Převod zeměpisných souřadnic - Geographic coordinate conversion - Wikipedia

v geodézie, konverze mezi různými zeměpisná souřadnice systémy je nutné různými geografické souřadnicové systémy používá se po celém světě a v průběhu času. Převod souřadnic se skládá z řady různých typů převodu: změna formátu zeměpisných souřadnic, převod souřadnicových systémů nebo transformace na různé geodetické údaje. Převod zeměpisných souřadnic má aplikace v kartografie, geodetické, navigace a geografické informační systémy.

V geodézii zeměpisná souřadnice konverze je definován jako překlad mezi různými formáty souřadnic nebo mapové projekce všechny odkazovaly na stejný geodetický údaj.^[1] Zeměpisná souřadnice proměna je překlad mezi různými geodetickými údaji. V tomto článku se budeme zabývat převodem i transformací geografických souřadnic.

Tento článek předpokládá, že čtenáři jsou již obeznámeni s obsahem článků geografický souřadnicový systém a geodetický údaj.

Změna jednotek a formátu

Neformálně specifikovat geografické umístění obvykle znamená dát umístění zeměpisná šířka a zeměpisná délka. Číselné hodnoty zeměpisné šířky a délky se mohou vyskytovat v řadě různých jednotek nebo formátů:^[2]

• sexagesimální stupeň: stupňů, minut, a sekundy : 40 ° 26 ′ 46 ″ S 79 ° 58 ′ 56 ″ Z
• stupně a desetinné minuty: 40 ° 26,767 ′ severní šířky 79 ° 58,933 ′ západní délky
• desetinná místa: -40,446 +79,982

K dispozici je 60 minut ve stupni a 60 sekund za minutu. Proto k převodu z formátu stupňů minut sekund na formát desetinných stupňů lze použít vzorec

${ displaystyle { rm {{desetinné stupně} = { rm {{stupně} + { frac { rm {minut}} {60}} + { frac { rm {sekundy}} {3600}} }}}}}$.

Chcete-li převést zpět z formátu desetinných stupňů na formát stupňů minut sekund,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} { rm {stupně}} & = lfloor { rm {{desetinné stupně} rfloor}} { rm {minut}} & = lfloor 60 krát ( { rm {{desetinné stupně} - { rm {{stupně}) rfloor}}}} { rm {sekundy}} & = 3600 krát ({ rm {{desetinné stupně} - { rm {{stupně}) - 60 krát { rm {minut}}}}}} konec {zarovnáno}}}$

Převod souřadnicového systému

Převod souřadnicového systému je převod z jednoho souřadnicového systému do druhého, přičemž oba souřadnicové systémy jsou založeny na stejném geodetickém základně. Mezi běžné konverzní úkoly patří převod mezi geodetickými a ECEF souřadnice a převod z jednoho typu mapové projekce na jiný.

Od geodetických po ECEF souřadnice

Délka PQ, nazývaná hlavní vertikální poloměr, je ${ displaystyle N ( phi)}$. Délka IQ se rovná ${ displaystyle , e ^ {2} N ( phi)}$. ${ displaystyle R = (X, , Y, , Z)}$.

Geodetické souřadnice (zeměpisná šířka ${ displaystyle phi}$zeměpisná délka ${ displaystyle lambda}$, výška ${ displaystyle h}$) lze převést na ECEF souřadnice pomocí následující rovnice:^[3]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} X & = left (N ( phi) + h right) cos { phi} cos { lambda} Y & = left (N ( phi) + h right) cos { phi} sin { lambda} Z & = left ({ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}} N ( phi) + h right) sin { phi} end {zarovnáno}}}$

kde

${ displaystyle N ( phi) = { frac {a ^ {2}} { sqrt {a ^ {2} cos ^ {2} phi + b ^ {2} sin ^ {2} phi }}} = { frac {a} { sqrt {1-e ^ {2} sin ^ {2} phi}}},}$

a ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ jsou rovníkový poloměr (poloviční hlavní osa ) a polární poloměr (poloviční vedlejší osa ). ${ displaystyle e ^ {2} = 1 - { frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}$ je čtverec první numerické excentricity elipsoidu. The hlavní vertikální poloměr zakřivení ${ displaystyle , N ( phi)}$ je vzdálenost od povrchu k ose Z podél normálu elipsoidu (viz „Poloměr zakřivení na Zemi ").

Následující rovnice platí pro zeměpisnou délku stejným způsobem jako v systému geocentrických souřadnic:

${ displaystyle { frac {X} { cos lambda}} - { frac {Y} { sin lambda}} = 0.}$

A následující rovnice platí pro zeměpisnou šířku:

${ displaystyle { frac {p} { cos phi}} - { frac {Z} { sin phi}} - e ^ {2} N ( phi) = 0,}$

kde ${ displaystyle p = { sqrt {X ^ {2} + Y ^ {2}}}}$, jako parametr ${ displaystyle h}$ je eliminován odečtením

${ displaystyle { frac {p} { cos phi}} = N + h}$

a

${ displaystyle { frac {Z} { sin phi}} = { frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}} N + h.}$

The ortogonalita souřadnic je potvrzeno diferenciací:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} { begin {pmatrix} dX dY dZ end {pmatrix}} & = { begin {pmatrix} - sin lambda & - sin phi cos lambda & cos phi cos lambda cos lambda & - sin phi sin lambda & cos phi sin lambda 0 & cos phi & sin phi end {pmatrix}} { begin {pmatrix} dE dN dU end {pmatrix}}, [3pt] { begin {pmatrix} dE dN dU end {pmatrix}} & = { begin {pmatrix} left (N ( phi) + h right) cos phi & 0 & 0 0 & M ( phi) + h & 0 0 & 0 & 1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix } d lambda d phi dh end {pmatrix}}, end {zarovnáno}}}$

kde

${ displaystyle M ( phi) = { frac {a left (1-e ^ {2} right)} { left (1-e ^ {2} sin ^ {2} phi right) ^ { frac {3} {2}}}}}$

(viz také „Meridiánový oblouk na elipsoidu ").

Od ECEF po geodetické souřadnice

Převod souřadnic ECEF na geodetické souřadnice (například WGS84) je stejný jako u geocentrických pro zeměpisnou délku:

${ displaystyle lambda = arctan { frac {Y} {X}}}$.

Převod zeměpisné šířky zahrnuje trochu komplikovaný výpočet a je známo, že je řešen pomocí několika níže uvedených metod. Je však citlivý na malou přesnost kvůli ${ displaystyle Rn}$ a ${ displaystyle h}$ být možná 10⁶ odděleně.^[4][5]

Newton – Raphsonova metoda

Následující Bowringova iracionální rovnice geodetické šířky^[6] je efektivní vyřešit Newton – Raphson metoda iterace:^[7][8]

${ displaystyle kappa -1 - { frac {e ^ {2} a kappa} { sqrt {p ^ {2} + vlevo (1-e ^ {2} vpravo) Z ^ {2} kappa ^ {2}}}} = 0,}$

kde ${ displaystyle kappa = { frac {p} {Z}} tan phi.}$ Výška se počítá jako:

${ displaystyle { begin {aligned} h & = e ^ {- 2} left ( kappa ^ {- 1} - { kappa _ {0}} ^ {- 1} right) { sqrt {p ^ {2} + Z ^ {2} kappa ^ {2}}}, kappa _ {0} & = left (1-e ^ {2} right) ^ {- 1}. End { zarovnaný}}}$

Iterii lze transformovat do následujícího výpočtu:

${ displaystyle kappa _ {i + 1} = { frac {c_ {i} + vlevo (1-e ^ {2} vpravo) Z ^ {2} kappa _ {i} ^ {3}} {c_ {i} -p ^ {2}}} = 1 + { frac {p ^ {2} + left (1-e ^ {2} right) Z ^ {2} kappa _ {i} ^ {3}} {c_ {i} -p ^ {2}}},}$

kde ${ displaystyle c_ {i} = { frac { vlevo (p ^ {2} + vlevo (1-e ^ {2} vpravo) Z ^ {2} kappa _ {i} ^ {2} vpravo) ^ { frac {3} {2}}} {ae ^ {2}}}.}$

Konstanta ${ displaystyle , kappa _ {0}}$ je dobrá počáteční hodnota pro iteraci, když ${ displaystyle h přibližně 0}$. Bowring ukázal, že jediná iterace vytváří dostatečně přesné řešení. Ve své původní formulaci použil další trigonometrické funkce.

Řešení společnosti Ferrari

Kvarická rovnice ${ displaystyle kappa}$, odvozené z výše uvedeného, ​​lze vyřešit Řešení společnosti Ferrari^[9][10] výtěžek:

${ displaystyle { begin {aligned} zeta & = left (1-e ^ {2} right) { frac {z ^ {2}} {a ^ {2}}}, [4pt] rho & = { frac {1} {6}} vlevo ({ frac {p ^ {2}} {a ^ {2}}} + zeta -e ^ {4} vpravo), [4pt] s & = { frac {e ^ {4} zeta p ^ {2}} {4 rho ^ {3} a ^ {2}}}, [4pt] t & = { sqrt [{ 3}] {1 + s + { sqrt {s (s + 2)}}}}, [4pt] u & = rho left (t + 1 + { frac {1} {t}} vpravo ), [4pt] v & = { sqrt {u ^ {2} + e ^ {4} zeta}}, [4pt] w & = e ^ {2} { frac {u + v- zeta} {2v}}, [4pt] kappa & = 1 + e ^ {2} { frac {{ sqrt {u + v + w ^ {2}}} + w} {u + v} }. end {zarovnáno}}}$

Aplikace řešení Ferrari

K dispozici je řada technik a algoritmů, ale podle Zhu jsou nejpřesnější,^[11] je následující postup stanovený společností Heikkinen,^[12] jak uvádí Zhu. Předpokládá se, že geodetické parametry ${ displaystyle {a, , b, , e }}$ jsou známy

${ displaystyle { begin {aligned} r & = { sqrt {X ^ {2} + Y ^ {2}}} [3pt] e '^ {2} & = { frac {a ^ {2} -b ^ {2}} {b ^ {2}}} [3pt] F & = 54b ^ {2} Z ^ {2} [3pt] G & = r ^ {2} + vlevo (1- e ^ {2} right) Z ^ {2} -e ^ {2} left (a ^ {2} -b ^ {2} right) [3pt] c & = { frac {e ^ { 4} Fr ^ {2}} {G ^ {3}}} [3pt] s & = { sqrt [{3}] {1 + c + { sqrt {c ^ {2} + 2c}}}} [3pt] P & = { frac {F} {3 left (s + 1 + { frac {1} {s}} right) ^ {2} G ^ {2}}} [3pt ] Q & = { sqrt {1 + 2e ^ {4} P}} [3pt] r_ {0} & = { frac {-Pe ^ {2} r} {1 + Q}} + { sqrt {{ frac {1} {2}} a ^ {2} left (1 + { frac {1} {Q}} right) - { frac {P left (1-e ^ {2} right) Z ^ {2}} {Q (1 + Q)}} - { frac {1} {2}} Pr ^ {2}}} [3pt] U & = { sqrt { left ( re ^ {2} r_ {0} right) ^ {2} + Z ^ {2}}} [3pt] V & = { sqrt { left (re ^ {2} r_ {0} right) ^ {2} + left (1-e ^ {2} right) Z ^ {2}}} [3pt] z_ {0} & = { frac {b ^ {2} Z} {aV} } [3pt] h & = U left (1 - { frac {b ^ {2}} {aV}} right) [3pt] phi & = arctan left [{ frac {Z + e '^ {2} z_ {0}} {r}} doprava] [3pt] lambda & = operatorname {arctan2} [Y, , X] end {zarovnáno}}}$

Poznámka: arctan2 [Y, X] je čtyřkvadrantová inverzní tangensová funkce.

Silová řada

Pro malé E² výkonová řada

${ displaystyle kappa = součet _ {i geq 0} alfa _ {i} e ^ {2i}}$

začíná s

${ displaystyle { begin {aligned} alpha _ {0} & = 1; alpha _ {1} & = { frac {a} { sqrt {Z ^ {2} + p ^ {2} }}}; alpha _ {2} & = { frac {aZ ^ {2} { sqrt {Z ^ {2} + p ^ {2}}} + 2a ^ {2} p ^ {2 }} {2 left (Z ^ {2} + p ^ {2} right) ^ {2}}}. End {aligned}}}$

Geodetické do / z ENU souřadnice

Převod z geodetických souřadnic na místní ENU Coordinates is a two-stage process:

1. Převeďte geodetické souřadnice na souřadnice ECEF
2. Převést souřadnice ECEF na místní souřadnice ENU

Od ECEF do ENU

K transformaci ze souřadnic ECEF na místní souřadnice potřebujeme místní referenční bod, obvykle by to mohlo být umístění radaru. Pokud je radar umístěn na ${ displaystyle left {X_ {r}, , Y_ {r}, , Z_ {r} right }}$ a letadlo v ${ displaystyle left {X_ {p}, , Y_ {p}, , Z_ {p} right }}$ potom je vektor směřující z radaru na letadlo v rámci ENU

${ displaystyle { begin {bmatrix} x y z end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} - sin lambda _ {r} & cos lambda _ {r} & 0 - sin phi _ {r} cos lambda _ {r} & - sin phi _ {r} sin lambda _ {r} & cos phi _ {r} cos phi _ {r} cos lambda _ {r} & cos phi _ {r} sin lambda _ {r} & sin phi _ {r} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} X_ {p} -X_ {r} Y_ {p} -Y_ {r} Z_ {p} -Z_ {r} end {bmatrix}}}$

Poznámka: ${ displaystyle phi}$ je geodetické zeměpisná šířka. Předchozí verze této stránky ukazovala použití geocentrický zeměpisná šířka (${ displaystyle phi ^ { prime}}$). The geocentrický zeměpisná šířka je ne vhodné nahoru směr pro místní tečnou rovinu. Pokud originál geodetické zeměpisná šířka je k dispozici, mělo by se použít, jinak vztah mezi geodetické a geocentrický zeměpisná šířka je závislá na nadmořské výšce a je zachycena:

${ displaystyle tan phi ^ { prime} = { frac {Z_ {r}} { sqrt {X_ {r} ^ {2} + Y_ {r} ^ {2}}}}} = { frac {N ( phi) (1-f) ^ {2} + h} {N ( phi) + h}} tan phi}$

Získávání geodetické zeměpisná šířka od geocentrický souřadnice z tohoto vztahu vyžadují iterativní řešení, jinak geodetické souřadnice lze vypočítat pomocí přístupu v části výše označené „Od ECEF ke geodetickým souřadnicím“.

Geocentrická a geodetická zeměpisná délka mají stejnou hodnotu. To platí pro Zemi a další podobné tvarované planety, protože jejich zeměpisné šířky (rovnoběžky) lze ve srovnání s jejich zeměpisnými délkami (meridiány) považovat za mnohem dokonalejší kruhy.

${ displaystyle tan lambda = { frac {Y_ {r}} {X_ {r}}}}$

Poznámka: Jednoznačné určení ${ displaystyle phi}$ a ${ displaystyle lambda}$ vyžaduje znalost toho kvadrant souřadnice leží v.

Od ENU po ECEF

Jedná se pouze o inverzi transformace ECEF na ENU

${ displaystyle { begin {bmatrix} X Y Z end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} - sin lambda & - sin phi cos lambda & cos phi cos lambda cos lambda & - sin phi sin lambda & cos phi sin lambda 0 & cos phi & sin phi end {bmatrix}} { begin { bmatrix} x y z end {bmatrix}} + { begin {bmatrix} X_ {r} Y_ {r} Z_ {r} end {bmatrix}}}$

Převod mezi projekcemi mapy

Konverze souřadnic a pozic map mezi různými mapovými projekcemi odkazujícími na stejný vztažný bod lze dosáhnout buď pomocí přímých vzorců překladu z jedné projekce do druhé, nebo nejprve převodem z projekce ${ displaystyle A}$ do přechodného souřadnicového systému, jako je ECEF, poté převod z ECEF na projekci ${ displaystyle B}$. Příslušné vzorce mohou být složité a v některých případech, například v ECEF na geodetickou konverzi výše, nemá konverze žádné řešení v uzavřené formě a musí být použity přibližné metody. Odkazy jako Technická příručka DMA 8358.1^[13] a papír USGS Mapové projekce: Pracovní příručka^[14] obsahují vzorce pro převod mapových projekcí. Je běžné používat počítačové programy k provádění úkolů převodu souřadnic, například s programem GEOTRANS podporovaným DoD a NGA.^[15]

Transformace základny

Transformace mezi základnami lze provést mnoha způsoby. Existují transformace, které přímo převádějí geodetické souřadnice z jednoho vztažného bodu na druhý. Existuje více nepřímých transformací, které převádějí z geodetických souřadnic na souřadnice ECEF, transformují souřadnice ECEF z jednoho základny na druhý a poté transformují souřadnice ECEF nového základny zpět na geodetické souřadnice. Existují také transformace založené na mřížce, které se přímo transformují z jednoho páru (vztažný bod, projekce mapy) na další dvojici (vztažný bod, projekce mapy).

Helmertova transformace

Použití Helmertovy transformace při transformaci z geodetických souřadnic základny ${ displaystyle A}$ na geodetické souřadnice počátku ${ displaystyle B}$ nastává v kontextu tříkrokového procesu:^[16]

1. Převod z geodetických souřadnic na souřadnice ECEF pro vztažný bod ${ displaystyle A}$
2. Použijte Helmertovu transformaci s příslušnými ${ displaystyle A až B}$ transformovat parametry, transformovat z nulového bodu ${ displaystyle A}$ Souřadnice ECEF k nulovému bodu ${ displaystyle B}$ Souřadnice ECEF
3. Převod ze souřadnic ECEF na geodetické souřadnice pro vztažný bod ${ displaystyle B}$

Pokud jde o vektory ECEF XYZ, má Helmertova transformace formu^[16]

${ displaystyle { begin {bmatrix} X_ {B} Y_ {B} Z_ {B} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} c_ {x} c_ {y} c_ {z} end {bmatrix}} + left (1 + s krát 10 ^ {- 6} right) { begin {bmatrix} 1 & -r_ {z} & r_ {y} r_ {z} & 1 & -r_ {x} - r_ {y} & r_ {x} & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} X_ {A} Y_ {A} Z_ {A} end {bmatrix }}.}$

Helmertova transformace je transformace se sedmi parametry se třemi parametry překladu (posunu) ${ displaystyle c_ {x}, , c_ {y}, , c_ {z}}$, tři parametry rotace ${ displaystyle r_ {x}, , r_ {y}, , r_ {z}}$ a jeden parametr škálování (dilatace) ${ displaystyle s}$. Helmertova transformace je přibližná metoda, která je přesná, když jsou transformační parametry malé vzhledem k velikostem vektorů ECEF. Za těchto podmínek je transformace považována za reverzibilní.^[17]

Čtrnáctimetrová Helmertova transformace s lineární časovou závislostí pro každý parametr,^[17]:131-133 lze použít k zachycení časového vývoje poplatků za zeměpisné souřadnice geomorfní procesy, jako je kontinentální drift.^[18] a zemětřesení.^[19] To bylo začleněno do softwaru, jako je například nástroj Horizontální časově závislé umístění (HTDP) od americké NGS.^[20]

Molodensky-Badekasova transformace

Aby se vyloučila vazba mezi rotacemi a překlady Helmertovy transformace, lze zavést tři další parametry, které poskytují nový střed rotace XYZ blíže transformovaným souřadnicím. Tento model s deseti parametry se nazývá Molodensky-Badekasova transformace a neměla by být zaměňována se základní Molodenskou transformací.^[17]:133-134

Stejně jako Helmertova transformace je použití transformace Molodensky-Badekas třístupňový proces:

1. Převod z geodetických souřadnic na souřadnice ECEF pro vztažný bod ${ displaystyle A}$
2. Použijte transformaci Molodensky-Badekas s příslušnými ${ displaystyle A až B}$ transformovat parametry, transformovat z nulového bodu ${ displaystyle A}$ Souřadnice ECEF k nulovému bodu ${ displaystyle B}$ Souřadnice ECEF
3. Převod ze souřadnic ECEF na geodetické souřadnice pro vztažný bod ${ displaystyle B}$

Transformace má formu^[21]

${ displaystyle { begin {bmatrix} X_ {B} Y_ {B} Z_ {B} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} X_ {A} Y_ {A} Z_ {A} end {bmatrix}} + { begin {bmatrix} Delta X_ {A} Delta Y_ {A} Delta Z_ {A} end {bmatrix}} + { begin { bmatrix} 1 & -r_ {z} & r_ {y} r_ {z} & 1 & -r_ {x} - r_ {y} & r_ {x} & 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} X_ { A} -X_ {A} ^ {0} Y_ {A} -Y_ {A} ^ {0} Z_ {A} -Z_ {A} ^ {0} end {bmatrix}} + Delta S { begin {bmatrix} X_ {A} -X_ {A} ^ {0} Y_ {A} -Y_ {A} ^ {0} Z_ {A} -Z_ {A} ^ {0} end {bmatrix}}.}$

kde ${ displaystyle left (X_ {A} ^ {0}, , Y_ {A} ^ {0}, , Z_ {A} ^ {0} right)}$ je počátek transformace rotace a změny měřítka a ${ displaystyle Delta S}$ je měřítko.

Molodensky-Badekasova transformace se používá k transformaci lokálních geodetických dat na globální geodetické data, jako je WGS 84. Na rozdíl od Helmertovy transformace není Molodensky-Badekasova transformace reverzibilní kvůli rotačnímu počátku spojenému s původním datem.^[17]:134

Molodenský transformace

Molodenská transformace převádí přímo mezi geodetickými souřadnicovými systémy různých vztažných bodů bez přechodného kroku převodu na geocentrické souřadnice (ECEF).^[22] Vyžaduje tři posuny mezi středy nulových bodů a rozdíly mezi referenčními elipsovitými polořadovkami a parametry zploštění.

Molodensky transformaci používá National Geospatial-Intelligence Agency (NGA) ve svém standardním TR8350.2 a NGA podporoval program GEOTRANS.^[23] Metoda Molodensky byla populární před příchodem moderních počítačů a je součástí mnoha geodetických programů.

Metoda založená na mřížce

Velikost posunu v poloze mezi vztažným bodem NAD27 a NAD83 jako funkce polohy.

Mřížkové transformace přímo převádějí souřadnice mapy z jednoho páru (mapa-projekce, geodetický datum) na souřadnice mapy jiného páru (mapa-projekce, geodetický datum). Příkladem je metoda NADCON pro transformaci ze severoamerického Datumu (NAD) 1927 na Datum NAD 1983.^[24] High Accuracy Reference Network (HARN), vysoce přesná verze transformací NADCON, má přesnost přibližně 5 centimetrů. The National Transformation verze 2 (NTv2 ) je kanadská verze NADCON pro transformaci mezi NAD 1927 a NAD 1983. HARN jsou také známé jako NAD 83/91 a High Precision Grid Networks (HPGN).^[25] Austrálie a Nový Zéland následně přijaly formát NTv2 k vytvoření metod založených na mřížce pro transformaci mezi svými vlastními místními údaji.

Stejně jako transformace vícenásobné regresní rovnice používají metody založené na mřížce pro převod souřadnic mapy metodu interpolace nízkého řádu, ale ve dvou rozměrech místo tří. The NOAA poskytuje softwarový nástroj (jako součást NGS Geodetic Toolkit) pro provádění NADCON transformací.^[26][27]

Několik regresních rovnic

Transformace základny pomocí empirických vícenásobná regrese byly vytvořeny metody k dosažení vyšších výsledků přesnosti v malých zeměpisných oblastech než u standardních Molodenského transformací. Transformace MRE se používají k transformaci lokálních základen nad kontinentální nebo menší oblasti na globální základny, jako je WGS 84.^[28] Standardní NIMA TM 8350.2, dodatek D,^[29] uvádí MRE transformace z několika místních dat do WGS 84 s přesností asi 2 metry.^[30]

MRE jsou přímou transformací geodetických souřadnic bez mezilehlého kroku ECEF. Geodetické souřadnice ${ displaystyle phi _ {B}, , lambda _ {B}, , h_ {B}}$ v novém vztažném bodu ${ displaystyle B}$ jsou modelovány jako polynomy až do devátého stupně geodetických souřadnic ${ displaystyle phi _ {A}, , lambda _ {A}, , h_ {A}}$ původního data ${ displaystyle A}$. Například změna v ${ displaystyle phi _ {B}}$ lze parametrizovat jako (zobrazeny pouze kvadratické výrazy)^[28]:9

${ displaystyle Delta phi = a_ {0} + a_ {1} U + a_ {2} V + a_ {3} U ^ {2} + a_ {4} UV + a_ {5} V ^ {2} + cdots}$

kde

${ displaystyle { begin {aligned} a_ {i} & { text {, parametry přizpůsobené vícenásobnou regresí}} U & = K ( phi _ {A} - phi _ {m}) V & = K ( lambda _ {A} - lambda _ {m}) K & { text {, měřítko}} phi _ {m}, , lambda _ {m} & { text { , počátek základny,}} A konec {zarovnaný}}}$

s podobnými rovnicemi pro ${ displaystyle Delta lambda}$ a ${ displaystyle Delta h}$. Vzhledem k dostatečnému počtu ${ displaystyle (A, , B)}$ dvojice souřadnic pro orientační body v obou vztažných bodech pro dobrou statistiku se k přizpůsobení parametrů těchto polynomů používá několik regresních metod. Polynomy spolu s přizpůsobenými koeficienty tvoří několik regresních rovnic.

Viz také

• Souřadnicový systém Gauss – Krüger
• Seznam mapových projekcí
• Prostorový referenční systém
• Topocentrický souřadnicový systém
• Univerzální polární stereografický souřadnicový systém
• Universal Transverse Mercator coordinate system

Reference