zapojení do${ displaystyle R}$ = ${ displaystyle R_ {0}}$ + t${ displaystyle { hat {N_ {3}}}}$, dává průsečíky pozemských řezů.

Příklady

Maximální nebo minimální zeměpisná šířka

na trase pozemského úseku lze nalézt zrušení indexů v daném úseku; ${ displaystyle { hat {N_ {1}}} = (l, m, n)}$, ${ displaystyle d_ {1} = d}$a nastavení ${ displaystyle { hat {N_ {2}}} = (0,0,1)}$, aby ${ displaystyle { hat {N_ {3}}} = (m, -l, 0)}$. Pak vyřešte pro ${ displaystyle d_ {2} = z_ {2}}$ takhle ${ displaystyle B ^ {2} = AC}$.

Od té doby ${ displaystyle B = 0}$, a ${ displaystyle A neq 0}$, musíme mít ${ displaystyle C = 0}$. Zapojení do ${ displaystyle R}$ = ${ displaystyle R_ {0} + t { hat {N_ {3}}}}$, dává průsečíky pozemských řezů. Případně stačí nastavit ${ displaystyle R = {R_ {c}} pm b ^ {*} mathbf { hat {j ^ {*}}}}$.

Maximální nebo minimální délka

na trase pozemského úseku lze nalézt zrušení indexů v daném úseku; ${ displaystyle { hat {N_ {1}}} = (l, m, n)}$, ${ displaystyle d_ {1} = d}$a nastavení ${ displaystyle { hat {N_ {2}}} = (- sin theta, cos theta, 0)}$, kde ${ displaystyle theta}$ je zeměpisná délka, kterou je třeba vyřešit ${ displaystyle B ^ {2} = AC}$.

Případně stačí nastavit ${ displaystyle R = {R_ {c}} pm a ^ {*} mathbf { hat {i ^ {*}}}}$.

Reference